基于输入-状态稳定理论的双馈风力发电系统故障穿越控制方法

陈晓东，张 凯，王明凯，刘宛菘, ，秦博宇

(1. 国网辽宁省电力有限公司，辽宁 沈阳 110000； 2. 西安交通大学电气工程学院，陕西 西安 710049)

1 引言

由于化石能源的枯竭和环境污染问题日益凸显，大力发展可再生能源发电技术已成为世界共识。其中，风力发电是近年来发展最迅速的可再生能源发电技术之一。双馈风机(Doubly Fed Induction Generator, DFIG)具有尺寸小、成本低、对功率控制灵活等优点[1,2]，被广泛应用于实际应用中。然而，双馈风机对电网电压波动敏感、故障穿越能力不足、易对电力系统的稳定性产生不利影响，因而受到学者的广泛关注[3,4]。

目前，在转子侧加入Crowbar保护电路的方法已经被广泛地应用于双馈风机中[5]，以减少双馈风机在电网故障时转子的过电流。然而，Crowbar保护电路投入后会吸收大量无功，恶化电网电压的动态性能。文献[6]应用静态同步补偿器(STATic synchronous COMpensator, STATCOM)为系统暂态期间提供无功支撑，以补偿Crowbar保护电路吸收的无功，并提出了暂态重构的概念，通过储能装置来稳定直流电压，从而解放双馈风机自身的两个换流器用于动态无功支撑。但是，这些方法增加了投资成本。

研究双馈风机换流器的控制策略，充分利用双馈风机自身的控制能力，可以在较低的成本下达到故障穿越的目的。目前，有功与无功解耦控制的方法已经大量地应用于双馈风机的控制器设计中[7,8]，但现有的解耦控制方法主要采用PID控制器，基于近似线性的系统模型设置控制参数，因此无法保证大扰动下对电力系统的控制性能[9]。已有学者通过微分几何和其他精确线性化方法提升电力系统的动态性能和暂态稳定性[10]。然而，双馈风机的非线性模型很难精确地实现线性化。文献[11]提出通过假设定子端电压为固定值，实现精确的线性化，然而这一假设非常严格，实际上定子端电压在暂态期间总是波动的。文献[12]提出利用滑模控制(Slide Mode Control，SMC)策略来提高双馈风机的故障穿越能力，然而，该方法的控制效果并不明显，不能在电网故障时给系统提供足够的暂态无功支持。

输入-状态稳定(Input-to-State Stability，ISS)理论最初由Sontag于1989年[13]提出，应用于非线性系统的稳定性分析和控制。ISS理论已在无人机控制[14,15]、直流微电网控制[16]和计算机网络[17]等领域得到广泛的应用。ISS理论的控制方法是一种非线性的控制方法，可以保证非线性系统的输入-状态稳定性，输入-状态稳定性等价于鲁棒稳定性[18]。文献[19]指出系统的输入-状态稳定性可等价于ISS控制李雅普诺夫函数(Input-to-State Stabilizing Control Lyapunov Functions, ISS-CLF)的存在性，并等价于鲁棒稳定性，同时证明了ISS控制策略与H∞策略相比，更适用于一般扰动信号下的稳定性控制，以及ISS控制具有逆最优性。因此与其他控制器相比，ISS控制器能更好地提高系统的抗干扰能力及动态响应性能。虽然Sontag的控制律[20]能够镇定非线性系统并具有逆最优性，但并不能保证该控制器具有最优的控制性能。文献[21]指出了该问题，并对ISS控制律实现参数化[22]，以提升ISS控制器的控制性能。ISS控制器的设计难点在于ISS-CLF函数的构造，由于缺乏系统的构造算法，很难找到适合的ISS-CLF。文献[23]探讨了电力系统Lyapunov函数构造的一般方法，将多项式函数的非负性约束转换为平方和(Sum Of Squares,SOS)条件，为构造ISS-CLF提供了依据。

本文首先提出一种构建双馈风机的ISS-CLF一般算法；其次，基于所构造的ISS-CLF，提出双馈风机的ISS控制律；最后，通过时域仿真验证所提方法对双馈风机故障穿越控制的有效性。

2 问题建模

本文重点研究双馈风机的故障穿越问题。双馈风机采用如下双质量块模型[24]：

(1)

将双馈风机模型式(1)表示含外部扰动d和控制输入u的仿射非线性系统，并将平衡点平移至原点，可得如下模型：

(2)

其中

本文目标是针对上述非线性系统，设计如下状态反馈控制律：

u=h(x)

(3)

以镇定双馈风机系统(式(2))，并使系统(式(2))满足：

(1)系统(式(2))是内部稳定的，d=0时，系统渐近稳定于x=0。

(2)系统(式(2))在扰动下能保持良好动态性能，故障期间低电压穿越(Low Voltage Ride Through, LVRT)能力满足国家制定的双馈风机低压穿越要求，并为电力系统提供尽可能大的无功支撑。

