问题解决导向的拓展性数学实验活动的教学设计

王华鹏

摘  要：数学实验是一种特殊的学习活动，它通过操作从现实中获得研究对象的感性材料，以便进行进一步的思维加工，启发解决问题的思路和方法. 它在促进学生创新思维发展方面具有独特的育人价值. 设计拓展性数学实验活动教学，应以问题为导向、以数学实验为主线、融合直观与逻辑. 具体做法是：根植教材相关内容和现实背景，提出具有趣味性、挑战性、启发性的主问题，围绕主问题有序组织实验探究和理性思考活动，解决问题，并适时拓展延伸.

关键词：问题解决;数学实验;拓展性课程

数学实验是一种特殊的学习活动，它通过操作从现实中获得研究对象的感性材料，以便进行进一步的思维加工，启发解决问题的思路和方法. 它在促进学生创新思维发展方面具有独特的育人价值. 正因为如此，人们对数学实验进行了比较深入的研究，它也成为浙江省初中数学拓展性课程的重要内容.

拓展性数学实验活动与基础性课程中的数学实验，两者的共同特点是通过实验操作获得研究对象属性的感性认识，为进一步的理性思考奠定基础. 最显著的不同点是目标和认知层次的差异：基础性课程中的数学实验用来检验结论，促进知识理解;拓展性课程中的数学实验则用来发现新知识，形成解决问题的新方法，导向问题解决中的创新思考. 拓展性数学实验活动能促进学生数学高阶思维的发展. 因此，需要对拓展性数学实验活动的教学进行深入的理论和实践研究.

一、对拓展性数学活动的理解

基础性课程指国家和地方课程标准规定的统一学习内容，体现义务教育的基础性、全面性和公平性;拓展性课程指学校提供给学生自主选择的学习内容，是基础性课程的延伸、应用和整合，是推进差异化、个性化教育，促进学生全面而有个性地发展的重要载体.

数学实验因其动手、动脑相结合的“做数学”的本质特征，兼具综合性与实践性，在拓展学生的知识面，激发学生的学习兴趣，提高学生综合素质方面有着重要的作用，成为开发拓展性课程的重要思路.

人们在面对一个陌生的问题情境不能通过演绎的方式解决时，总是会本能地采取实验与归纳的手段，通过观察、归纳、类比、猜想等方式获得对研究对象的感性认识，在此基础上获得解决问题方法的启示，并进行有逻辑地思考，“摸着石头过河”就是对这一思维特点的形象描述.

采取问题解决导向来设计拓展性数学实验活动的教学，符合学生的认知特点与智力发展的客观规律，有利于激发学生的学习兴趣，丰富学生的数学学习方式，促进学生的思维发展. 有利于实现感性认识与理性思辨的融合，从而充分发挥拓展性数学实验活动在发展学生数学学科核心素养中的独特育人价值.

二、拓展性数学实验活动教学的构思

问题解决导向的拓展性数学实验活动旨在激发学生的探究欲，根据学生已有的知识经验与认知水平用数学的方式发现和提出问题，并用数学实验的方法加以探索、研究和解决. 即以“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”为基本线索，呈现“一个中心，两条主线”的基本结构（如图1），围绕挑战性的主问题这个中心，在理性思考和直观操作两条主线的交融发展中展开.

在拓展性数学实验活动教学设计中，要先引导学生发现并提出适合的挑战性问题. 问题的产生可以是对现实生活情境的数学化思考，也可以是课堂教学资源的再生或经典习题（作业）的延伸，但问题应该是学生自主提出或者在教师的启发下发现并提出的.

首先，要基于目标导向，系统规划实验方案. 应先引导学生从逻辑上确定数学问题. 例如，条件是什么？要研究什么？其次，把主目标分解为子目标序列，这就是认知心理学中指出的目标导向行为的一般过程，也是制订实验方案的前提与基础.这种实验方案的规划体现了问题解决思路的预见性，这种预见性并非来自不断试误的偶然发现，而是基于问题的分解和已有经验的创新性重组（顿悟）. 当然在问题没有得到最终解决以前，这种预设的分解与规划并非一成不变的，实验操作的过程必然伴随着认知的监控，这样才能在实验操作中有新的发现与感悟，进而及时调整规划，完善或优化实验，而非原定计划的机械执行. 在实验获得感性认识的基础上结合逻辑推演，最终获得结论，同时对过程与结果的反思又常常会是发现新问题、产生新思考的起点.

