合理转化 妙设巧算

摘要：一题多解是培养能力、体现素养的一种行之有效的方法，它对沟通各模块知识之间的联系，开拓解题思路，培养思维能力，激发学习兴趣都大有裨益.文章从一道高三诊断性试题的解法入手，探究一题多解在教学中的应用.

关键词：一题多解;巧算;探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0051-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：李小蛟（1984.10-），男，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：四川省数学会重点立项课题“提升学生核心素养的高中数学课程校本化研究”（项目编号：2020SXHJY004）.[FQ）]

1 题目呈现

题目已知等边ΔABC的三个顶点均在圆x2+y2=4上，点P（3，6），则PA·PB+PA·PC的最小值为（）.

A.14B.10C.8D.2

2 解法探析

解法1令D为BC中点，则PB+PC=2PD.

令點A（2cosθ，2sinθ），因为O为△ABC的重心，则AO=2OD.

所以D（-cosθ，-sinθ）.

所以PA=（2cosθ-3，2sinθ-6），

PD=（-cosθ-3，-sinθ-6）.

所以PA·PB+PA·PC=2PA·PD

=2（7-3cosθ-6sinθ）

=14-6cos（θ-φ）（tanφ=2） .

故当φ=θ时，PA·PB+PA·PC有最小值为8.

评注将和向量利用向量加法的三角形法则PB+PC=2PD合理转化，从而将题目所求转化为简单的数量积求解，再利用重心分中线所成比例巧妙化归，利用圆上点的参数方程简化运算，回归到三角函数问题求最值.

解法2由题意，得

∠AOB=∠BOC=∠COA=23π.

所以不妨令A（2cosθ，2sinθ），

则B（2cos（θ+23π），2sin（θ+23π）），

C（2cos（θ-23π），2sin（θ-23π））.

所以PA=（2cosθ-3，2sinθ-6），

PB=（2cos（θ+23π）-3，

2sin（θ+23π）-6），

PC=（2cos（θ-23π）-3，

2sin（θ-23π）-6）.

代入化简，得

PA·PB+PA·PC=14-6cos（θ-φ）（tanφ=2）.

故当φ=θ时，PA·PB+PA·PC有最小值为8.

评注圆上点的坐标之间相互依存，圆心角为定值，所以直接采用圆心角之间的关系三角换元（参数方程），直接代入化简.

解法3由题意可得O为ΔABC的重心，

故OA+OB+OC=0.

所以PA·PB+PA·PC

=（OA-OP）（OB-OP）+（OA-OP）（OC-OP）

=14-2OA·OP-（OP·OB+OP·OC）

=14-2OA·OP+OA·OP

=14-OA·OP

=14-OA×OP×cos<OA，

OP>

=14-6cos<OA，OP>≥8，

当且仅当OA，OP同向时取等.评注利用三角形中重心与顶点的向量关系OA+OB+OC=0将分散的向量数量积运算转化为以O为起点的向量，让向量的数量积运算回归定义，回归到本质（即长度与角度的运算），此法是解决平面向量数量积最原始的思路起点，也是数学概念、公式最模型化的运用.解法4不妨设P在圆x2+y2=9上运动，于是可令

A（0，2），B（-3，-1），P（3cosθ，3sinθ），

PA=（-3cosθ，2-3sinθ），

PB=（-3-3cosθ，-1-3sinθ），

PC=（3-3cosθ，-1-3sinθ），

所以PA·PB+PA·PC

=PA·（PB+PC）

=（-3cosθ，2-3sinθ）·（-6cosθ，-2-6sinθ）

=18cos2θ-4-6sinθ+18sin2θ

=14-6sinθ≥8（当sinθ=1时取等）.

解法5不妨设P在圆x2+y2=9上运动，于是可令A（0，2），B（-3，-1），P（x，y），

PA=（-x，2-y），

PB=（-3-x，-1-y），

PC=（3-x，-1-y），

所以PA·PB+PA·PC

=PA·（PB+PC）

=（-x，2-y）·（-2x，-2-2y）

=2x2-4-2y+2y2

=14-2y.

