无色散p-约化KP系列的弦方程

虎 蓉， 易 戈

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

在可积系统领域中，Kadomtsev-Petviashvili(KP)系列是非常重要的一个研究课题，它具有许多良好的结构.弦方程的研究在KP系列的理论发展中起着重要的作用.Orlov和Schulman通过定义一个拟微分算子M得到附加对称流的具体形式，这些附加对称流构成一个无中心的W1+∞代数[1].特别地，Dickey研究了 KP系列的附加对称、弦方程和Virasoro约束等物理问题之间的联系，并且，利用Lax算子L和附加对称算子M给出了附加对称对KP系列τ函数的作用[2-3].约束离散KP系列及量子化推广KP系列也已被研究[4-6].Panda和Roy研究了p-约化KP系列τ函数的Virasoro代数约束[7].

无色散可积系列在数学物理的许多领域具有重要的意义，在数学物理的诸多方面都有应用.Krichever给出了的无色散Lax方程[8]，这为无色散KP系列的后续研究奠定了基础.后来，Takasaki和Takabe对无色散KP系列的研究做出了较大贡献，他们讨论了该系列的Lax表示、无穷多对称、无穷多守恒量、附加对称和twistor结构等[9-10].虽然无色散KP系列已经进行过许多研究，但其弦方程一直未被明确给出，这便是本文的研究动机.论文给出了无色散KP系列的弦方程，并在此基础上又给出无色散p-约化KP系列的弦方程.

2 预备知识

无色散KP系列[9]的Lax函数L定义为关于k的形式劳伦级数

满足下面的Lax方程

(1)

其中，Bn=(Ln)≥0，n=1，2，….泊松括号的定义为

引理1[9]存在dressing算子eadφ使得无色散KP系列的Lax函数可表示为dressing形式

L=eadφ(k)，

且满足等式

∇tn，φφ=-(eadφ(kn))≤-1，n=1，2，….

(2)

其中

定义1[9]无色散KP系列的Orlov函数M由dressing算子eadφ定义

(3)

(4)

引理2[9]无色散KP系列的Orlov函数M满足Lax方程

(5)

且满足正交关系式

{L，M}=1.

(6)

3 无色散p-约化KP系列的弦方程

命题1由无色散KP系列的两个函数L和M满足正交关系(6)可以推出以下等式成立：

{Ln，ML1-n}=n.

(7)

证由等式{L，M}=1，结合泊松括号的运算性质，易得下式成立：{Ln，M}=nLn-1.接着，由莱布尼兹规则可得

{Ln，ML-n+1}={Ln，M}L-n+1+{Ln，L-n+1}M={Ln，M}L-n+1=n.

(8)

称等式(8)为无色散KP系列的弦方程.

至此，无色散KP系列的弦方程已被给出，下面考虑约化情形下的弦方程.对无色散KP系列的Lax算子增加约化条件：(Lp)≤-1=0，p≥2，称之为无色散p-约化KP系列，其Lax函数Lp=kp+up-2kp-2+…+u0满足：

定理2对于无色散p-约化KP系列有下列等式成立：

且满足弦方程

(9)

证根据函数M的表达式(4)可得

则由等式(8)可得

即弦方程(9)成立.

上述定理表明，对于无色散KP系列的Lax函数L及其对应的M，若满足弦方程(8)，则该系列一定是无色散p-约化KP系列；反之，无色散p-约化KP系列的Lax函数L及其对应的函数M一定满足弦方程(9).

定义3拟微分算子的“order”为

由此定义拟微分算子的“principal symbol”为

基于上述定义，可知无色散KP系列的解与KP系列的解有如下关系[9]：L=σε(L(ε))，且M=σε(M(ε))就是与之对应的Orlov函数.给出的无色散p-约化KP系列的弦方程(9)与p-约化KP系列的弦方程也保持着这样的对应关系，即原来关于∂的拟微分算子对应着关于k的形式劳伦级数，原来的李括号就对应着无色散情形下的泊松括号.

4 举 例

前面已经给出了无色散p-约化KP系列的弦方程，下面分别就p=2和p=3的两种情况，分别给出无色散KdV系列和无色散Boussinesq系列的弦方程.

例1无色散2-约化KP系列即为无色散KdV系列，其约化条件为：(L2)≤-1=0，则L2=k2+u(x，t)，其中u(x，t)是关于变量x和t2n+1的微分多项式，且n=0，1，2，….此时，Lax函数L可形式展开为

例2对于无色散3-约化KP系列，即为无色散Boussinesq系列，满足约化条件(L3)≤-1=0，则有

L3=k3+4u(x，t)k+2u′+w(x，t)，

其中，u(x，t)，w(x，t)均为Lax函数L的系数函数.此时，Lax函数L可展开为

5 结 论

文章的主要工作是从无色散p-约化KP系列的特殊附加对称流方程出发给出其弦方程，且该方程保持了无色散情形与经典情形的对应关系.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.