美妙的特征数

■李大顺

特征数指的是众数、中位数、平均数、百分位数、标准差或方差,为了从整体上更好地把握总体的规律,通过对样本数据的研究来比较全面地认识和估计总体,进而使我们能从整体上更好地把握总体的规律、对总体作出合理的推断与决策,初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法。

一、众数

例1 某班50名学生的一次安全知识竞赛成绩分布如表1所示(满分10分)。

表1

这次安全知识竞赛成绩的众数是( )。

A.10 B.9

C.8 D.6

众数是一组数据中出现次数最多的数。由表中数据可知,成绩9分出现的次数最多,所以众数是9。应选B。

评注:众数就是样本数据中出现次数最多的那个数。众数可以有两个或两个以上。

二、中位数

例2 某校举行“社会主义核心价值观”演讲比赛,学校对30名参赛选手的成绩进行了分组统计,结果如表2所示。

表2

由上可知,参赛选手分数的中位数所在的分数段为( )。

A.5≤x<6 B.6≤x<7

C.7≤x<8 D.8≤x<9

已知数据共有30 个数,中位数是第15,16个数的平均数,而第15,16个数所在分数段均为6≤x<7,所以参赛选手分数的中位数所在的分数段为6≤x<7。应选B。

评注:中位数是一组数据按大小顺序排列后,处于中间位置的数。如果这组数据是偶数,则取中间两个数据的平均数即为中位数。

三、平均数

例3 期中考试后,班长算出全班40名同学的数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,再与原来的40个分数一起,算出这41 个同学的平均分为N,那么M∶N=( )。

评注:平均数是样本数据的重要数字特征,平均数越大表明数据的平均水平越高,平均数越小表明数据的平均水平越低。由于平均数与每一个样本数据有关,所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是中位数、众数都不具有的性质。

四、百分位数

例4 一个容量为20的样本,其数据按从小到大的顺序排列为1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,则该组数据的第75 百分位数为____,第86 百分位数为____。

因 为50% ×8=4,所 以50%分位数是(x+17)÷2=16,解得x=15。

因为75%×8=6,所以75%分位数是(y+22)÷2=20,解得y=18。

评注:计算一组n个数据的第p百分位数的三个步骤:第1步,按从小到大排列原始数据;第2步,计算i=n×p%;第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据,若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数。

五、方差或标准差

例6 样本中共有5个个体,其值分别为a,0,1,2,3。若该样本的平均数为1,则样本方差为( )。

评注:方差或标准差是描述一组数据的波动性大小,方差或标准差越小,这组数据越稳定。

六、特征数的综合运用

评注:理解平均数,中位数,方差或标准差的含义是解题的关键。

1.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别是3,2,4,2,则样本平均数为( )。

A.4.55 B.4.5

C.12.5 D.1.64

2.从某公司生产的产品中,任意抽取12件,得到它们的质量(单位:kg)如下:

7.9,9,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8。

求这组数据的四分位数。

提示:这组数据按照从小到大的顺序排列为7.8,7.9,8,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9,9.9。