因为y∈-3，3 ， 所以PA·PB+PA·PB≥8.

评注由于三角形上三点之间相互依存，虽位置不定但始终存在任意两点距离相等的联系，故可将三角形顶点固定，将点P看成圆上的动点，将多动点问题转化为单动点问题，再利用圆的参数方程将坐标双变量转化为角度的单变量，回归三角，减少运算，直接利用三角函数的有界性求取最值.

解法6令A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由题意可得O为△ABC的重心.

故x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0.

所以PA·PB+PA·PC

=（x1-3，y1-6）·（x2-3，y2-6）+（x2-3，y2-6）·（x3-3，y3-6）

=x1（x2+x3）+y1（y2+y3）-3x1-6y1+18

=-x21-y21-3x1-6y1+18

=14-3x1-6y1.

不妨设x1=2cosθ，y1=2sinθ，

則原式=14-6cos（θ-φ）（tanφ=2）.

所以当θ=φ时，原式有最小值为8.

评注利用三角形重心的坐标公式将三个顶点坐标建立等量关系，将平面向量数量积回归到坐标运算，通过三顶点在圆上，进行一系列代换，转化为顶点中一点的坐标关系运算，再次利用参数方程.

解法7由解法6，得

PA·PB+PA·PC=14-3x1-6y1.

令s=14-3x-6y，

记直线l方程为y=16（-3x+14+s），

显然，当直线l与圆x2+y2=4相切且在圆上方时有（14-s6）max=6，此时（s）min=8.

评注考虑到s=14-3x-6y直线中s的几何意义，故可以将问题转化为线性规划问题处理，此法直接利用直线与圆相切时得到最值;当然也可以将直线l的方程与圆方程联立，通过直线与圆有公共点（Δ≥0）解答.

解法8PA·PB+PA·PC

=14[（PA+PB）2-（PA-PB）2+（PA+PC）2-（PA-PC）2]，

令M，N分别为AB，AC中点，Q为MN中点，

则原式=PM2+PN2-6

=12（PM+PN）2+（PM-PN）2-6

=12（4PQ2+3）-6.

又因为点Q在圆x2+y2=14上运动，

所以PQmin=OP-12=52，此时原式有最小值为8.

评注平面向量运算中的极化恒等式a·b=14（a+b）2-（a-b）2往往将向量运算中的变量转化为向量和与差的定量，本题中要注意到PM+PN=2PQ，PM-PN=MN=3.在求解定点P与动点Q距离时，又充分考虑到点Q在定圆x2+y2=14上运动，所以又将PQ的最值转化为定点P与定圆圆心O的距离.

解法9令D为BC中点，Q为AD中点，

则原式=2PA·PD=12（PA+PD）2-（PA-PD）2=12（4PQ2-DA2）=12（4PQ2-9）.

又因为Q在圆x2+y2=14上运动，

所以PQmin=OP-12=52，此时原式有最小值为8.

评注首先利用平面向量和运算法则将PB+PC转化为2PD，再利用极化恒等式进行变换.极化恒等式这个概念在高中教材中虽然没有提及，实际推导比较简单，在处理一类向量积的时候往往有事半功倍的效果.

解法10令D为BC中点，由A，B，C三点的轮换对称性可知当原式最小时一定有PB=PC，即此时B，C关于直线PA对称，即P，A，O，D四点共线，易得AP=1，OA=2，DP=4，此时PA·PB+PA·PC=2PA·PD=8.

评注本题作为选择题，观察题目结构，分析题目条件和所求数量积之间关系，尽量数形结合，以形助数，做到小题小做，优化解法，提升解题效率.

平面向量的数量积一直是高考的热点问题，正确理解数量积的定义和几何意义是处理问题的关键;同时要将三角、函数、解析几何、不等式等相关知识加以迁移渗透，综合运用，注重数形结合、化归与转化等数学思想;在解题归纳上注重模型意识，合理转化，妙设巧算，才能将核心素养在解题中得到真正体现和展示.

参考文献：

[1] 孔繁晶.挖掘几何意义 巧解平面向量数量积问题[J].数理化解题研究，2021（25）：6-7.

[责任编辑：李璟]