本文衡量双馈风机故障穿越能力的指标主要体现在两点：①暂态期间能够为电网提供动态无功功率支撑；②能够提供暂态期间的电网电压支撑，提高电网稳定性。

3 ISS控制理论

以下给出ISS相关基本概念。对于如下含外部扰动d的仿射非线性系统：

(4)

式中，x∈Rn；d∈Rp；f:Rn→Rn；g:Rn→Rn×p。

|x(t,x0,d)|≤β(|x0|,t)+γ‖d‖∞∀t≥0

(5)

将系统(式(4))表示成考虑外部扰动d和控制输入u的非线性系统形式：

f(x)+g1(x)d+g2(x)u

(6)

式中，u∈Rm；g1和g2为局部的利普希茨连续函数，g1：Rn→Rn×p，g2：Rn→Rn×m；f(0)=0。

如果闭环系统在连续控制律u=k(x)下对于外部扰动d是ISS，则系统(式(5))是ISS的。系统(式(5))的ISS-CLF函数V定义如下。

(7)

则系统(式(4))是可ISS稳定的，并且V是这个系统的ISS-CLF。

文献[14]讨论了ISS-CLF存在的充要条件，以下以引理的形式给出。

引理：对于一个在Rn上光滑、正定且无界的函数V，当且仅当对于∀x≠0满足式(8)，则V为系统(式(4))的ISS-CLF。

Lg2V(x)=0⟹LfV(x)+|Lg1V(x)|ρ-1(|x|)<0

(8)

式中，Lg2V(x)=ΔV·g2；LfV(x)=ΔV·f；Lg1V(x)=ΔV·g1；ΔV为V对系统状态变量x的导数。

以下定理对文献[21]中讨论的所有基于ISS-CLF设计的ISS控制器进行参数化。在一定的控制参数调整范围内，能通过调整控制参数使系统在外界干扰下保持稳定。

(9)

式中

上述定义和定理针对的是全局ISS，在实际应用中，大多数系统在一定的稳定区域内是局部稳定的，本文将全局ISS的结论推广至局部ISS (Local Input-to-State Stability, LISS)。

推论一：对于一个区域D⊂Rn和一个在D中光滑的函数V，若满足以下条件，则V是系统(式(4))的一个局部输入-状态稳定控制李亚普诺夫函数(Locally Input-to-State Stabilizing Control Lyapunov Functions, LISS-CLF)。

Lg2V(x)=0⟹LfV(x)<0 ∀x≠0

(10)

(11)

式中，α:D→R为定义在包含原点的区域D⊂Rn上的连续正定函数[25]。

(12)

则对于∀x≠0，满足以下关系：

(13)

推论二：若满足以下鲁棒LISS控制律，则系统(式(4))是LISS的。

(14)

式中，V为该系统在局域D中的一个LISS-CLF。

双馈风机系统(式(2))具有非线性系统(式(4))的形式，因此鲁棒LISS控制律(式(14))适用于双馈风机的ISS控制器设计。本文第4节将给出构造双馈风机的LISS-CLF及相应ISS控制器设计的详细方法，提高双馈风机的故障穿越能力。

4 双馈风机的鲁棒LISS控制器设计方法

双馈风机的ISS控制器设计主要难点在于构造双馈风机的LISS-CLF函数V以及计算相应的收敛域ρ。本节给出一种数值算法构造双馈风机的LISS-CLF。由于V和ρ都是未知的，为使LISS-CLF的构造可行，本文通过两步求解。首先，通过检验推论一中的条件得到LISS-CLF。其次，利用已知的LISS-CLF估计ρ。在求解过程中，本文利用Posiivstellenstz(P-satz)定理[26]将所有非负约束都转换为SOS条件。

4.1 构造双馈风机的LISS-CLF

选定双馈风机系统(式(2))定义域内的一个包含平衡点的局部区域D={x∈Rn|q(x)≤τ}，τ>0，定义函数V:D→R连续可导，V(0)=0，若V满足下列条件，则为该系统的一个LISS-CLF[27]。

V(x)>0 ∀x∈{x|τ-q(x)≥0}{0}

(15)

(16)

条件式(15)和式(16)可以转换为如下集合归属条件：

{x|τ-q(x)≥0}{0}⊆{x∈Rn|V(x)]>0}

(17)

(18)

式中，f、g2分别为双馈风机系统(式(2))中的状态矩阵和控制系数矩阵。由于x≠0为非多项式约束，为使该问题可解，用平方和约束ni(x)≠0代替x≠0。ni∈∑k,i=1,2，∑k为k变量的平方和多项式。式(17)和式(18)可构造为如下空集条件：

