折叠问题中的特殊三角形

黄晓晓

折叠问题是中考的热点问题，也是难点问题。有的同学常常因为找不到解决问题的切入点，给解题带来了不少麻烦。如何能够一眼识别基本图形，快速解决问题？这就需要利用好我们身边的教材。

原题呈现 （苏科版数学教材八年级上册第63页习题）如图1，在一张长方形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2），重叠部分的△ABC是等腰三角形吗？试说明理由。

听一听：“怎么做？”

要证△ABC是等腰三角形，即证明其中两边相等，而要证两边相等，只需证明两角相等即可。

解：△ABC是等腰三角形。

理由：由折叠的性质可知∠BAD=∠BAC。

∵BC∥AD，

∴∠CBA=∠BAD，

∴∠CBA=∠BAC，

∴CA=CB，

∴△ABC为等腰三角形。

想一想：“为什么这样做？”

一方面，数学习题是由教材上有限的知识通过迁移综合得到的，因此，相关的知识源是解决问题的关键。追溯教材，我们发现，与等腰三角形有关的知识源主要有“轴对称性质”“全等三角形”“方程”等。

另一方面，根据隐含条件，我们容易猜想△ABC为等腰三角形。而要证明等腰三角形，只要证明两边相等或两角相等。本题要抓住题干中的隐含条件，寻找等腰三角形的判定条件。长方形给出两边平行的条件，可以得到两角相等;折叠前后的图形是全等的，抓住折叠中的不变量，发现两角相等，最后利用等量代换得以证明。

说一说：“策略是什么？”

教材原题是通过折叠、平行两个隐含条件找到两角相等，证明两边相等，从而证明等腰三角形，由此，我们可以得到一个常用的数学结论：平行+平分=等腰。解决折叠问题，除了根据轴对称图形的性质外，还要能综合利用数学模型及相关方法来解答。

变式 操作与实践：已知长方形纸片ABCD中，AD=3，AB=4。

操作一：如图3，任意画一条线段EF，将纸片沿EF折叠，使点B落到点B′的位置，EB′与CD交于点G。试说明重叠部分△EFG为等腰三角形。

操作二：如图4，将纸片沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点H。求△B′HC的周长。

【解析】操作一的证明过程同教材原题。这里，我们看一下操作二的解法。

操作二：先证明△ADH≌△CB′H，从而得到DH=HB′，然后将△B′HC的周长转化为B′C与DC的和即可。

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC。

由翻折的性质可得BC=CB′，

∠B′=∠B=90°，

∴AD=CB′，∠D=∠B′。

在△ADH和△CB′H中，

[∠DHA=∠B′HC，∠D=∠B′，AD=B′C，]

∴△ADH≌△CB′H（AAS），

∴B′H=DH，

∴△B′HC的周長=B′C+B′H+HC=BC

+DH+HC=7。

【点评】操作一同教材原题。操作二，改折痕的位置为矩形对角线。在解决操作二时，我们可以利用“平行+平分=等腰”这个结论给出三角形全等的一个条件B′H=DH，这是解题的突破口。操作二还可以得到一个结论：△ADH周长=△CB′H周长=矩形ABCD周长的一半。