基于对偶原理的三相五柱式Sen变压器准稳态模型

周 超，韩 松，卜 亮，潘宇航

（贵州大学 电气工程学院，贵州 贵阳 550025）

0 引言

大规模并网的风电、光伏等新能源的出力波动性、间歇性和不确定性等［1-2］给我国电力网络的潮流调控、电压调节带来了越来越大的挑战［3-4］。统一潮流控制器（UPFC）是柔性交流输电系统（FACTS）中最具有代表性和综合性的装置之一，但是过高的建设和运行成本限制了其广泛应用。

Sen 变压器ST（Sen Transformer）是由Sen 提出的一种改进型移相变压器，其可实现与UPFC 类似的有功无功独立调节功能［5］。文献［6］详细分析了UPFC与ST的优点和缺点，指出ST具有结构简单、容量大、可靠性高等显著优点，但是其调节的精度和速度有所欠缺。因此，文献［7］提出了一种混合式潮流控制器，该控制器结合了ST 容量大、性能好和UPFC灵活调节的优点，提高了潮流控制性能。文献［8］提出了一种ST 分接头反相调节的控制策略，通过增加ST 副边绕组分接头运行点的数量提高ST 的控制精度。从变压器建模的角度，已有的变压器建模方法主要有对偶原理法和统一电磁等效电路法UMEC（Unified Magnetic Equivalent Circuit method）2 种，这2 种方法都是基于磁等效电路理论。对偶原理法由Cherry 最先提出［9］，并由Slemon 进一步发展，文献［10-12］采用对偶原理法，对具有不同铁芯结构的变压器进行了详细建模。但目前未见文献基于对偶原理法对ST 建模问题进行完整的研究。从ST 的铁芯结构角度，已有研究中ST 的铁芯结构主要是单相变压器组式结构和三相三柱式结构。文献［13］基于统一迭代法的解算思想，建立了扩展型ST 的稳态潮流模型；文献［14］提出了一种ST 副边抽头最佳组合的调控策略；文献［15］基于变压器T 型等效电路，提出了一种适用于基于电子式有载分接开关的扩展型ST 的开关暂态模型。上述文献中的ST 模型均由9个单相变压器构成。为了研究ST 的内部及外部特性，文献［16］建立了考虑多绕组耦合的ST电磁解析模型剖析ST 的内部电磁交互机制；文献［17］建立了ST的电磁暂态模型，主要研究ST的外部特性。文献［16］和文献［17］中的ST 均为三相三柱式铁芯结构。然而，在大型电力变压器中，考虑到运输能力、占地面积以及大容量的电力传输，可能更适合采用三相五柱式变压器铁芯结构［18］。另外，高压配电网的拓扑结构通常包含大量的站间联络，或存在“220 kV-110 kV-220 kV”等形式的电磁环网，导致其网络拓扑结构呈现多环状态［19］。因此，三相五柱式ST 可能为一种潜在的应用形式，值得进行深入研究。

本文考虑对偶原理的等效本质以及三相五柱式ST 的复杂磁路分布，为简化建模过程，忽略变压器的暂态特性［20］，采用对偶原理推导了磁路与电路耦合的三相五柱式ST 准稳态模型；利用1 台138 kV、160 MV·A 的三相五柱式ST 及其电气系统，从潮流控制、故障分析、不平衡负载工况适应性三方面对所提模型进行算例分析。

1 三相五柱式ST的准稳态模型

1.1 ST的工作原理

ST 的结构原理如附录A 图A1 所示。ST 的原边侧绕组采用星形连接，并联接入电气系统送端母线，构成励磁单元；副边侧每相由3 个带抽头的绕组组成，构成补偿电压单元。其中，副边侧A、B、C 相绕组分别为a1—a3、b1—b3、c1—c3；A 相串联补偿电压UST，A=UST，a1+UST，b1+UST，c1，UST，a1、UST，b1、UST，c1分 别 为 副边绕组a1、b1、c1抽头处的电压。由于UST，a1、UST，b1、UST，c1之间互差120°，可以通过调节副边侧抽头位置改变3 个补偿电压单元的组合方式达到调控UST，A的目的，从而改变ST 的输出电压US′A。同理可得，B、C相的串联补偿电压UST，B、UST，C亦可通过调节抽头的位置进行调控。另外，为了使ST 的串联补偿电压三相对称，应保证在任意时刻，a1、b2、c3投入运行的绕组匝数相等，b1、c2、a3投入运行的绕组匝数相等，以及c1、a2、b3投入运行的绕组匝数相等。