{x|τ-q(x)≥0,n1(x)≠0,V≤0}=Ø

(19)

(20)

为避免式(19)、式(20)无解，构造如下优化问题：

(21)

利用P-satz定理，式(21)可以转换为：

(22)

为方便解决问题式(22)，选择b1=b2=1，由于两个SOS多项式的乘积仍满足SOS条件，所以用t0n,t1n,…,t7n和μjn代替t0,t1,…,t7和μj。

(23)

分别约去公因子n1、n2，得到如下优化问题：

(24)

将t0与t4移到等式右端，等式左端仍为多项式条件。由于检验多项式条件的非负性是一个NP-hard问题，而SOS条件是多项式条件的松弛，且Matlab中已有相应的工具包SOSTOOLS可检验一个多项式是否是SOS。因此，可以将原问题转换为如下的优化问题:

(25)

为使式(25)可解，需通过迭代搜索去除t,μ和V之间的双线性约束。详细的算法如下。

4.2 估计双馈风机的LISS-CLF增益函数ρ

根据推论二，鲁棒LISS控制器的设计需要对LISS-CLF增益函数ρ进行估计。为校验条件式(8)，需去除|Lg1V(x)|中的绝对值符号。将条件式(8)中LfV(x)移到不等式右边可得：

Lg2V(x)=0⟹|Lg1V(x)|ρ-1(|x|)<-LfV(x)

(26)

将式(26)转换为如下集合归属条件：

(27)

式(24)可以转换为以下空集条件：

(28)

式中，多项式P(x)=[ρ-1(|x|)]2在D中是正定的；V为3.1节得到的LISS-CLF。

f+g2+h=0

(29)

(30)

为限制多项式的度，选择b=1，由于两个SOS的乘积仍然是SOS，令ti=tin；μs=μsn；i=0,1,2,3；s=1,2，…,m。提取公因式变量n，得到：

(31)

(32)

优化问题式(32)可利用二分法求解，通过ρ和P(x)之间的关系估计增益函数ρ。

4.3 双馈风机鲁棒LISS控制律的设计

利用上述方法构造出双馈风机系统的LISS-CLF见附录。本文定义双馈风机的Lyapunov增益函数为ρ(x)=c(x2+x)。求解优化问题式(32)，得到双馈风机的Lyapunov增益函数为ρ(x)=(x2+x)/75。

根据推论二，可得如下形式的双馈风机LISS鲁棒控制律:

(33)

在严重故障条件下，电压骤降会引起转子过电流和直流线路过电压，因此，本文将Crowbar保护电路与ISS控制器相结合。此时，系统的暂态期间可分为两个阶段：故障初期，转子绕组由于感应电动势产生较大的转子过电流，此时Crowbar保护电路及时动作以降低初期的过电流。虽然Crowbar保护电路能降低暂态过电流和过电压，但会导致DFIG吸收无功功率，使DFIG的输出功率失去可控性，进一步恶化系统电压。考虑到过电流通常出现在故障发生的初始时刻，因此，本文采用主动式Crowbar保护电路[28]，当转子电流超过最大限值或直流电压大于最大限值时触发，并在0.025 s(约为1.5系统周期)后退出；在Crowbar切除之后，转子侧换流器控制将切换为ISS控制，直至故障结束。

此外，当转子电流超过最大限值时，ISS控制器将激活转子电流控制器。令Ir_max为转子电流最大限制，则双馈风机转子电流的计算式为：

(34)

由于Rr通常很小，可得：

(35)

5 算例分析

本文通过时域仿真验证了所提出的ISS控制器在改善系统动态性能和提高系统暂态稳定性方面的有效性。仿真系统为单机无穷大系统，并在Matlab/Simulink中实现了式(33)所提出的ISS控制律。

图1为该单机无穷大系统示意图，系统的详细信息参见Matlab/Simulink 2014a的SimPowerSystems。其中，DFIG部分由6 台1.5 MW风力发电机组成，其额定风速为15 m/s。

图1 单机无穷大系统Fig.1 SMIB system

由于ISS控制器是在考虑外部干扰下设计的，因此它被用于在故障发生时调节转子侧换流器(Rotor Side Converter, RSC)的电压，而在正常运行时则采用传统PI控制器，网侧变换器(Grid Side Converter, GSC)也使用传统PI控制器。

为测试系统在DFIG定子电压扰动下的动态响应性能，如图1所示，若25 kV馈线在t=3 s时发生三相接地短路故障，接地电阻为0.3 Ω，故障持续0.4 s。本算例研究该系统在ISS控制器、PI控制、滑模控制下DFIG转子电流、风场电压端等的动态特性。其中，PI控制器的参数参见通用电气公司Matlab/Simulink 2014a 的1.5 MW DFIG。

