径向“有效势能”的性质及其应用

郑 金

(凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500)

1 归纳有效势能的性质

对于质点在有心力作用下的曲线运动，在极坐标系中的总能量为

由于质点的角动量守恒，则L=mvθr保持不变，因此总能量为[1]

因此,可把第二项与第三项之和称为径向运动的“有效势能”，记为[1]

有效势能函数关于矢径的一阶导数等于质点在转动参考系中受到的径向合力.当有效势能的一阶导数为零时，质点在径向受力为零，在平衡位置处于相对平衡状态，此时径向速度达到最大，则径向动能取最大值，因此有效势能取最小值.

有效势能的公式、有效势能的取值范围、有效势能的极值条件、有效势能函数关于矢径的一阶导数的物理意义以及有效势能函数在平衡点关于矢径的二阶导数的物理意义，实际都是物理学中的二级结论，若直接用来解答有关的物理问题，则可省略某些推导过程，由此起到化繁为简的作用.

2 应用有效势能的性质

对于质点在有心力作用下的某些物理问题，可利用有效势能的表达式把复杂的二维运动问题转化为一维运动问题来解决.这种方法独特新颖，简便快捷.下面以两道物理竞赛题为例进行分析[4].

图1 例1题图

(2)方法1：利用回复力求周期

若以转动的极径为参考系，则质点受到惯性力的大小为F′=mrω2，方向从力心沿矢径向外.由于角动量为L=mωr2，可得惯性力大小为

图2 粒子运动分析图

当粒子的入射方向与半圆轨道的切线偏离一个很小的角度β时，粒子偏离径向平衡位置的位移x很小，即x≪R，可知

同理

可得

由此可知等效劲度系数为

所以,径向运动的周期为

利用简谐运动的对称性可知，粒子从初始位置运动到交点P经历的时间为半个周期，即

粒子横向运动近似为匀速圆周运动，角速度近似为

可知P点的方位角即粒子横向转过的角度为

因此,对于很小的β角，粒子束可在P点准确聚焦，该位置与β无关.

点评：只有求出径向简谐运动的周期，才能求出横向运动的路程所对的圆心角.为了求径向运动周期，关键是选择转动参考系，推导质点受到径向回复力的关系式，利用近似计算公式求出等效劲度系数.径向运动具有对称性，属于简谐运动的一部分，相继两次经过径向运动平衡位置的时间恰好等于半个周期.

方法2：利用有效势能求周期[4]

粒子只受径向电场力的作用，对O点的力矩为零，因此粒子在运动过程中角动量守恒，即

L=mv0Rcosβ≈mv0R

关于矢径的一阶导数为

由于粒子的入射方向与半圆轨道的切线偏离一个很小的角度β，则粒子在r=R附近做简谐运动.

有效势能关于矢径的二阶导数为

点评：由于其他粒子的入射方向与半圆轨道的切线偏离一个很小的角度β，则粒子运动轨迹将偏离半圆轨道，那么曲线运动不是匀速转动，角速度将发生变化，但由于粒子只受到有心力的作用，则角动量守恒，因此可利用有效势能公式进行解答，但前提条件是径向运动为简谐运动，即满足x≪R，这样，对有效势能的一阶导数才能化简为线性力的形式.

【例2】在真空中有两个质点的质量分别为m和M，带电荷量分别为+q1和-q2，开始相距为l，其中质点M的初速度为零，质点m的初速度大小为v，方向垂直于二者的连线，已知两个质点的距离存在最小值，不计万有引力，求：(1)它们在以后运动过程中距离的最小值；(2)质点m相对于M运动的周期.

解法1：利用等效势能和机械能守恒定律

方向由质点m指向M.

由此可见，质点m受到有心力的作用，由于初速度方向与作用力方向垂直，而且两个质点的距离存在最小值，因此，质点m相对于质点M做椭圆运动.由于有心力为平方反比力，则力心位于椭圆轨道的一个焦点，取无穷远处的电势能为零，设椭圆的半长轴为a，与卫星的机械能总量表达式进行类比，可知质点m在椭圆轨道上运动的总能量为

由能量守恒定律可知

由此得

已知最大距离为r1=l，可知最小距离为

(2)由开普勒第三定律可知，椭圆运动的周期等于以半长轴为半径的匀速圆周运动的周期，则有

可知

由此得

即

点评：在应用能量守恒定律列方程时，利用了椭圆运动的总能量公式，这样可省略角动量守恒方程.值得注意的是，卫星做椭圆运动的机械能总量公式成立的条件是中心天体的质量比环绕天体的质量大得多，即只有在卫星的质量比地球的质量小得多的条件下，才可认为地球固定不动.但对于题中的两个带电质点而言，没有给出质量相差悬殊的条件，若认为其中一个固定不动，则需对另一个质点添加惯性力.

解法2：利用径向有效势能的极值条件

刚开始运动时，质点的相对初速度方向与矢径垂直，由于质点相对运动的角动量守恒，可知

L=m′vl

考虑到椭圆运动的总能量小于零，可得关于r的方程

利用一元二次方程的求根公式可知

由此得距离的最大值为r1=l，最小值为

下面求半长轴a，对系统由能量守恒定律有

可得

可知椭圆运动的周期为

(1)

已知两个质点的最大距离为r1=l，则可直接得到最小距离r2.

对于第(2)问求周期，不能利用对有效势能取导数的方法，因为径向运动不是简谐运动.或者说，若对有效势能取导数为

则由U′eff=0可得平衡点为

来计算周期，则可得

(2)

显然，式(2)与式(1)不相同.若令两式相等，则可推出kq1q2=m′v2l，那么此时机械能总量为

这表明，机械能总量等于动能的负值，只有在平方反比力作用下的匀速圆周运动才满足这个关系，而对于平方反比力作用下的椭圆运动，不可能满足这个关系，则式(2)不成立，是一个错误的结果.因此,要注意特殊结论和方法的适用条件，只有简谐运动系统，或者说径向运动是简谐运动，才能利用有效势能取二阶导数的方法来求等效劲度系数以及径向运动的周期.

综上可见，在有心力作用下的径向“有效势能”具有一系列特殊的性质，对于质点在有心力作用下的某些曲线运动问题，除了一般的解法，有时还可利用有效势能的性质进行解答，不仅拓展了解题思路和方法，还可化繁为简，显得巧妙快捷.