三、实践案例分析

下面结合案例“正多面体到底有几种”的开发，就关键环节的设计，做进一步的介绍与分析.

1. 主问题的提出

在人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册“4.1 几何图形”单元学习后，我们印制正十二面体的表面展开图，让学生在课外制作正十二面体，这本来只是一个纯手工操作的活动，目的是激发学生的学习兴趣，发展空间观念. 但在学生带着制作好的作品相互交流、兴致高昂、爱不释手的时候，某学生提出了一个具有挑战性的问题：正多面体到底有几种？这个问题对七年级学生而言，是难以从演绎的角度抽象解决的，为此，我们设计了“正多面体到底有几种”的数学实验，作为拓展性课程进行教学. 主问题设计如下.

问题：由若干个平面多边形围成的封闭几何体称为多面体，正多面体是特殊的多面体，它的各个面都是相同的正多边形，而且由每个顶点出发的棱数相同.显然，多面体可以有无数种，那么正多面体的种类是有限的还是无限的？如果有限，究竟有几种？

2. 主问题的分解

在提出“正多面体到底有几种”这个问题后，首先，要想到为什么要用实验的方法，因为从平面到立体，想象关系难度大，在学生难以直接想象与推理的前提下，自然希望通过实验操作的方法以便于观察.其次，是从实验的角度对主问题进行分析，明确条件是用正多边形制作正多面体，目标是确定正多面体的种数，进而分解问题.

问题：（1）一个多面体至少需要几个面？一个多面体的顶点至少需要连接几个多边形？

（2）用正三角形拼成的正多面体，每个顶点至少需要连接几个正三角形？最多可以連接几个正三角形？

（3）每个面都是相同的正四边形、正五边形，可以围成怎样的正多面体？

（4）每个面都是相同的正六边形、正七边形，能围成正多面体吗？为什么？

3. 实验方案的规划

在分解思考的几个问题中，其中问题（1）指向的是对构成多面体的基本条件的探究，学生可以在大胆猜想的基础上进行实验操作确认;问题（2）～（4）指向的是实验路径的规划，对实验路径的进一步细化就形成了实验操作的具体步骤. 具体规划方案如图2所示.

4. 实验操作的实施

实验操作的过程是一个分组实验与合作交流的过程，是思考对分解后形成的实验方案执行的过程，这个过程应该由学生自己完成，教师适当提醒与组织指导，具体过程如下.

工具准备：相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形各若干个（在稍硬纸上印制边长为6 cm的正多边形，便于学生剪下用于实验）;每组准备透明胶带一卷，剪刀一把.

实验步骤如下.

步骤1：探究构成多面体的基本条件.

将一张纸对折后展开，竖立放置在桌面上，可以发现3个面两两相交并不能构成封闭的几何体，必须再加上1个面与原来的3个面都相交，才可以构成封闭的几何体. 所以构成多面体至少需要4个面，每个顶点至少需要连接3个多边形.

步骤2：用正三角形拼正多面体.

（1）每个顶点连接3个正三角形的组拼实验.

① 如图3，将3个相同的正三角形用胶带粘连，使其互相能绕着公共边转动.

② 如图4，转动三角形并用胶带连接，使边AC与AC'重合，此时从顶点A出发恰好有3个面，从顶点B，C，D出发分别有2个面.

③ 在图5的底部再用一个正三角形粘连，组拼成立体图形，使得从每个顶点出发都恰好有3个面，此时得到正四面体.

（2）每个顶点连接4个正三角形的组拼实验.

① 如图6，与前面的做法类似，从一个顶点出发，连接4个正三角形，并用胶带连接，再转动围成立体形状，使得从点A出发恰好有4个面.此时，从顶点B，C，D，E出发分别有2个面，如图7所示.

② 从顶点B出发分别沿边BC和边BE继续粘连正三角形BCF和正三角形BEH. 将边BF和BH重合，并用胶带粘连. 不断重复这样的操作，最终得到如图8所示的正八面体.

监控调整：观察图8可知，正八面体其实是由两个图7的基本结构拼合而成的. 这里我们得到启发，对于一些复杂的正多面体，其实可以考虑用多个基本结构进行组拼，从而降低操作难度，实现实验的优化操作.

（3）每个顶点连接5个正三角形的组拼实验.

① 先作出一个顶点连接5个正三角形的基本结构，再做一个共顶点连接3个正三角形的基本结构进行粘连，如图9所示.

