电能质量信号去噪中小波选取特点的研究

龚静

(北京建筑大学 电气与信息工程学院， 北京 100044)

0 引 言

智能电网的发展使得大量电力电子器件和非线性、波动性负荷不断增加，进而带来了各种电能质量问题。在实际应用中，由于设备安装的位置、外界的电磁干扰等因素，利用监测设备测量、传输电能质量信号的过程中不可避免地会受到随机噪声的干扰。噪声的存在会严重影响信号扰动点的分析和定位，因此，有效去噪是治理电能质量的重要基础[1-3]。

目前提出了各种去噪方法，主要包括：S变换、小波变换、数学形态学、经验模态分解、非线性中值滤波器等，这其中小波变换又以其具有低熵性、多分辨率特性和去相关性而广泛用于电能质量检测中。为了实现去噪，要先设定阈值，然后对小波系数进行置零或者收缩等处理，对处理后的小波系数进行逆变换，重构信号将较好地还原原始信号。传统傅里叶变换的母函数确定就是正弦函数和余弦函数，而小波变换的母函数却不固定。在进行电能质量信号去噪时，各小波所具有的不同特性会使得去噪效果大不一样，选择什么小波去分解和重构信号会对去噪效果有着重要影响[4-14]。但目前却并没有文献在小波选取上进行深入的研究，不同的文献选择了不同的小波，如文献[6]选择的rbio 3.1小波，文献[7-8]选择了db 4小波，文献[9]采用db 6小波，文献[10]采用db 2和db 8小波，文献[11-12]采用sym 8小波，但这些文献都没有详细说明具体的小波选取原则，也并没有深入探索这些不同小波所具有的不同特性对去噪结果的影响。

文中提出一种含有可调参数的新阈值函数，在研究小波诸多特性对去噪结果影响的基础上，给出了在电能质量信号去噪中所选取的小波应该满足的五个特点。

1 可调阈值函数和阈值的选取

1.1 新阈值函数的提出

阈值函数的选取对去噪重构信号高频信息和平滑性有着直接的影响，软阈值函数因其过渡光滑会造成高频信息的损失，硬阈值函数因其不连续会产生一些间断点，提出的可调阈值函数，通过对其参数m的控制，可以实现多种不同的软硬特性，其数学表达式如下：

(1)

式中m为可调节因子，可取任意正常数。

当m→∞时，有：

(2)

显然，式(2)变成了硬阈值函数表达式。

同理，当m→0时，将变为软阈值函数。

当参数m∈(0，∞)，改变参数m的值，新阈值函数可以在软硬阈值函数之间变动，其示意图如图1所示，图中分别展示了m取0.8、1.3、2、3、5、14时的阈值函数，当m=14时，新阈值函数比较接近硬阈值函数，随着m值的逐渐减小，新阈值函数慢慢趋于软阈值函数特征，当m=0.8，新阈值函数已经比较接近软阈值函数了。从图1可见，m取不同值时，新阈值函数分别软硬阈值函数之间的不同区域，反应了多种不同的软硬特性，实际中m一般可以在0～30之间取值。

图1 新阈值函数示意图Fig.1 Schematic diagram of new threshold function

1.2 阈值的选取

(3)

式中j为小波分解尺度；N为在j尺度上的小波细节系数cdj,k的总个数，噪声标准差σj计算如下:

(4)

图2 去噪算法流程图Fig.2 Flow chart of wavelet de-noising algorithm

2 小波特性分析

2.1 正交性

在小波分析中，讨论比较多的是平移的系统，即有：

2.2 支撑长度

随着时间或频率逐渐趋于无穷大，小波函数和尺度函数逐步收敛，支撑长度表明了其从有限值收敛到零的速度。小波的支撑长度越小，则局部化能力越强，对检测信号的突变点越有利，但同时也会导致光滑性变差。滤波过程中会产生人为截断，紧支小波能很好地避免截断导致的误差，从而提高精度[16]。时域快速衰减、频域紧支的小波函数在分解信号时，能够提供系数有限的冲击响应滤波器。

