圆弧连接几何作图法探析*

李星瑞，王泽荫，石广田

(1.兰州交通大学，甘肃 兰州 730070;2.甘肃机电职业技术学院，甘肃 天水 741001;3.兰州交通大学，甘肃 兰州 730070)

0 引 言

机械制图是一门机械类的专业基础课，它是一门既有理论又有实践的技术基础课，也 是理工科类课程的基础[1-2]。图纸是机械设计、制造以及加工的“流通语言”，技术员通过图纸实现设计理念，技术工人根据图纸加工合格零件，而《机械制图》这门课程主要培养的就是技术人员的读图、画图，以及所需要的空间想象能力[3-4]。而在教学过程中发现，许多版本的几何作图教材中对“已知两端圆弧用第三段圆弧进行相切连接”处的条件描述不够详细，导致作图时会产生异议甚至无法按照要求完成作图。笔者采用数学分析方法，结合几何作图，以教材中出现的三种圆弧连接为研究对象，分析并举例在绘制过程中存在的问题，得到在任意情况下完成绘制圆弧连接时已知两圆弧的半径、圆心间距离，所绘圆弧半径之间的关系限定，从而准确完成所有圆弧连接的绘制工作。

1 圆弧连接形式及作图方法

用已知半径的圆弧相切连接已知圆心位置和半径的两圆(或两圆弧)，有三种连接形式：外连接、内连接、内外连接，连接形式如图1所示，在图1中，AB段圆弧为已知半径的圆弧，O1和O2为已知圆心位置和半径的两圆。

图1 圆弧连接的形式

在《机械制图》教材中，对于上述圆弧连接的几何作图方法为：

(1)外连接圆弧：分别以O1、O2为圆心，以R+R1、R+R2为半径画弧，相交于O点，则O点为连接弧的圆心，连接OO1、OO2，分别交两圆于A、B两点(为切点)，再以O点为圆心，以R为半径，在A、B之间画圆弧。

(2)内连接圆弧：分别以O1、O2为圆心，以R-R1、R-R2为半径画弧，相交于O点，则O点为连接弧的圆心，连接OO1、OO2并延长，分别交两圆于A、B两点(为切点)，再以O点，以R为半径，在A、B之间画圆弧。

(3)内外连接圆弧：分别以O1、O2为圆心，以R+R1、R-R2为半径画弧，相交于O点，则O点为连接弧的圆心，连接OO1,交圆弧与A点，连接OO2并延长，交圆弧与A点(A、B为切点)，再以O点，以R为半径，在A、B之间画圆弧。该作图方法所求圆弧与圆O1外接，与圆O2内接[1-4]。

2 问题分析

在用上述方法进行绘图时，如果遇到某些特殊情况，将无法完成圆弧连接。现分别对三种圆弧连接中存在的问题进行举例分析。

2.1 外连接圆弧

设R1=5，R2=8，R=1，O1O2=20，按照该已知条件绘图，得到的结果如图2所示，图中半径为R+R1、R+R2的两圆弧没有交点，因此无法按照教材中所述的方法完成圆弧连接。

图2 两圆弧不存在交点

2.2 内连接圆弧

(1)设R1=5，R2=8，R=1，O1O2=20，则R-R1、R-R2均小于0，无法作图。

(2)设R1=5，R2=8，R=12，O1O2=20，则得到的图形如图3所示，图中半径为R-R1、R-R2的两圆弧没有交点，因此无法按照教材中所述的方法完成圆弧连接。

2.3 内外连接圆弧

(1)设R1=5，R2=8，R=1，O1O2=20，则R-R2小于0，无法作图。

(2)设R1=5，R2=8，R=10，O1O2=20，则得到的图形如图4所示，图中半径为R+R1、R-R2的两圆弧没有交点，因此无法按照教材中所述的方法完成圆弧连接。

图4 两圆弧不存在交点

经过上述案例分析得知，在有些情况下，无法按照教材中的作图方法完成圆弧连接，存在上述现象的原因是R1、R2、R和O1O2的取值没有受到限定。

3 圆弧连接的几何作图法研究

3.1 外连接圆弧

假设R1、R2和O1O2的取值不变，只增加R的值，当R的值增大到一定程度的时候，将存在如图5所示的特殊情形，图5中的R=(O1O2-R1-R2)/2。

图5 圆弧外连接的特殊情形

图5所示的特殊情形可看作是圆O将圆O1和圆O2用外切的方式连接了起来，具体的作图方法与教材中描述的并不一致。

将图5中的R值继续增大，使得R>(O1O2-R1-R2)/2，然后按照《机械制图》教材中“外连接圆弧”的作图方法作图，即可得到如图6所示的结果，图6(a)是以O1、O2为圆心，以R+R1、R+R2为半径画弧，相交于O点，O点为连接弧的圆心；图6(b)是连接OO1、OO2，分别交两圆于A、B两点(为切点)；图6(c)是以O点为圆心，以R为半径，在A、B之间画圆弧，AB弧即为所求的外连接圆弧。

图6 圆弧外连接几何作图方法

3.2 内连接圆弧

将图3中的R值增大，使得R>(O1O2+R1+R2)/2，然后按照《机械制图》教材中“内连接圆弧”的作图方法作图，即可得到如图7所示的结果，图7(a)是以O1、O2为圆心，以R-R1、R-R2为半径画弧，相交于O点，O点为连接弧的圆心；图7(b)是连接OO1、OO2并延长，分别交两圆于A、B两点(为切点)；图7(c)是以O点为圆心，以R为半径，在A、B之间画圆弧，AB弧即为所求的内连接圆弧。

图7 圆弧外连接几何作图方法

3.3 内外连接圆弧

将图4中的R值增大，使得R>(O1O2-R1+R2)/2，然后按照《机械制图》教材中“内外连接圆弧”的作图方法作图，即可得到如图8所示的结果，图8(a)是以O1、O2为圆心，以R+R1、R-R2为半径画弧，相交于O点，O点为连接弧的圆心；图8(b)是连接OO1,交圆弧于A点，连接OO2并延长，交圆弧于B点(A、B为切点)；图8(c)是以O点为圆心，以R为半径，在A、B之间画圆弧，AB弧即为所求的内连接圆弧。

图8 圆弧外连接几何作图方法

在该作图方法中，所求圆弧与圆O1是外连接，与圆O2是内连接，如果要让所求圆弧与圆O1是内连接，与圆O2是外连接，则可将条件变为：R>(O1O2+R1-R2)/2，以O1、O2为圆心，以R-R1、R+R2为半径画弧求得连接弧的圆心O点。

4 结 论

采用数学分析方法，结合几何作图，以教材中出现的三种圆弧连接为研究对象进行了分析，要在任意情况下完成圆弧连接的绘制，需对R1、R2、R和O1O2之间的关系进行限定。

(1)外连接圆弧时的条件：R>0，且R≥(O1O2-R1-R2)/2。

(2)内连接圆弧时的条件：R>R2，且R≥(O1O2+R1+R2)/2，R2为两半径中较大者。

(3)内外连接圆弧时的条件：R>R2，且R≥(O1O2-R1+R2)/2，R2为两半径中较大者，此时所求圆弧与R1外接，与R2内接。