② 按前面的思路不断粘连三角形，持续重复后得到图10.

可以发现，当用6个、7个、8个、9个、10个……正三角形进行组拼时，每个顶点连接的正多边形数均大于6个，共顶点的角度和大于或等于360°，均不能组拼出正多面体.

类似地，让学生继续用正方形、正五边形、正六边形组拼正多面体，看看能得到怎样的正多面体.

实验结论：综合可知，如图11所示，正多面体有且只有5种，分别为正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.

5. 实验的拓展与延伸

从教学的角度来看，一个好的数学实验不能仅以得出结论为终点，还应对实验过程进行回顾、总结，特别是在思想与方法层面进行归纳总结，同时进行一定深度与广度的拓展延伸. 教师可以提供一些阅读材料或应用性材料供学生选择使用.

在数学实验“正多面体到底有几种”的学习中，通过实验操作得出实验结论后，我们进一步提供如下的阅读材料，供不同学生选择，实现其个性化发展.

拓展阅读：利用欧拉公式证明正多面体只有5个.

证明：由简单多面体的欧拉公式V + F - 2 = E（其中V为顶点数，F为面数，E为棱数），如设正多面体的面是正n边形，一个顶点处的面角数为m，则nF = 2E，mV = 2E. 于是[2Em+2En-2=E]，即[1m+1n-1E=12].

在E ≥ 3的条件下，可以求出m，n的整数解为（m，n，E） = （3，3，6），（4，3，12），（5，3，30），（3，4，12），（3，5，30）. 它们分别对应于正四面体、正八面体、正二十面体、正六面体与正十二面体.

四、反思与展望

1. 拓展性数学实验活动的课程定位

数学实验是一种建立感性认知，并以此为基础追求理性的过程. 数学实验拓展性课程的开展不能为实验而实验，追求表面的热闹，如果学生的学习仅停留在模仿与操作层面，对为什么实验、如何实验等问题没有深入思考，就难以激发学习的热情，没有思维的挑战性，就难以真正实现有意义的学习.

事实上，数学是一门基于思辨的理論学科，绝大多数情况下凭借的是理性地思考、分析和解决问题. 当然，在研究一些陌生领域中的问题时，也常常采用实验和归纳的方法. 因此，在数学教学中要特别注意：能用传统手段达到预期效果的，就没有必要使用实物模型或计算机进行数学实验，以免“画蛇添足”.为此，需要对数学实验的必要性、设计策略、操作程序，以及育人价值等进行深入思考，重点要在如何通过数学实验探索问题的结论、获得解决问题的方法的启发上进行研究.

2. 设计的关键与实施的要点

数学实验应当围绕一个具有趣味性、挑战性和启发性的主问题展开，这个问题的产生与提出具有适恰性与局限性：一方面，是学生喜欢、有兴趣研究的;另一方面，没有现成的解决方法，需要借助数学实验进行归纳探索，获得解决问题的方法. 拓展性数学实验的教学设计不能仅仅着眼于“知识指向”和“可操作性”，而应以问题解决为导向，以实验探究为手段，运用所学知识分析和解决生活实际问题或数学内部问题.

在实施操作中，要引导学生学会分解主问题，制订有序的实验方案;在组织实施数学实验的过程中，发挥学生的主体地位，引导和鼓励学生独立思考、主动探究与合作交流，做到直观与逻辑相融合，并适时拓展延伸. 实现感性认识与理性思辨的融合，从而充分发挥数学实验的育人作用.

3. 拓展性数学实验活动教学的展望

问题解决导向的拓展性数学活动，具有活动性、研究性和拓展性，对发展学生“四能”、促进数学学科核心素养的发展具有重要的作用. 问题解决导向的拓展性数学实验活动的这些特征，已经具备了项目化学习的部分核心要素，所以数学实验拓展性课程可以方便地进行项目化改造. 例如，增加可视化成果的呈现与项目评价，教学实施中让学生经历项目学习的全过程，以数学实验为手段，以问题解决（即任务推进）为明线，以经验积累与素养孕育为暗线，从而在发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的过程中切实发展学生的数学学科核心素养.

结合学生的学习进程，选择与教学内容相匹配的主题和素材，开展问题解决导向的拓展性、研究性数学实验活动，并进行项目化教学改造，设计可实施的教学案例，是后续教学实践研究的基本方向.

参考文献：

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