1.2 三相五柱式ST的磁路结构分析

三相五柱式ST的铁芯结构及磁通分布如图1所示。图中：实心柱体和斜条纹柱体分别表示三相五柱式ST 的三相原边绕组和副边绕组；ΦA、ΦB、ΦC为ST 的励磁主磁通；Φy1和Φy2分别为A、B 相之间和B、C相之间铁轭的磁通；Φg1、Φg2分别为铁芯左、右侧旁柱与旁轭的磁通；Φa1、Φb1、Φc1为铁芯柱与其相邻绕组之间的漏磁通；Φa2、Φb2、Φc2、Φa3、Φb3、Φc3、Φa4、Φb4、Φc4为相邻绕组之间的漏磁通。

根据图1 中的磁通分布可以得到图2 所示的三相五柱式ST 的等效磁路。图中：FHA、FHB、FHC分别为流过三相五柱式ST 原边绕组a4、b4、c4的电流所产生的磁动势；FLa1—FLa3、FLb1—FLb3、FLc1—FLc3分别为流过三相五柱式ST 副边绕组a1—a3、b1—b3、c1—c3的电流所产生的磁动势；Ram、Rbm、Rcm为三相五柱式ST的三相铁芯柱励磁主磁通路径上的非线性磁阻；Ry1和Ry2分别为A、B 相和B、C 相之间铁轭磁通路径上的非线性磁阻；Rg1、Rg2分别为铁芯左、右侧旁柱和旁轭磁通路径上的非线性磁阻；Ra1、Rb1、Rc1为铁芯柱与其相邻绕组之间漏磁通路径上的漏磁阻；Ra2、Rb2、Rc2、Ra3、Rb3、Rc3、Ra4、Rb4、Rc4为相邻绕组之间漏磁通路径上的漏磁阻；Rq1和Rq2分别为空气中A、B相和B、C相之间与铁轭平行的漏磁阻；Rd1和Rd2分别为空气中与旁柱和旁轭平行的漏磁阻。

图1 三相五柱式ST的铁芯结构及磁通分布示意图Fig.1 Schematic diagram of iron-core structure and flux distribution of three-phase five-limb ST

图2 三相五柱式ST的等效磁路示意图Fig.2 Schematic diagram of equivalent magnetic circuit of three-phase five-limb ST

1.3 三相五柱式ST的计算模型

根据对偶原理［9］，主磁通在铁芯、铁轭以及旁柱部分的磁通路径产生的磁阻可等效为非线性电感，漏磁通在空气中的磁通路径产生的磁阻可等效为线性电感。根据对偶原理得到的描述三相五柱式ST基本电磁关系的等效电路模型如附录A图A2所示。在该等效电路模型中，三相五柱式ST 的铁芯采用考虑铁磁磁滞及饱和的非线性电感Lam、Lbm、Lcm及与其并联的反映铁芯损耗的电阻Ram、Rbm、Rcm表示；与铁芯部分类似，铁轭部分采用考虑铁磁磁滞及饱和的非线性电感Ly1、Ly2以及与其并联的反映铁芯损耗的电阻Ry1、Ry2表示，旁柱部分采用考虑铁磁磁滞及饱和的非线性电感Lg1、Lg2以及与其并联的反映铁芯损耗的电阻Rg1、Rg2表示。根据图A2列写节点电压方程如下：

式中：IST，P、IST，p和UST，P与UST，p分别为TA、TB、TC的原边侧电流矩阵、副边侧电流矩阵和原边侧电压矩阵、副边侧电压矩阵，具体表达见附录A式（A17）。

式中：UST，pa、UST，pb、UST，pc分别为TA、TB、TC副边侧的端电压；UST，sa1—UST，sa3、UST，sb1—UST，sb3、UST，sc1—UST，sc3分别为TLa1—TLa3、TLb1—TLb3、TLc1—TLc3原边侧的端电压。

1.4 三相五柱式ST的电气解析模型

如图A1 所示，三相五柱式ST 的原边侧并联接入送端、副边侧串联接入送端，根据外接系统电路和三相五柱式ST的电气连接关系可建立如下方程：

式中：UST，PA、UST，PB、UST，PC分别为TA、TB、TC原边侧的端电压；UST，SA1—UST，SA3、UST，SB1—UST，SB3、UST，SC1—UST，SC3分别为TLa1—TLa3、TLb1—TLb3、TLc1—TLc3副边侧的端电压；ZT为线路阻抗；Zr为外接系统的受端阻抗；RA、RB、RC为原边绕组的电阻；RL1、RL2、RL3为副边绕组的等效电阻；RLa1、RLb1、RLc1、RLa2、RLb2、RLc2、RLa3、RLb3、RLc3为副边绕组的电阻。

