基于大概念的初中函数主题教学设计探析

刘永东 段振富 林山杰

（1.广州市天河区教师发展中心，广东 广州 510630；2.福州第十六中学，福建 福州 350001；3.闽侯县上街实验学校，福建 闽侯 350108）

一、问题的提出

一般来说，大概念是在经验和事实的基础上，对子概念之间联系加以整合抽象概括的、对本学科其他内容更具有统摄力、关联性并能更加广泛迁移的概念。威金斯和麦克泰格（Wiggins&McTighe）提出，大概念是处于课程学习中心位置的观念、主题、辩论、悖论、问题、理论或者是原则等，能够将多种知识有意义地联结起来，是不同环境中应用这些知识的关键。［1］学者们对数学大概念持有一个共同观点：大概念应能贯穿整个数学课程，应当是最重要、最核心、最具统整性的数学；应当和其他知识点具有充分的联系；应当体现出数学的本质特点；应当为后续获取更高层次的学习提供必要的基础。［2］具体说，高度提炼大概念以构建教学整体观，从大主题视角看课时教学，关注学生的学。本文基于初中函数主题教学，以人教版八年级下册第19 章《一次函数》主题教学设计为例，试作阐释。

二、主题教学设计的大概念确定

（一）确定大概念是什么

概念是指对一类具体事物本质特征的抽象概括，大概念是学科领域中最有价值的内容，如高中数学课程的函数主线等内容、初中数学课程四大领域的主线内容、高中数学六大学科核心素养等，均是大概念。

函数内容贯穿整个中小学教学。从通过具体的实例初步建立函数概念的意识，到通过抽象的情景建立变量观点下的函数概念，再到从变量、图象、对应三个角度认识函数的概念。这说明不同阶段的数学大概念是有层级的，比如，“函数是刻画客观世界变化规律的重要模型”就比“函数是两个非空数集之间的对应关系”层次来得高。［3］对于数学学科来说，“大概念”的层次一般按照五个层次进行分类。一是跨学科大概念，指在教学实践中出现很多跨学科的关键概念；二是学科大概念，是指学科所独有的育人价值，其他学科不能替代的育人功能，例如各学科的核心素养；三是课程大概念，例如课程知识结构的主线内容；四是主题大概念，是指主线内容下主题之间的整体联系性，例如重要的数学概念与思想方法要等；五是课时大概念，每个课时中统领教学整个过程的核心内容或思想方法。需要指出的是，在确定大概念时，应该把与学习相关的知识、技能、方法、思想以及这些内容所体现的数学价值、教育价值、核心素养综合起来，进行整体性思考。

例如，在进行初中函数主题教学时，需要提取主线知识的各层级大概念，对函数有一个大概念层级理解（图1）。

图1 初中函数的大概念层级关系

（二）如何确定大概念

通过分析，我们知道大概念可以从层次维度来提炼。具体而言，按照“从高到低”纵向结构来提取大概念，分别为跨学科角度、学科角度、课程内容角度、学科主题角度和学科课时角度。以下结合《一次函数》主题内容提取相关的大概念。

首先，跨学科角度提取大概念。函数研究的核心是对应关系，变化中的不变性、规律性、连续性、符号、推理、抽象等概念不仅仅是数学学科所特有的，它们还是跨学科的大概念。其次，从学科角度提取大概念。“对应”是用联系和发展的眼光观察得到变化规律，是用数学眼光观察世界的表现，体现了建模的思想方法，体现了数学的本质，因此，函数是学科大概念。若从内容提取大概念，初中阶段明确给出函数定义，要求学习三种函数，这是该阶段课程内容体现出来的大概念。若从主题内容提取大概念，两个方面是核心，一个是本单元最核心的内容，通常可用知识框架图来表示（图2），清晰构建主题知识体系，从而得到主题大概念。而从主题研究路径入手，即“生活情境问题，抽象出函数的定义，根据图象得出性质，运用性质解决生活中的问题”，学习路径也是大概念。最后，从课时内容提取大概念。学习函数最核心的问题是建立函数意识，理解变化和对应的关系，弄清函数定义背后包含的本质问题，通过三种函数图象与解析式之间的关系，发展数形结合的抽象能力。综上所述，对一次函数单元教学设计提取大概念的路径和内容，如图3 所示。

图2 函数的概念与性质知识内容

图3 一次函数的大概念提取路径和内容

三、基于大概念的主题教学设计要素分析

（一）主题内容分析

小数是初中数学课程“数与代数”领域的核心内容，函数是数学抽象、数学模型等多种数学思想方法的重要知识载体，也是学生由静态数量关系学习到动态变化规律研究的重要工具，是重要的数学概念与思想方法的螺旋上升。人教版教科书把初中函数主题分成一次函数、二次函数和反比例函数三个子主题，基于大概念的数学主题教学设计的具体落实，要求根据主题教学目标和分主题的具体教学目标统筹规划教学进程。从宏观视角规划初中函数主题的主体结构，如图4 所示；从微观视角规划分主题的课时教学进程，并分解目标到课时，以一次函数为例的教学进程，如图5 呈现。

