依托旋转求变式 强化理解提素养

甘肃陇南市礼县马河乡吴宋学校 翟耀辉 742224

旋转作为图形的变化方式之一，在初中数学中有重要的应用.它让原本静态的数学图形有了动态感，让学生从运动的角度来认识图形的性质与规律，从而让初中平面几何的学习更具有内涵与魅力.

1 认识旋转，强化概念

1.1 旋转的概念

旋转就是将一个几何图形围绕着某一个点转动一定的角度，称为图形的旋转，这个点称为旋转中心.在旋转的过程中转过的角度称为旋转角，图形上的点在旋转转动下到达另一个点，则称此两点为对应点.

从旋转的概念我们不难体会到，把握好旋转过程的对应点，认准旋转产生的角，是认识旋转图形，理解旋转概念的的关键.

1.2 旋转的性质

从旋转的概念我们发现，图形中的对应点与旋转中心的距离是等量的，旋转后形成的图形与旋转前的图形能够完全重合，因而它们全等.从旋转来理解图形的性质，避免了单调而生硬的证明，让学生的学习更加轻松易懂.

2 运用旋转，寻求变式

例1 如图1，正方形ABCD，点E在边CD上，绕点A把△ADE顺时针旋转90°，得到△ABF，将EF连接，EF垂直AG，如 果BG=3 ，CG=2 ，求CE的长为多少？

图1

本题以正方形为背景，通过旋转设置问题情境，考查学生对数学知识的掌握与运用.正方形是初中平面几何中最为重要的图形之一，它融矩形与菱形为一体，内涵丰富，性质多样，同时又可以看作是两个全等的直角三角形拼接而成，因而在以正方形为背景的问题解决中，其运算就可以借助勾股定理而成为解题的突破口.

例2 如图2,正方形ABCD，AB=6,∠EAF=45°，AE与BC相交于E点，AF与CD相交于F点，连接EF，把△ADF顺时针绕点A旋转90°到△ABG的位置.如果DF=3，求BE的长是多少？

图2

本题可以看作是例1 的变式，其基本图形与例1 相似，但是“万变不离其宗”，勾股定理的运用完成了本题的求解.

例3 如图3，正方形ABCD的边上两点M，N，当∠MAN=45°时.将△ADN顺时针绕点A旋转90°后，到达△ABE的位置.（1）求证：△AEM≌△ANM.（2）如果BM= 3 ，DN=2 ，那 么 正 方 形ABCD的边长为多少？

图3

分析与解答（1）证明：因为△ADN≌△ADE，所以∠DAN=∠BAE，DN=BE，又因 为∠DAB=90°，∠MAN= 45°，所 以∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°，于是∠MAN=∠MAE，得到△AEM≌△ANM.

（2）解：令CD=BC=x，则CM=x-3 ，CN=x-2，因为△AEM≌△ANM，所以EM=MN，又因为BE=DN，所以MN=BM+DN=5，同时∠C=90°，故MN2=CM2+CN2，所以(x-2)2+(x-3)2=25 ，解得x=6 或x=-1（舍弃），即正方形ABCD的边长为6.

本题利用了例1及其变式例2的基本图形，通过增加设问的方式，渗透了学生对正方形与旋转性质的运用，较之前两道题目，难度稍大，运算量稍多，体现了对学生数学核心素养之运算能力的考查.

例4 如图4，点E在正方形ABCD的内部，当∠AEB=90°时，把直角△ABE沿着顺时针方向绕点B 旋转90°，到达△CBE′的位置.延长线段AE与线段CE′交于F点并连接线段DE.（1）请判断四边形BE′FE的形 状，并 说 明 理 由；（2）在 图5 中，如 果DA=DE，试猜想CF与FE′有何关系，并进行 证 明；（3）在 图4 中，如 果AB=15 ，CF=3，请直接写出线段DE的长.

图4

图5

作为前三道例题的变式，本题在设问方式上较为新颖，第（1）问以判断并说明理由的方式呈现，突出了学生在解答上要体现出数学问题的逻辑层次感，先判断后说明，说明也即是通过说理来证实之前对问题的判断，考查了学生的数感与逻辑思维.第（2）问如法炮制，让学生先猜想后证明，猜想与判断相似，证明则有说理的味道，但是两者不能等同，证明就是通过数学推理来说明对线段关系的猜想结论的正确性，对学生数学语言的表达要求更为严谨，尤其体现了对学生数学核心素养之逻辑推理能力的考查.第（3）问则直接写出线段的长度，无需证明与推理，解答难度比第（1）（2）问较低，体现了在变式问题的设置上的，让不同水平的学生都能够进行作答，让不同层次的学生都能够有所收获的命题理念.

分析与解答：（1）通过判断知，四边形BE′FE是正方形，理由如下：由于把直角△ABE沿顺时针方向绕点B旋转90°后到达△CBE′的位置，所以∠AEB=∠CE′B=90°，BE=BE′，∠EBE′=90°，又因为∠BEF=90°，所以四边形BE′FE是矩形，同时又因为BE=BE′，故四边形BE′FE是正方形.

（2）通过猜想知CF=E′F；如图6，作DH⊥AE并 交 于 于 点H，因 为DA=DE，DH⊥AE,所以AH=AE，DH⊥AE, 所以∠ADH+∠DAH=90°，又因为四边形ABCD是正方形，得到AD=AB,∠DAB=90° ，于 是∠ADH+∠EAB= 90° ，所 以∠ADH=∠EAB∠EAB，又因为AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，于是△ADH≌△BAE，所以AH=BE=AE，由于把直角△ABE沿顺时针方向绕点B旋转90°后到达△CBE′的位置，所以AE=CE′，同时由于四边形BE′FE是 正 方 形，所 以BE=E′F，故E′F=CE′，即CF=E′F.

图6

（3）如图7，作DH⊥AE并 交 于点H，由于四边形BE′FE是正方形，所以BE′=E′F=BE，又AB=BC=15 ，CF=3，BC2=E′B2+E′C2，于是225=E′B2+(E′B+3)2，所 以E′B=9=BE，即CE′=CF+E′F=12 . 通 过（2）的 求 解 可得：BE=AH=9 ，DH=AE=CE′=12 ，所以HE=3，故DE===3.

图7

3 理解旋转，提升素养

旋转让静态的图形有了动态感，更能够考查学生对图形在运动状态下的变化规律的理解与把握.在本文中，四道例题的解决都是以正方形为基本图形，借助旋转的图形的性质来完成，在设问方式上，四道例题从求边、角到三角形的全等，难度层层递进，拾级而上，体现了通过变式教学来完成对基础知识、基本概念的考查特点；在问题的解决中，突出了对学生运算能力与逻辑推理能力的渗透，以期达到提升学生数学素养的目的.