综上所述，式（1）—（9）即为三相五柱式ST 的准稳态模型，对式（1）—（9）进行联立求解即可得到三相五柱式ST 原边侧和副边侧共12 个绕组的电压和电流。

2 模型参数计算

图A2 中的电路参数，如绕组间的漏抗、反映铁芯损耗的电阻等一般可通过实验计算得到。若没有实际样机，则可以通过变压器设计尺寸对其电磁特性进行模拟［11］。

2.1 铁芯参数

硅钢片在交变的磁场中会感应出涡流，考虑涡流效应后，可采用复磁导率描述铁芯属性。基于对偶原理，等效磁路中反映铁芯属性的非线性磁阻R可用等效非线性电感Leq和电阻Req并联表示［11］，如式（10）所示。

2.2 电感参数

三相五柱式ST 绕组的几何排列和尺寸如图3所示，绕组间漏感可以通过绕组的设计尺寸进行计算［18］，表达式如式（11）所示。

图3 三相五柱式ST绕组的几何排列和尺寸Fig.3 Geometrical arrangement and sizes of windings of three-phase five-limb ST

式中：Ls12、Ls23、Ls34分别为a1与a2、a2与a3、a3与a4之间的漏感；N1—N3为副边绕组匝数；lc为磁通路径的平均长度；r1—r4分别为a1—a4的平均半径；r12、r23、r34为两绕组之间几何空间的平均半径；d1—d4分别为a1—a4的厚度；d12、d23、d34分别为a1与a2、a2与a3、a3与a4之间的距离。

3 算例分析

为简化计算，在计算过程中不考虑铁芯饱和特性和磁滞特性，即铁芯磁导率为常数。一般而言，w的范围为0.23～0.35 mm，μr的范围为7000～10000，本文取w=0.3 mm［11］、μr=10 000［16］进行计算。外接系统电路和三相五柱式ST的主要参数如附录B 表B1、B2所示。

3.1 算例1：模型验证

3.1.1 三相五柱式ST的功率调节

为验证本文所提模型的有效性，本文利用1 台三相五柱式ST 进行解析计算。设置三相五柱式ST的串联补偿电压的幅值以0.1 p.u.步长从0.1 p.u.阶跃变化至0.4 p.u.，其相角β在［0°，360°］范围内变化，则三相五柱式ST 受端的有功功率Pr和无功功率Qr如图4 所示。由图可见，随着串联补偿电压的幅值和相角的变化，本文所提模型的Pr-Qr曲线呈四象限变化，从而验证了所提模型的有效性。然而，该Pr-Qr曲线与正六边形存在一定的差异，这可能是由注入串联补偿电压的过程中，线路中出现的负载波动、抽头位置变化引起的补偿点处的戴维南等效阻抗变化以及三相五柱式ST 励磁单元处并联负载发生变化等因素导致的。

图4 不同的串联补偿电压幅值和相角下，三相五柱式ST的Pr与Qr的关系Fig.4 Relationship between Pr and Qr of three-phase five-limb ST under different amplitudes and phase angles of series compensation voltage

3.1.2 三相五柱式ST的串联补偿电压调节

以A 相串联补偿电压的幅值UST，A和相角β为例，基于本文所提模型，按照文献［14］中的电压调节方式进行电压补偿，即在不同时间段预设理想的串联补偿电压幅值和相角：在［0，5］s 时段内，UST，A=0，β=0°；在（5，14］s 时段内，UST，A=0.2 p.u.，β=120°；在（14，23］s 时段内，UST，A=0.2 p.u.，β=60°；在（23，32］s时段内，UST，A=0.4 p.u.，β=60°。文献［14］在PSCAD／EMTDC 平台中搭建三相五柱式ST 仿真模型，在［0，32）s 时段内根据设定的不同补偿电压，得到了分接开关切换过程中的串联补偿电压US＇，sa和副边绕组电流IS＇，sa的变化过程。本文所提模型和文献［14］得到的三相五柱式ST 串联补偿电压幅值和副边绕组电流幅值如图5 所示。图中：US＇，sa、IS＇，sa分别为串联补偿电压US＇，sa和副边绕组电流IS＇，sa的幅值；电压、电流幅值均为标幺值；下标（max）、（min）分别表示最大、最小值。

图5 三相五柱式ST串联补偿电压和副边绕组电流的幅值变化Fig.5 Amplitude change of series compensation voltage and secondary winding current of three-phase five-limb ST

由图5 可见，基于本文所提模型，按照文献［14］的电压调节方式得到的UST，A和IST，sa与文献［14］经试验得到的US＇，sa和IS＇，sa的变化趋势基本相同，进一步验证了本文所提模型的有效性。然而，本文的串联补偿电压结果与文献［14］的串联电压补偿在一定的差异。这是因为文献［14］的ST铁芯由9个单相变压器组成，三相磁路彼此无关，因此没有考虑铁芯磁通之间的相互耦合；而本文所提三相五柱式ST 模型不仅考虑了磁路之间的相互耦合，还考虑了铁芯涡流效应的影响。

