GeoGebra软件在高中物理教学中的应用
——以动态演示带电粒子在速度选择器中的偏转为例

王伟朋

(天津市耀华嘉诚国际中学 天津 300050)

1 GeoGebra软件概述

(1)什么是GeoGebra软件

GeoGebra是一款将几何、代数、表格、图形、统计和微积分汇集在一个易于使用的软件包中的软件.相比其他软件，如Matlab，Mathematica等专业软件，GeoGebra界面简洁直观，操作简单，不需要使用者有编程基础.

(2)GeoGebra软件在高中物理教学中应用的优势

在高中物理教学中，经常需要分析物体的运动情况，有些运动非常复杂，不便通过实验演示，导致学生对相关知识点理解困难.如果在物理教学过程中引入GeoGebra，可以充分发挥其在多功能几何绘图上的优势，直观形象、生动全面地演示抽象的物理知识，对教学效果会有很大的帮助和提升[1～3].

例如，2021年天津市和平区高三年级第一次模拟考试物理学科的最后一题第二问涉及带电粒子在速度选择器中不沿直线运动的偏转情况这一知识点，但是，绝大多数高中学校没有通过实验手段给学生演示这一物理现象的条件，如果仅采用常规教学手段，很难把粒子的动态运动过程讲清楚，利用该软件，不仅可以动态演示带电粒子在速度选择器中的偏转轨迹，还能够调整相关参数，揭示带电粒子以各种入射速度射入时的偏转情况.

2 GeoGebra软件在高中物理教学中的应用

2.1 问题的提出

图1 速度选择器

当入射速度v>v0垂直射入该区域，Bqv>Eq，合力不为零，粒子在合力的作用下将向上发生偏转；当入射速度v

通过检索以往的文献发现，《物理通报》2014年12月发表的一篇名为《关于速度选择器在一般情况下的讨论》的论文从理论角度详细论证了一般情况下粒子射入速度选择器的情况；《湖南中学物理》2019年第2期发表的一篇名为《旋轮线和螺旋线》的论文给出了几幅静态的轨迹图，但从静态图片较难想象粒子动态运动时产生该轨迹的情况.

2.2 理论分析并确定关键变量的表达式

为了描述粒子的运动情况，首先要弄清粒子的速度随时间的变化情况，进而分析出位移随时间的变化情况.

(1)确定带电粒子横坐标、纵坐标方向的速度随时间变化的表达式

对如图2两个分速度产生的速度进行合成，粒子在横坐标方向及纵坐标方向的速度表达式可写为

图2 v=v0+Δv

vx=v0+Δvcosαvy=Δvsinα

(2)确定带电粒子横坐标、纵坐标方向的位移随时间变化的表达式

图3 Δv产生的匀速圆周运动

2.3 在GeoGebra中的动态演示氕、氘、氚3种粒子射入速度选择器时的偏转情况

首先，在指令栏创建变量t,m,q,Δv,B.配置好速度选择器的环境参数，如图4所示.

图4 时间变量t

根据分析，输入带电粒子的横坐标及纵坐标的位移表达式、速度表达式，如图5所示.其中xx，xy，vx，vy可以随t的变化而变化.

图5 位移与速度表达式

在指令栏中输入A=(xx,xy)，如图6所示，即可根据坐标位置创建出一个点，用来表示带电粒子的位置.令Δv=v0，v=v0+v0=2v0，为了在屏幕上显示出轨迹，选择描点A，在右侧设置面板，找到常规选项卡，把“显示轨迹”前的勾选中.打开时间t的动画功能，t变量的值会从零开始逐渐增大.之前定义的xx，xy，vx，vy的值会随t的变化而变化.此时，由于点A的坐标是由xx和xy定义的，所以可以看到点A开始在屏幕中运动起来.为了显示出粒子任意时刻的实际速度及两个分速度，根据vx，vy的值以及点A的实时坐标，用坐标定义出3个速度向量，然后利用向量加法，通过计算结果和图形效果验证出实际速度和两个分速度符合平行四边形定则.

图6 坐标法定位粒子位置

可以从动画如图7所示，直观看出，轨迹是一个以速度v0水平向右滚动的圆上的一点在空间上留下的轨迹.

图7 粒子以v= v0+v0入射的运动轨迹

2.4 使用GeoGebra软件结合例题动态演示偏转情况

在2021年天津市和平区高三一模物理学科的压轴题里有类似情景：如图8所示为用质谱仪测定带电粒子比荷的装置示意图.

图8 质谱仪

针对这一问题，可以按如下思路解决.

当氕核以v=v0+1.6v0的初速度水平射入速度选择器.Δv>0时，粒子向上偏转，粒子在如图9所示位置时，Δv=1.6v0与v0方向相反，合速度大小为

图9 氕核以v=v0+1.6v0入射的运动轨迹

v0-1.6v0=-0.6v0

方向水平向左，此时在竖直方向的位移最大，大小与匀速圆周运动分运动的圆的直径相同.

当氕核以v=v0+0.4v0的初速度水平射入速度选择器，运动轨迹如图10所示.

图10 氕核以v=v0+0.4v0入射的运动轨迹

当氕核以v=v0-v0(v=0)的初速度水平射入速度选择器.Δv<0时，粒子向下偏转，如图11所示.

图11 氕核以v=v0-v0入射的运动轨迹

更换荷质比更小的氘核，以v=v0-v0的初速度水平射入速度选择器，可以明显看出滚动的“轮子”直径变大了，滚动一圈所需要的时间长了一倍，周期增大了一倍，如图12所示.

图12 氘核以v=v0-v0入射的运动轨迹

经过观察以上图像，可以直观方便的总结出以下结论.

第一，粒子在竖直方向的最大位移为圆的直径2r.

第二，粒子的分速度v0和Δv的速度方向相同时，粒子速度有最大值；粒子的分速度v0和Δv的方向相反时，粒子速度有最小值.

本题的第二问中3种粒子在磁场中做圆周运动时，一个周期内水平方向移动的位移分别为

其中L1∶L2∶L3=1∶2∶3，为了让3种粒子都能通过，L为L1,L2,L3的最小公倍数时所需要的板长最短，即

L=6L1

又因

得

3 结束语

采用计算机辅助手段生动、直观、动态、全面的演示抽象、晦涩的知识点是符合时代特征和学习认知规律的[4].本文利用带电粒子在正交电磁场中运动的合成与分解的知识，充分发挥GeoGebra软件的坐标法定位、向量加法、变量动画等功能，进行了参数可调的动态绘图，把抽象问题动态演示出来，对学生更好地理解相关知识点起到了积极地作用.