图4 基于宏观视角的函数主题教学进程

图5 基于微观视角的“一次函数”主题课时教学安排

在《一次函数》教学中，师生从研究对象、研究方法、研究框架和研究价值等初步认识和感受一次函数，同时掌握其基本研究路径：从实际问题中抽象一次函数概念，到研究函数的图象和性质，进而运用函数解决实际问题。这些内容往往都蕴含在一次函数章起始教学中，因而要把研究的路径弄清楚，如图6所示。

图6 一次函数基本研究路径

（二）主题目标分析

数学课程目标是一个整体，包括了数学知识、方法、思想、经验、问题，又包括数学情感、态度、价值观。这个整体的集中表现既是数学学科素养，也是数学课程目标的集中体现，因此，素养导向的教学意识应贯穿教学活动全过程。一般说，课程标准呈现的是整个主题学习目标，因此，先依据课程标准，确立素养目标；再对照目标，设置课时学习目标。

例如，《一次函数图象和性质》教学要完成两个目标，采用“三维叙写”方式分点表述如下：

［目标1］结合函数概念和正比例函数图象及性质，了解函数的一般研究方法，在正比例函数和一次函数表达式的关系理解上，类比学习一次函数的图象和性质，经历感知数学抽象。

［目标2］通过直观感知、动手操作理解一次函数的图象是一条直线；能画一次函数的图象；会根据函数图象和表达式探索一次函数y=kx+b（k≠0）的性质，理解k、b取值对函数图象的位置及其变化情况的影响，体悟数形结合思想。

当然，完成目标确定是需要明晰主题教学的重、难点。作为初中函数主题学习的起始章节，一次函数图象和性质教学重点是通过对函数概念的抽象，理解“对应”的含义，同时让学生能够感受概念中蕴含的数学思维和方法。在理解函数概念的同时，培养函数意识，熟悉研究函数的基本路径和套路，培养抽象能力、推理能力、模型观念、几何直观和应用意识五方面核心素养，而其难点在于构建函数意识。

（三）设置教学任务

素养只有在解决问题的应用过程中才能有效形成。通过对素养的内涵、价值、表现水平及其相互关系的深入理解，设置能引导学生探索和解决问题的教学任务，才可达成素养目标，即教学目标任务化。任务设置需要遵循学习认知规律，创设合适的情境和精当、有序的问题提出，以有效的学习活动呈现知识的发生、发展过程；而且要思考相应的核心素养在教学中的孕育点、生长点和关联点，以及素养水平达成的整合性、阶段性和连续性。即在数学逻辑体系中探寻孕育点，在内容主线中挖掘生长点，在具体知识中重视关联点；在跨章节的主题教学过程中，结合本阶段课程标准的素养要求，研究融入教学内容和教学过程的具体方式和整合载体，持续实现核心素养目标。

从情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思这四个反映数学核心素养的角度考虑，基于核心素养的理想教学任务，应特别重视情境的创设和问题的提出。核心素养是在特定情境中表现出来的知识、能力和态度，需要在一个个基于真实生活情境的主题活动中，通过操作发现、体验探究等建构知识和发展能力，才有利于学生感悟和形成。因此，设定的教学任务，需要在多样的情境和问题中完成，需要是联系学生现实生活的，利用学生现有经验的，刺激学生向抽象思维发展的形象性情境，凸显与学科知识发现、发生、发展过程的，能够激发学生思考的、融入情感的、有价值内涵的问题情境。

（四）嵌入任务评价

在课堂学习过程中持续地嵌入评价，围绕具体目标设计具体的评价任务，让学生能清晰地理解任务并根据评价结果进行思维的自我监控，即教学评一致性已形成共识。学习目标是教学评的灵魂，评价是教学全过程的基本线索，核心素养达成是评价的基本要素。于是，围绕发展学生数学核心素养开展教学评一致性的主题教学，离不开这些环节：依据课程标准，确立学习目标；对照学习目标，设置评价任务；依据评价任务，设置问题驱动；设置作业检测，评价目标达成；呈现学习主线，开展学后反思。以下结合前述设置的学习目标1，呈现问题驱动型任务1，以三分之二的学生完成任务达标度做中微观评价，举例说明。

任务1根据以往经验，我们在研究函数时一般从哪些角度进行？请结合一个新的函数，说说你的研究流程？

［活动1］基于思维起点，从事实问题开始，温故知新，引向方法性知识。

请回顾已学的函数概念以及正比例函数图象和性质，结合研究函数的流程（图7）思考并尝试回答下列问题：

图7 研究函数的流程图

问题1：我们是如何定义函数的？你是怎样认识函数的图象？请用自己的话解释。

问题2：根据以往经验，我们在研究函数时一般从哪些角度进行？请以正比例函数y=kx（k≠0）为例说明。

［活动2］基于自主构建，思辨聚焦式问题，类比探究，生长价值性知识。

先思考后回答问题3-5。

思考：以正比例函数y=kx（k≠0）为例，自变量可取任意实数，而对应的因变量也可取任意实数；如果是一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0），这个结论还成立吗？