2.3 正则性

对函数f，若|f(x)-f(x0)|≤C|x-x0|α，x∈(x0-δ,x0+δ)(C、α>0为常数)，则称f在x0具有局部Lipschitz指数α，如果g在x0具有局部Lipschitz指数β，而β>α，则g比f在x0具有较高的局部正则性[17]。如果ψ(t)的正则性高，则近似计算的稳定性好，否则，几乎到处会出现近似计算不稳定的问题。如果信号在某一点或者在某一区间是可微的，那么称信号在该点或者在该区间是正则的，反之就是奇异的。

2.4 消失矩阶数

2.5 对称性

设函数f(t)∈L2(R)，如果满足：

f(a+t)=f(a-t)

则称f(t)具有对称性。

如果满足：

f(a+t)=-f(a-t)

则称f(t)具有反对称性。

对称性主要用来表征信号的相位信息。紧支小波函数的线性相位性可以等同于其对称性，也就是说，若小波的对称性越好，则其具有更好的线性相位性。

2.6 小波选取遵循的五个特点

基于以上对小波特性的分析，为取得更好的去噪效果，选取的小波应满足以下特点：

(1)具有正交性。

利用正交小波函数处理信号，能够减少误差，避免信号能量和特征的丢失。在小波分解过程中，正交性能够保证没有冗余；在基函数平移过程中，正交性可以实现信息的不重叠；

(2)较长的支撑长度。

支撑长度越长越适于做频域信号的局部分析，反之则适于时域信号。在电能质量信号的去噪中，对时域要求不高而更关注频域的信息，故应该选择具有较长支撑长度的小波函数；

(3)较高的正则性。

正则性越高，小波越能快速收敛，频域的局部性也就越好。小波函数的正则性会在一定程度上影响小波重构系数的稳定性，具有一定的正则性则可以获得更稳定的小波重构信号；

(4)较高的消失矩阶数。

消失矩阶数越高，则小波变换后的能量主要集中在低频部分，小波分解后信号的能量也越集中，因此在检测高阶导数不连续的信号时，局部化能力得以提升；

(5)对于对称性要求不高。

去噪并不一定要求小波的滤波特性要具有线性相位。

3 实验研究

3.1 从细节图对比去噪结果

利用小波对信号进行分解时，必须确定合理的分解尺度，对信号的频带进行正确的划分，频带划分不宜过细以防止采样点数过少，也不宜过宽以防止准确性降低，综合考虑后，确定分解到第4尺度。依据IEEE 1159电能质量监控标准建立扰动信号，基准频率取为50 Hz。因实际中电能质量数据的采样通常都是12.8 kHz,故文中选取采样频率为12.8 kHz,即每周波256个采样点[19]。实验时长0.3 s,共计3 840个采样点。限于篇幅，下面以一含有暂升、中断、谐波三种扰动的复合电能质量信号为例，选择有代表性的db 5、haar、bior 2.2、rbio 3.1四种小波按照图2流程进行去噪后的信号如图3所示。从图3初步可以看出，rbio 3.1小波去噪后波形很不光滑，效果差，为能更清晰地观察其他三种小波的去噪效果，将A、B、C三处(如图3中虚线框标示)的波形进行局部放大，对应的细节放大如图4所示，进一步将C点细节图中的D点局部放大，得到图4中的D点细节图。

