如何用函数思想求解与数列有关的最值问题

范萍

数列常常可以看作当n∈N时所对应的一列函数值，在求解与数列有关的最值问题时，从函数的角度去看待有特征的一列数，将数列的通项公式、前n项和看作关于n的函数式，利用数列或者函數的单调性去求最值，可使问题快速得解，由于n∈N，所以在求解与数列有关的最值问题时，首先要构造一个与通项公式、前n项和形式相同，但定义域为（0，+∞）的函数，然后根据函数单调性的定义、导函数与函数单调性之间的关系、数列相邻两项之间的关系来判断出函数或数列的单调性，即可根据函数或数列的单调性来求得最值．

解答本题，需将数列{an}的通项公式看作关于n的一元二次函数式，再将其配方，根据二次函数的性质求得函数的对称轴及最小值，在运用函数思想求解有关数列的最值问题时，需注意自变量n∈N．

二、求解与数列前n项和有关的最值问题

与数列前n项和有关的最值问题比较常见，且具有较强的综合性．解答此类问题，需充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子进行化简、变形，然后根据数列与函数之间的内在联系，构造关于n的函数式，利用函数的性质、图象求最值．

解答这类数列最值问题，需仔细观察已知条件，明确数列各项之间的规律，通过构造辅助数列，或运用作差、错位相减、分组求和等方法求得目标式；再利用函数思想，构造关于n的函数式；最后根据函数单调性的定义或运用导数法判断出函数的单调性，以根据函数的单调性以及图象求得最值．

若能运用裂项求和法、分组求和法、错位相减法等求得数列的和，则可直接将所得的和式看作关于n的函数式，根据二次函数、指数函数、幂函数的单调性将函数式进行适当的放缩，进而求得最值．对于与数列的前n项和有关的最值问题，在判断数列或函数的单调性时，还可以从其函数的解析式出发，用函数的思想解题．