例谈用换元法解题

2022-04-25 21:30刘大鹏
数理化解题研究·高中版 2022年3期

摘要:本文总结根式换元、均值换元、整体换元、倒数换元等十种换元技巧,并举例示范应用技巧,意在提高学生的数学素养.

关键词:根式换元;增量换元;均值换元;整体换元;倒数换元

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2022)07-0013-04

收稿日期:2021-12-05

作者简介:刘大鹏(1971.10-),男,辽宁省黑山人,本科,中学高级教师,从事高中数学教学研究.[FQ)]

1 根式换元

例1(自编题)求函数y=x+31-2x的值域.

解析令t=1-2x≥0,则x=1-t22≤12.

所以y=-t22+3t+12

=-12t-32+5≤5.

所以值域為(-

SymboleB@

,5].

小结对形如y=ax+b+kcx+d(a,b,k,c,d为常数,k≠0,c≠0)的值域问题,常令t=cx+d转化为有条件的二次函数最值问题.

2 增量换元

例2(自编题)设x≥0,y≥0,3x+y≤6,x+3y≤6,求u=2x+3y的最大值.

解析设t=6-3x+y,s=6-x+3y,

则t≥0,s≥0.

将x,y视为主元,解方程组得

x=1812-3t+s,

y=1812-3s+t.

故u=2812-3t+s+3812-3s+t

=152-38t-s8≤152.

所以umax=152.

评注用增量换元法解决线性规划问题新颖、简易,不需要繁琐的作图过程.

3 均值换元

例3(自编题)已知:fx=4x+1-13,

gx=4x+1-33,fx0+gx0=72,求:fx0·gx0的值.

解析设u=4x+1-1+4x+1-32=4x+1-2,

记u0=4x0+1-2,

所以u0u20+3=39+3.

所以u0=3,4x0+1=5.

所以fx0=64,gx0=8,fx0gx0=512.

4 整体换元

例4已知:x>0,y>0,求二元函数Fx,y=2x2+3y2+5x+y的最小值.

解析令2x2+3y2+5x+y=t,

所以2x2-tx+3y2-ty+5=0.

即2x-t42+3y-t62=t28+t212-5≥0.

所以t≥26,Fx,ymin=26.

5 倒数换元

例5(数学通讯2010年问题7)设a,b,c为正数,且1a+1b+1c≥abc.

求证:a2+b2+c2≥427abc.

证明令x=1a,y=1b,z=1c,已知化为

x,y,z>0,xyzx+y+z≥1.

结论化为yzx+xzy+xyz≥427.

因为1≤xyz(x+y+z)≤x+y+z433,

所以x+y+z≥427.

故yzx+xzy+xyz

=x2zy+yz+y2zx+xz+z2yx+xy

≥x+y+z≥427.

6 分母换元

例6(2005年湖南省预赛试题)若正数a,b,c满足ab+c=ba+c-ca+b,求证:ba+c≥17-14.

证明令a+b=x,b+c=y,c+a=z,

则a=x+z-y2,b=x+y-z2,c=y+z-x2.

所以ba+c=x+y-z2z

=x+z-y2y+y+z-x2x

=12xy+yx+zy+zx-1

≥2zx+y.

令x+y2z=t,t-1t-12≥0,

所以t≥17+14.

所以ba+c=t-12≥17-14.

7 差量换元

例7已知函数fx=xex,fx1=fx2,x1≠x2,求证:x1+x2>2.

证明f ′x=1-xex,fx在-

SymboleB@

,1上单调递增,在1,+

SymboleB@

上单调递减,limx→+

SymboleB@

fx=limx→+

SymboleB@

1ex=0.

不妨设0

令t=x2-x1>0,

因为

x1ex1=x2ex2,x2x1=ex2-x1=et,

所以x2=x1et,x1et-1=t.

所以x1=tet-1,x2=tetet-1.

令Kt=tet+1et-1,

则K′t=et+1+tetet-1et-12-tet+1etet-128C7ACC56-512C-4D24-9224-877FA81BD53B

=e2t-2tet-1et-12.

令Mt=e2t-2tet-1,

则M′t=2e2t-2et-2tet=2et[et-t+1]≥0.

所以Mt>M0=0.

所以K′t>0.

所以x1+x2=Kt>K0=limt→0et+1+tetet=2.

8 和差换元

例8(1993年全国联赛题)实数x,y且4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则1Smax+1Smin=.

解法1令x=m+n,y=m-n,

代入已知,得3m2+13n2=5.

令m=53cosθ,n=513sinθ,

所以S=2m2+n2=1013+10039cos2θ.