图3 四种小波去噪后的信号Fig.3 De-noised signals by four kinds of wavelets

图4 ABCD点的细节图Fig.4 Details of ABCD points

波形分析：从图4的C点细节图可以清晰地看到，采用rbio 3.1小波去噪后波形与原始信号波形相差甚远，毫无规则且大幅度的偏离原始信号，其去噪效果明显远远差于db 5、haar、bior 2.2小波。再从图4 的A、B、D点细节图对比db 5、haar、bior 2.2三种小波，显然haar小波去噪后波形偏离原始波形较大且不光滑，db 5小波去噪后波形几乎与原始波形重合，达到了最好的去噪效果。bior 2.2小波去噪后波形尽管与原始波形较为接近，但仍然存在偏离较大的位置，如A点细节图[0.065，0.0655]、B点细节图的[0.195，0.1955]、D点细节图的[0.267，0.268]等区间出现的冒尖点，故bior 2.2小波去噪效果优于haar小波，但劣于db 5小波。

原因分析：结合各小波的特性来进一步分析深层次的原因。db 5、bior 2.2、haar小波的支撑长度分别为9、6、1，上述的波形分析验证了2.6节提出的选取特点(2):较长的小波支撑长度具有更好的去噪效果。而通常支撑长度越长则正则性也越好，这也验证了2.6节提出的选取特点(3):选择较高正则性的小波将更有利于去噪。db 5、bior 2.2、haar小波的消失矩阶数分别为5、1、1，验证了2.6节提出的选取特点(4):较高的消失矩阶数更有利于频域的分析。对称的haar和rbio 3.1小波的去噪效果不如近似对称的db 5小波和不对称的bior 2.2小波，可见对称性对去噪效果影响不大，这验证了2.6节提出的选取特点(5):去噪中对于对称性无特殊要求。另外，bior 2.2和rbio 3.1小波都无正交性，但bior 2.2小波消失矩阶数为1，而rbio 3.1无消失矩阶数，前者去噪效果尚可，故可见相比于正交性，消失矩阶数是影响去噪的关键因素。

综上可知， db 5小波的去噪效果优于bior 2.2，这两者又明显优于haar、rbio 3.1小波。

3.2 从SNR和MSE指标对比去噪结果

去噪效果的评价指标[20-21]通常是信噪比SNR(Signal-to-Noise Ratio)和均方误差MSE(Mean Square Error)，其定义式为:

(5)

(6)

式(5)、式(6)中，s(t)表示原始信号；s′(t)表示去噪后的信号。

建立电压暂降、中断、振荡、谐波四种电能质量扰动模型，利用db 5、bior 2.2、haar、rbio 3.1四种小波按照图2流程进行去噪后的SNR和MSE值,如表1所示。可见，无论输入信噪比为何值，无论是哪种扰动类型，去噪后的SNR值从高到低排列、去噪后的MSE值,从低到高排列对应的小波依次为db 5、bior 2.2、haar、rbio 3.1，信噪比越大，均方误差越小，则去噪效果越好，这进一步证明了满足2.6节提出的小波选取特点的db 5小波去噪效果最好。

表1 四种小波去噪后的SNR和MSE对比Tab.1 Comparison of SNR and MSE after different wavelets de-noising

当输入SNR=18 dB时，针对电压暂降、中断、振荡、谐波四种扰动情况，利用db 5小波进行去噪，波形如图5所示，可见db 5小波去噪后的波形光滑，选用db 5小波达到了较好的去噪效果。

图5 含噪信号和db 5小波去噪后的信号Fig.5 Noisy signals and de-noised signals by db 5 wavelet

4 结束语

文章提出的可调阈值函数兼具软、硬阈值函数的优点，阈值修正算子的引入更好地反映了信号和噪声小波系数在不同尺度间的传播特性。对小波的特性进行了深入研究，进而提出了在电能质量信号去噪中小波选取应满足的五个特点，即应该选择具有较长支撑长度、较高正则性和消失矩阶数的正交小波，而对小波的对称性没有特殊要求。针对电压暂降、暂升、中断、振荡、谐波五种电能质量扰动，采用db 5、haar、bior 2.2、rbio 3.1四种小波进行去噪，实验结果表明，db 5小波去噪后波形几乎与原始波形重合，且去噪后SNR最大、MSE最小，去噪效果远优于其他三种小波，这证明了所提小波选取原则的正确性。