3.2 算例2：三相五柱式ST在故障下的短路电流

为了进一步研究三相五柱式ST 在串联电压补偿状态下发生不同故障时的短路电流，以UST，A=0.2 p.u.、β=60°为例，利用本文所提模型以及在MATLAB／Simulink中搭建的仿真模型，分别对三相五柱式ST出口处发生A相接地、AB相接地、AB相间短路以及ABC 相间短路故障进行计算，仿真参数见表B1、B2，仿真时间设为1 s，故障发生在0.5 s，A相接地故障的短路电流的计算和仿真结果见图6，AB 相接地、AB相间短路以及ABC相间短路故障的短路电流的计算和仿真结果见附录B 图B1。由图6、B1 可见，三相五柱式ST出口处发生短路故障前，本文所提模型的计算结果与仿真结果基本一致，其稳态电流的误差不超过0.45%；三相五柱式ST 出口处发生A相接地短路、AB 相接地短路、AB 相间短路以及ABC相间短路故障时，A 相短路电流峰值的仿真结果分别为10.353 6、11.708 11、10.388 41、12.625 89 kA，本文所提模型的计算结果与仿真结果基本相同，A 相接地短路故障下稳态电流的误差最大，但未超过0.65%。综上所述，本文所提模型与仿真模型得到的短路电流吻合度较好，这进一步表明本文所提模型在串联电压补偿状态下对不同的短路故障情况均是有效的。

图6 发生A相接地故障时短路电流的计算结果与仿真结果Fig.6 Simulative and calculative results of short circuit current under phase-A grounding circuit fault

3.3 算例3：在不平衡负载情况下比较不同铁芯结构的ST

设置不平衡负载工况Za=48+j12.44 Ω、Zb=63+j12.44 Ω、Zc=98+j12.44i Ω，串联补偿电压的幅值按步长0.1 p.u.从0.1 p.u.阶跃变化至0.4 p.u.，其相角β在［0°，360°］范围内变化，基于上述条件对处于不同串联电压补偿状态下的三相三柱式ST 和三相五柱式ST 的输出电流不平衡度rub进行解析计算，结果如图7所示。

由图7 可见，当串联补偿电压的幅值从0.1 p.u.阶跃变化至0.4 p.u.，相角在［0°，360°］范围内变化时，三相三柱式ST、三相五柱式ST的输出电流不平衡度分别在［26.04%，27.812%］、［22.45%，27.086%］范围内变化，且输出电流不平衡度的差异从0.504%增大至3.895%，这表明在不平衡负载工况下，与三相三柱式ST 相比，三相五柱式ST 的输出电流平衡度更好。这是因为当ST 工作在不平衡负载工况下时，对于三相三柱式铁芯结构，零序磁通只能通过油箱完成它的路径，而对于三相五柱式铁芯结构，零序磁通则可以通过由旁柱和旁轭提供的低磁阻路径形成回路，所以三相五柱式铁芯结构的磁通分布比三相三柱式铁芯结构的磁通分布更加对称，其输出电流不平衡度更低。因此，三相五柱式ST 比三相三柱式ST更适用于不平衡负载工况。

图7 不同铁芯结构的ST的输出电流不平衡度比较Fig.7 Comparison of output current unbalance degree between ST with different core structures

4 结论

本文采用对偶原理推导了计及铁芯涡流效应和磁路耦合效应的三相五柱式ST 准稳态模型。利用1 台138 kV、160 MV·A的三相五柱式ST及其电气系统进行算例分析，并与已有文献所得的电压、电流等潮流控制结果，以及MATLAB／Simulink 仿真模型所得短路电流结果进行比较，同时比较了不同铁芯结构的ST的输出电流平衡度，得到结论如下：

1）从模型适用性的角度，本文所提模型利用对偶原理，可实现由三相五柱式ST 的等效磁路得到其等效电路，能够保证拓扑结构的正确性，对于不同铁芯结构的ST有较强的适用性；

2）从电磁耦合的角度，本文所提模型考虑了三相五柱式ST 相间的磁耦合作用、绕组间漏磁通作用以及涡流效应，能够较为准确地反映三相五柱式ST的内在电磁特性。

3）从铁芯结构的角度，不同铁芯结构对ST 的输出电流不平衡度有一定的影响，当负载不平衡较为严重时，三相五柱式ST 的输出电流不平衡度优于三柱式ST 的输出电流不平衡度，但本文算例中两者的差异未超过4%。

附录见本刊网络版（http：//www.epae.cn）。