所以1013≤S≤103,1Smax+1Smin=85.

9 比值换元

例8解法2当x≠0时,令k=yx,则

S=5x2+y24x2-5xy+4y2=5+5k24-5k+4k2,

4S-5k2-5Sk+4S-5=0.

當4S-5=0时, y=0或x=0;

当4S-5≠0时,

Δ=25S2-44S-52=13S-1010-3S≥0,

所以1013≤S≤103,且S≠54.

综上,1013≤S≤103,1Smax+1Smin=85.

例9(数学通报问题1752)a,b,c>0,求证:a2+3b2a+b2+3c2b+c2+3a2c≥6.

证明设x=ba,y=cb,z=ac,则xyz=1.

左=1+3x2+1+3y2+1+3z2

=xyz+x+x+x+yxz+y+y+y

+zxy+z+z+z

≥x44x2+y44y2+z44z2

=2x34+y34+z34

≥63xyz34=6.

比值换元还常用于解决极值点偏移问题.

例10(自编题)已知函数fx=lnxx,fx1=fx2且x1≠x2,求证:x1+x2>2e.

证明f ′x=1-lnxx2,fx在0,e上单调递增,在e,+

SymboleB@

上单调递减,limx→+

SymboleB@

fx=limx→+

SymboleB@

1x=0.

不妨设11,

则lnx1x1=lnx2x2.

即lnx2lnx1=x2x1=t.

所以lnt+lnx1lnx1=t,t-1lnx1=lnt.

所以x1=elntt-1,x2=telntt-1.

令Kt=t+1elntt-1,

则K′t=elntt-1+t+1elntt-1t-1t-lntt-12

=elntt-1t(t2-2t+1)+t2-1-t2+tlnttt-12

=elntt-1t3-t2+t-1-t2+tlnttt-12.

令Mt=t3-t2+t-1-t2+tlnt,

则M′t=3t2-2t+1-2t+1lnt-t-1

=3t(t-1)-2t+1lnt

≥3tt-1-2t+1t-1

=t-12>0,

Mt>M1=0,

所以K′t>0.

所以x1+x2=Kt>K1=limt→1t+1e1t=2e.

10 三角换元法

例8解法3令x=Scosθ,y=Ssinθ,

代入已知,得S=54-52sin2θ.

所以1013≤S≤103,1Smax+1S

min=85.

方法小结对条件式x-a2+y-b2=R2,可设

x=a+Rcosθ,y=b+Rsinθ;

对条件式x2a2+y2b2=1,可设x=acosθ,y=bsinθ;

对条件式x2a2-y2b2=1,可设x=asecθ,y=btanθ.

例11已知数列an中,a1=1,an+1=3an-1an+3,求a2009.

文[5]解答有误,本文加以修正.

解析

由an+1=3an-1an+3,得

an+1=an-331+33an.

令an=tanθn,θ1=π4,

则tanθn+1=tanθn-tanπ61+tanπ6tanθn

=tanθn-π6

=tanθn+5π6.

所以tanθn+6=tanθn+5π=tanθn.

所以an+6=an,2009=6×334+5.

所以a2009=a5=tanθ5=tanθ1+4×5π6

=tanπ4+10π3=tan7π12=-2+3.

评注本例可用不动点法先求数列通项公式,再求a2009.

例12已知a,b,c∈R+,且ab+bc+ca=1,求证:1a2+1+1b2+1+1c2+1≤94.

证明设a=tanα,b=tanβ,c=tanγ,且α+β+γ=π2,α,β,γ∈0,π2.

左=cos2α+cos2β+cos2γ

=1+cos2α2+1+cos2β2+1+cos2γ2

=32+122cosα+βcosα-β+cos2γ

≤32+122cosα+β+cos2γ

=-sin2γ+sinγ+2

=-sinγ-122+94

≤94.

参考文献:

[1] 吴祥成.应用均值不等式解竞赛题[J].数学通讯,2009(Z2):85-89.

[2] 王蓬勃.谈谈导数压轴题中的双变量问题处理方法[J].中学数学,2021(13):52-53.

[3] 王云禄,陆权一.中学数学中几种常见的代换法[J].高中数学教与学,2004(03):20-21.

[4] 刘康宁,党效文.利用三角代换法解竞赛题[J].数学通讯,2007(06):40-42.

[5] 范端喜,朱华伟.三角代换在竞赛中的应用[J].数学通讯,2009(Z4):77-80.

[6] 安振平.在阅读与反思的过程中学解题[J].数学通讯,2010(Z2):9-11.

[责任编辑:李璟]8C7ACC56-512C-4D24-9224-877FA81BD53B