通常，转子电流极限值为2 pu，功率变换器和直流环节的电压极限值取决于电容电压的限制，一般是电容额定电压的1.2倍[25]。本算例中将转子电流抑制机制与主动式Crowbar保护电路相结合，同时留有一定的安全裕度，设置转子电流抑制机制门槛值为1.75 pu。

为验证所提出的控制策略的有效性，本文在相同的故障条件下，将ISS与PI和SMC的控制效果进行对比。图2为故障时上述三种不同控制方式下DFIG输出的有功功率，与其他控制器相比，ISS控制器下DFIG输出的有功功率更大，更大的有功功率可以避免转子速度过大，有利于DFIG长时间运行。

图2 不同控制方式下风机输出的有功功率Fig.2 Active power output of wind farm

图3验证了该结论，ISS的控制使转子转速波动相对于其他控制方式更小。图4为故障时三种不同控制方式下DFIG输出的无功功率，可以看出，ISS控制器下的暂态过程中DFIG能提供更大的无功功率，支撑系统电压。

图3 不同控制方式下转子转速波形Fig.3 Rotor speed of DFIG

图4 不同控制方式下风机输出的无功功率Fig.4 Reactive power output of wind farm

图5为系统电压的动态特性图，可以看出，在主动式Crowbar保护电路退出后，采用ISS控制器的风电场平均端电压为0.36 pu，而采用PI控制器和SMC控制器的风电场平均端电压分别为0.15 pu和0.05 pu，验证了图4的结论。

图5 不同控制方式下风场端电压Fig.5 Terminal voltage of wind farm

图6为转子电流Ir的动态特性图，其中，两条虚线分别表示转子电流极限值2 pu和12.5%的安全极限值1.75 pu。可以看出，结合转子电流控制机制的ISS控制器能在安全极限内提高转子电流，进而提高DFIG暂态器件输出的有功功率和无功功率。

图6 不同控制方式下电流IrFig.6 Rotor current of DFIG

图7为故障时三种不同控制方式下RSC电压，可以看出，ISS控制器下的暂态过程中RSC电压较高，DFIG无功输出增大，其端电压、有功输出和转子转速的动态过程得到改善。

图7 不同控制方式下RSC电压Fig.7 Rotor side converter’s output voltage

为进一步测试本文所提出的ISS控制器在三相不对称故障下的控制性能，设置25 kV馈线在t=3 s时发生a相接地短路故障，接地电阻为0.5 Ω，故障持续时间为0.4 s，其仿真结果如图8所示。由仿真结果可知，采用ISS控制器的双馈风力发电系统在三相不对称故障下仍然具有良好的控制性能，故障期间能有效地改善a相电压的动态响应性能和提高系统暂态稳定性。

图8 不同控制方式下风场a相端电压Fig.8 Terminal voltage of wind farm with phase-a fault

6 结论

本文提出了一种双馈风机的ISS控制器设计方法，提升其暂态稳定性及动态性能。通过将LISS-CLF条件转换为SOS约束，使得DFIG的LISS-CLF构造具有可行性。并基于此，建立了DFIG的LISS-CLF控制律参数优化方法。最后，搭建单机无穷大仿真系统，利用时域仿真验证了所提出方法的有效性。

本文的工作重点是对DFIG的RSC进行ISS控制器设计，而GSC则采用PI控制器。在未来的工作中可以进一步考虑GSC的控制器设计，并与基于ISS控制的RSC相结合，进一步提高系统的动态性能。通过对ISS控制器参数的优化，进一步提高DFIG的动态性能。此外，在一定的β和ξ调节范围内，ISS控制器可以自由地与状态相关的Riccati方程(State-Dependent Riccati Equation, SDRE)控制技术、近似动态规划(Approximate Dynamic Programming, ADP)等技术相结合，在线优化ISS控制器的参数，得到更好的控制效果。

附录

1 比较函数定义

ISS是基于一系列比较函数[29]进行定义的，比较函数的定义分别如下:

2 Positivstellensatz定理[19]

给定属于Rn的多项式，{f1(x)≥0,…,fs(x)≥0}，{g1(x)≠0,…,gt(x)≠0}和{h1(x)=0,…,hu(x)=0}，以下两个条件是等价的。

(2)存在多项式f∈C(f1,…，fs)，g∈M(g1,…，gt)和h∈J(h1,…，hu)，使得：

f+g2+h=0

3 双馈风机系统的LISS-CLF

4 DFIG系统参数

H=0.685 s，Rs=0.023 pu，Lm=2.9 pu，Rr=0.006 pu，Lss=Ls+Lm，Lrr=Lr+Lm