感受数学思想方法，提高学习力

文／朱月红

（作者单位：江苏省泰州市高港区教师发展中心）

二元一次方程（组）是一元一次方程的延伸，也是后续内容的基础。同学们在学习时，自觉渗透数学思想方法，有利于形成完整的知识框架和知识体系，体验旧知识生长出新知识，新知识转化成旧知识的美妙，提高学习力。

一、类比学习，明晰概念

从一元一次方程的概念，我们可以发现，“方程”是由“元”和“次”来确定的。当“元”（未知数的个数）增加，“次”不变时，就会得到二元一次方程、三元一次方程……n元一次方程；当“次”（未知数的最高次数）增加，“元”不变时，就会得到一元二次方程、一元三次方程……一元n次方程。显然，二元一次方程是一元一次方程增加了一“元”且“次”不变。类比已学知识可以获得新知识，九年级我们还会研究“一元二次方程”，有兴趣的同学可以提前探究一番。当然，二元一次方程还有一个隐含条件——整式方程。下面，我们回到概念来解决问题。

例如，下列方程：①3x+9=2y，②xy=6，，是二元一次方程的有__________。

根据二元一次方程的概念，一个方程如果是二元一次方程，就要满足3个条件：1.含有两个未知数；2.含未知数的项的最高次数是1；3.是整式方程。方程①③④满足条件，是二元一次方程；方程②中，含未知数的项的最高次数是2，是二元二次方程。所以，判断一个方程是不是二元一次方程，我们只要按照概念逐一比对即可。“回到概念”是一种有效的解题策略。

二、运用转化，“二元”降为“一元”

同学们还记得解“一元一次方程”的基本步骤吗？一般的一元一次方程有几个解？类似地，如何解二元一次方程（组）呢？它的解又有几对？形式上，从一元一次方程到二元一次方程（组），是从“一元”上升到“二元”。而在解决问题时，我们常常把复杂问题转化为简单问题，把新知识转化为旧知识。因此，解二元一次方程（组）理应从“二元”回归“一元”，“代入”“加减”消元法应运而生。

解二元一次方程组的基本方法有两种，即代入法和加减法。注意事项主要有两点，一是不可循环代入，二是解完方程需检验。

由①，得x=5-2y。③

将③代入②，得2（5-2y）+y=7。

解这个一元一次方程，得y=1。

将y=1代入①，得x=3。

二元一次方程中有两个未知数，它们之间相互制约，导致一个二元一次方程有无数个解。而把两个方程放在一起组成二元一次方程组，再把二元一次方程组化归到一元一次方程，方程的解就从无限变成有限了。一般情况下，二元一次方程组有唯一的解。感兴趣的同学可以深究三元一次方程组，从三元到二元，最后化归到最简单的一元一次方程。那么，对于“元”不变但“次”增加的方程，如何来解呢？聪明的你有思路吗？对于上例，我们也可以整体考虑：①+②→3x+3y=12。同学们，你有什么发现？

三、方法迁移，正确建立方程模型

与一元一次方程一样，二元一次方程（组）也是反映实际问题中数量关系的模型。同学们先回忆一下，利用一元一次方程解决实际问题的一般步骤有哪些？（设、找、列、解、答、验。）

我们来看一道题目。《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有这样一题：今有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四，人数、物价各几何？大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，最后多3 元；每人出7 元，最后少4 元。问：有多少人？该物品价格是多少？

列二元一次方程组解决问题，首先要理解题意，分析数量关系，找出相等关系，然后列出方程组。相等关系是建立方程组模型的关键，可以从题目中找，也可以借助表格、示意图进行分析。此题从“每人出8元，最后多3元；每人出7元，最后少4元”中，可以找到相等关系。设共有x人，物品价格是y元，相等关系是：x×8-3=y，x×7+4=y，据此列出方程组解之，得数学知识是相互联系、螺旋上升的。只有有意识地运用数学思想方法解决问题，才能将新知与旧知联系在一起，新知识才因有“根”而“成活”，进而成为“活”的知识。类比一元一次方程明晰概念，运用转化思想探究解法，在方程模型中感知问题的本质，相信同学们再遇到“多元”或“高次”方程时，也能灵活运用数学思想方法自主解决问题。