从两道惊人相似的高考题说开去
——谈高中物理中的等效法

李永刚

(甘肃省天水市甘谷县第二中学)

高中学习的物理知识有限,一些过程、情境较复杂的物理问题往往难以求解.本文从两道惊人相似的高考题说起,从中体会等效法的巧妙.

1 两道高考题——惊人相似

2021年全国甲卷的压轴选择题,考查了线圈进入磁场切割磁感线的问题,这道题和2010年高考安徽卷20题高度相似.

例1(2010年安徽卷)如图1所示,水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场,两个边长相等的单匝闭合正方形线圈Ⅰ和Ⅱ,分别用相同材料、不同粗细的导线绕制(Ⅰ为细导线).两线圈在距磁场上界面h高处由静止开始自由下落,再进入磁场,最后落到地面.运动过程中,线圈平面始终保持在竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界.设线圈Ⅰ、Ⅱ落地时的速度大小分别为v1、v2,在磁场中运动时产生的热量分别为Q1、Q2.不计空气阻力,则().

图1

【特殊解析】运用等效法.把Ⅱ线框看成n个Ⅰ线框叠合而成,则每个线框进入磁场的过程中情况完全相同,线圈Ⅰ、Ⅱ落地时的速度一定相等.Ⅱ线框由n个Ⅰ线框组成,Ⅱ线框产生的热量一定为Ⅰ线框产生热量的n倍,因此Q1＜Q2,答案为D.

例2(2021年全国甲卷)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈,两线圈的质量相等,但所用导线的横截面积不同,甲线圈的匝数是乙的2倍.现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落,一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域,磁场的上边界水平,如图2所示.不计空气阻力,已知下落过程中线圈始终平行于纸面,上、下边保持水平.在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前,可能出现的是().

图2

A.甲和乙都加速运动

B.甲和乙都减速运动

C.甲加速运动,乙减速运动

D.甲减速运动,乙加速运动

【常规解析】甲、乙两个正方形闭合线圈,下边进入磁场的速度相等,设为v.根据n甲＝2n乙,E＝nBLv,可知E甲＝2E乙.两线圈质量相等,所以S甲＝,根据R＝,得R甲＝4R乙,根据,得,线框所受安培力F＝nBIL,故F甲＝F乙,两线框受力情况完全相同,因此或者甲和乙都加速运动,或者甲和乙都减速运动,选项A、B正确.

【特殊解析】利用等效法,把乙线框看成两个线框并联,则乙线框和甲线框完全相同,甲乙进入磁场情况完全相同,运动情况完全相同,选项A、B正确.

在新课改理念下,高考既重视知识与技能的考查,又重视过程与方法的考查.正确的方法,往往可以起到事半功倍的效果,下面谈谈等效法在高中物理中的应用.

2 过程等效——立竿见影

研究过程的等效替代往往可以把多个物理过程变为单个物理过程,大大简化解题过程,变复杂为简单,下面以两道题为例说明.

例3弹性小球A和B用轻绳相连挂在轻质弹簧下静止不动,如图3-甲所示,A的质量为m,B的质量为M.某时刻连接A、B的绳突然断开,同时在球B的正下方有一质量为M的球C以v0的速度竖直上抛,此后,B、C间发生弹性碰撞(碰撞时间不计),A上升经某一位置时的速度大小为v,这时球B的速度大小为u,如图3-乙所示.从绳突然断开到A的速度为v的时间内,弹簧的弹力对球体A的冲量大小为().

图3

解析

设从绳突然断开到A的速度为v,经过的时间为t,设弹簧对A的冲量为I,对A由动量定理得I－mgt＝mv.在时间t内,球C速度先减小,然后与球B发生弹性碰撞后,B、C交换速度,接着球B做减速运动到速度大小为u,该过程等效为球C速度从v0一直减速为u,故t＝,解得I＝mv＋mv0－mu,选项D 正确.

点评

本题C和B的碰撞为弹性碰撞,两个质量相等的物体发生弹性碰撞时,交换速度,因此碰撞后B速度减为u,等效于C以速度v0一直减为u,这样可以简化运算,快速解题.

例4用长为L的轻绳连接质量相同的两个小球A、B.用手提着A,从B离地面高为h处由静止释放(h＞L).所有碰撞均为弹性碰撞,碰撞时间不计,空气阻力不计.以下说法正确的是().

图4

A.球B与地面碰撞前,球B的机械能不守恒

B.球B与地面碰撞后,在离地面处与球A相遇

C.球B第二次与地面碰撞时的动能与第一次与地面碰撞时的动能之比为

D.球B第二次与地面碰撞时,A、B两球间的距离等于L

解析

球B与地面碰撞前,A和B间的绳子作用力为0,球B的机械能守恒,选项A 错误;设球B与地面碰撞前的瞬间,A和B速度大小为v,与地面碰撞后B的速度大小为－v,B以－v的速度向上做加速度为g的匀减速运动,A以速度v向下做加速度为g的匀加速运动,故A和B相遇的位置距地面小于,选项B错误;设B与地面第一次碰撞后经过时间t,与A相遇,根据B相对于A做匀速运动有t＝,A与B碰撞后,A、B交换速度,也就是B的速度增大,且B在下落过程中的速度还在不断增加,故B与地面再次碰撞的时间,球B第二次与地面碰撞时,A、B两球间的距离小于L,选项D 错误;球B与地面第一次碰撞时的动能为Ek1＝mgh,通过以上分析可知球B与地面第二次碰撞时的动能等效于B球从A位置下落至地面的动能,故Ek2＝mg(h＋L),则,选项C正确.

点评

本题也是质量相同的两个小球发生弹性碰撞,把B第二次落地的动能等效于A不与B发生碰撞落地的动能是解决问题的关键.两质量相等的物体发生弹性碰撞时,等效过程是常用方法之一.

等效研究对象和研究过程,体现了物理学科核心素养中的科学思维,体现了新课程改革的命题方向.我们在复习备考中,要重视物理方法的渗透,在解题中,要选择最正确的方法解题,要手中有法,胸中有数,方能在高考中独占鳌头,胜券在握.

(完)