问题3：对函数y=kx（k＞0），当自变量x的值越来越大时，y的值也越来越大。那对函数y=kx+b（k＞0），这个结论还成立吗？当k＜0 时，结论又如何？

问题4：正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过原点（特殊点），一次函数y=kx+b（k≠0）的图象也会经过某些特殊点吗？

问题5：正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条直线，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象还是一条直线吗？为什么？它的图象与y=kx（k≠0）的图象有何关系？

［活动3］接下来，先看一段视频（以具体函数图象呈现两种函数的区别和联系），再思考问题5，并表述你的完整回答。

上述例子，实际上是在教学评一致性的理论视角下开展教学设计与实施，从问题1 的温故知新，到指向类比学习的问题2，再到过渡性的简单思考，完成从“数”的角度类比研究增减性和特殊性的性质。之后让学生回归课本精读理解，解决问题5 后再从数形结合角度类比研究图象，体现知识间联系，继续结合问题和动手操作画图，完成以下主题学习任务。

任务2根据正比例函数的性质和图象，你能猜测到一次函数有哪些性质？图象是怎样的？请结合所画的一次函数图象说明

若能通过多元评价方式把素养目标融入活动中，以情感态度价值观体验作为载体，则能真正将数学知识和素养融合达成教学评一致性。例如学后反思，先概述主干知识学习的过程性和知识技能的主体性，再以问题形式促进学生反思学习知识的方法性和价值性：

你能体会到我们是如何研究一次函数的吗？在研究过程中关注了什么问题？你是怎样知道一次函数的图象和性质的，你能完整地表述吗？如果要研究这种特征的函数y=ax2+bx+c（a≠0），你认为该怎样研究呢?

（五）减负提质增效

综上所述，核心素养导向下，基于大概念的初中数学教学设计应立足于系统思维，着力在教学设计的深广度和宽度拓展。结合课程内容结构分析，依据课程标准确立主题教学素养目标，将其分解为主题课时教学目标，进而结合学生需求合理设置完成学习目标的教学任务，并以情境和问题设计驱动任务达成，促进学生学会学习、合作和反思评价。即教学设计取向应注重素养目标任务化，知识内容结构化，教学情境真实化。当然，还有两个方面要素需要引起注意。

一方面，以核心素养为指导的课程是要促进学习方式的转变，数学教学活动的重心应从关注教转到关注学，体现学习方式多样化和具备学法指导意识。数学学习不能仅限于听讲与纸笔练习，阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流、总结提炼、学后反思等都是数学学习的重要方式，这些方式又会形成不同特色的多种学习策略和形式。

另一方面，立德树人是学科教学的根本任务，教学评一致是实现根本任务的基本路径，即要求教学与评价基于课程标准、以学定教、以评价促进教与学。这是达成学习目标、教学活动与评价之间的一致性，是以评价实现教与学的统整，意在引领教学设计追求学习目标达成度的最大值。教学评指向一个教学灵魂，即清晰的课程学习目标，而目标具有整体性和阶段性，重视评价也是具备整体性和阶段性，需要注重多样化的过程性评价方式，例如传统的书面检测、口头问答、课堂表现观察、探究活动中的表现、随堂小测、课后作业等形式，最根本的是判断学生是否养成用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界的数学思维和习惯。而评价与反思同步，因此，还要注意呈现学习主线，开展学后反思，即反思主干知识学习的过程性和知识技能的主体性，以问题形式促进学生学习知识的方法性和价值性反思。

指向减负提质增效的主题教学，在课堂实施时需要做到：一是素养明确，素养常蕴含在数学思想方法的应用中，因此应在数学思想引领下深度学习；二是思辨真实，素养目标任务化后，任务需要情景和问题支撑，因此应在数学问题驱动下促进学习；三是互动灵活，完成任务不能单靠一种学习方式达成，需要多样化的方式推进，因此应在真实情景持续互动学习；四是技能夯实，没有知识技能的支撑，也就没有素养的形成载体，需要在评价反馈中夯实技能以独立学习。

四、结束语

随着中小学教育逐步转向素养育人，教学设计的理念和设计过程更趋完善。不同定位取向的教学设计都有一个共同倾向，即以人的学习为本。在基于大概念视角下进行主题教学设计中，坚持以终为始，从教学要达成的目标出发设计教学过程，用主题视角把分散的一个个知识点用“大概念”统摄，形成知识内容结构化，进而设置以目标为导向的情境化教学任务，达成教学目标素养化，最后通过多样化的学习方式和评价反思达成教学评的一致性。此外，从知识导向的教学转向以核心素养导向的课堂过程中，数学史具有不可替代的作用和价值，例如对于函数的发展历史也应该作为一个重要内容进行渗透，函数概念的定义经过300 多年的不断发展和完善，既能让学生建立哲学式思考问题的方式，也能认识到对于科学真理的追求全人类是一个整体。

概而述之，基于大概念的初中数学设计，意在使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，能让学生把数学内容读懂，把数学问题想透，把数学思维讲清，能让学生减轻学习负担，为学生提供自我挑战、自我组织、自我评价以及寻求指导支持的学习环境，从而发展和形成数学素养，体现课程内容育人的价值性和素养的发展性，利于构建教育教学新生态，促使学科素养的落地。