摘要:解析几何一直是高考中的重要内容,常在选填题中考查直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义与方程、圆锥曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,此类问题综合性较强,本文通过多种解法探究,以期培养学生的几何直观素养、数学运算素养.
关键词:直线;圆;抛物线;八省联考
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2022)07-0095-03
收稿日期:2021-12-05
作者简介:谢新华(1979.8-),男,福建省莆田人,本科,中学高级教师,从事高中数学教学研究.
基金项目:福建省教育科学“十三五”规划课题2020年度教育教学改革专项课题“学科素养视域下‘读思达’教学法的数学课堂应用研究”(项目编号:Fjjgzx20-077).
[FQ)]
1 试题呈现
题目(2021年全国新高考适应性考试暨八省联考数学第7题)已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为 ().
A.x+2y+1=0B. 3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0
2 试题解析
解法1因为A(2,2)在抛物线y2=2px上,
所以22=2p×2,即p=1.
所以抛物线方程为y2=2x.
设过点A(2,2)与圆(x-2)2+y2=1相切的直线的方程为y-2=kx-2,即kx-y+2-2k=0.
则圆心2,0到切线的距离
d=2k-0+2-2kk2+1=1,
解得k=±3.
如图1,直线AB:y-2=3x-2,
直线AC:y-2=-3x-2.
联立y-2=3x-2,y2=2x, 得
3x2+43-14x+16-83=0.
所以xAxB=16-833.
由xA=2,得xB=8-433.
所以yB=23-63.
联立y-2=3x-2,y2=2x, 得
3x2-43+14x+16+83=0.
所以xAxC=16+833.
由xA=2,得xC=8+433.
所以yC=-23-63.
所以yB+yC=23-63+-23-63=-4.
又由B,C在抛物线上可知,直线BC的斜率为kBC=yB-yCxB-xC=yB-yC12y2B-12y2C=2yB+yC=2-4=-12.
所以直线BC的方程为
y-23-63=-12x-8-433.
即3x+6y+4=0.故选B.
解法2因为A(2,2)在抛物线y2=2px上,
所以22=2p×2,即p=1.
所以抛物线方程为y2=2x.
设B(x1,y1),C(x2,y2),设直线AB,AC的方程为y-2=kx-2,联立y2=2x消去x,得
ky2-2y-4(k-1)=0.
即(y-2)(ky+2k-2)=0.
所以y1,2=2k-2.
因为直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,所以d=2k-0+2-2kk2+1=1.
解得k=±3.
所以B((2-23)22,23-2).
所以kBC=y1-y2x1-x2=y1-y212y21-12y22=2y1+y2=223-2+23+2=-12.
所以直线BC的方程为3x+6y+4=0.故选B.
解法3因为A(2,2)在抛物线y2=2px上,
所以p=1.
所以抛物线方程为y2=2x.
设过点A(2,2)与圆(x-2)2+y2=1相切的直线的方程为y-2=kx-2,即kx-y+2-2k=0.
则圆心2,0到切线的距离
d=2k-0+2-2kk2+1=1,
解得k=±3.
不妨设直线AB的斜率为3,则2yB+2=3.
所以yB=23-2,
xB=4(13-23+1)2=4(2-3)3.
设点A关于x轴的对称点为点A′,由极限知识可知BC斜率与抛物线在点A′处切线斜率相同均为-12,所以直线BC的方程为
y=-12(x-8-433)+23-63.
即3x+6y+4=0.故選B.
解法4因为A(2,2)在抛物线y2=2px上,所以p=1.
所以抛物线方程为y2=2x.
如图2可得直线AB,AC的斜率为±3.
设B(2b2,2b),C(2c2,2c),可得直线BC的方程为y-(b+c)=x-(b2+c2)b+c.
即x-(b+c)y+2bc=0.
又因为k2AB=(2b-22b2-2)2=3,
即3b2+6b+2=0.
同理可得3c2+6c+2=0.
即b,c是关于t的方程3t2+6t+2=0的两根.
所以b+c=-2,bc=23.
所以直线BC的方程为3x+6y+4=0.故选B.
解法5因为A(2,2)在抛物线y2=2px上,所以p=1.
所以抛物线方程为y2=2x.
如图2可得切线的斜率为±3,
切线方程为y-2=±3x-2,
联立(y-2)2=3x-22,y2=2x, 得
y-22=3(12y2-2)2.
即y+22=43.
所以y2+4y+83=0.
所以2x+4y+83=0.
即3x+6y+4=0.故選B.
解法6因为A(2,2)在抛物线y2=2px上,
所以22=2p×2,即p=1.
所以抛物线方程为y2=2x.
设B(x1,y1),C(x2,y2),
所以x1=12y21,x2=12y22.
所以kAB=y1-2x1-2=y1-212y21-2=2y1+2.
所以直线AB的方程为y-2=2y1+2x-2.
即2x-(y1+2)y+2y1=0.
因为AB是圆(x-2)2+y2=1的切线,
所以d=4+2y1(y1+2)2+22=1.
所以3y12+12y1+8=0.
所以6x1+12y1+8=0.
即3x1+6y1+4=0.
同理可得3x2+6y2+4=0.
所以直线BC的方程为3x+6y+4=0.故选B.
3 试题变式
变式1设点F为抛物线y2=16x的焦点,A,B,C三点在抛物线上,且四边形ABCF为平行四边形,若对角线BF=5(点B在第一象限),则对角线AC所在的直线方程为().
A.8x-2y-11=0B.4x-y-8=0
C.4x-2y-3=0D.2x-y-3=0
变式2已知P是圆C:(x-2)2+(y+2)2=1上一动点,过点P作抛物线x2=8y的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB斜率的最大值为().
A.14B.34C.38D.12
变式3过抛物线x2=2pyp>0上两点A,B分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点P1,-2,则直线AB的方程为().
A.y=12x+2B.y=14x+3
C.y=12x+3D.y=14x+2
参考文献:
[1] 纪定春,夏逸天,周思波.一道三诊试题的多解及推广[J].中学数学研究,2021(02):34-36.
[2] 左效平.一道平几赛题的多解[J].数理天地(初中版),2021(02):34-35.
[3] 蔡海涛.着力一题多解 引领学生思考——以一道高三质检题为例[J].中学数学月刊,2021(01):61-63.
[责任编辑:李璟]