术道并行，以道为先

李玲玲　冷伟

【摘 要】计算教学中，应通过渗透数形结合、转化、类比推理等数学思想，运用教师问题引导、学生自主探究的双主体策略，从而培养学生的深刻性思维，使学生借助对旧知的深刻理解，在面对新知时有效迁移，主动解决新问题，并能准确地概括总结运算法则，把握算法背后算理的形成过程。

【关键词】计算教学 深刻性思维 数学思想

一、问题的提出

（一）计算教学的目标

新课标指出，计算教学要重视口算，加强估算，提倡、鼓励算法多样化，培养运算能力，还要求数学教学应该提高学生综合应用知识的能力，培养学生良好的思维品质。

（二）计算教学的困惑

很多教师在进行计算教学时，更关注知识技能目标的培养，忽视了学生计算思维能力与综合应用知识能力的培养。传统的计算教学往往要求学生算对、算快，教师教学时要么关注计算结果的正确率，忽视算理的推导和计算方法的概括;要么关注技能的训练，追求算理的程序化。这就导致学生学习兴趣不高、不愿深入思考问题。一些学生不能深刻地理解算法背后算理的支撑，面对新问题时不会主动构建知识体系，不能灵活运用已有的知识和对运算的理解去尝试解决新问题。

二、我们的思考

计算教学不仅要培养学生的运算能力，而且要培养思维能力，提高其数学核心素养。思维的深刻性是思维品質的基础。在计算教学中培养学生思维的深刻性，是提高数学教学质量、减轻学生学业负担的有效途径，是发展数学思维能力的突破口。

数学思维的深刻性，指思维活动的抽象程度、逻辑水平、广度、深度和难度。根据林崇德的思维结构理论，我们对深刻性思维的概念从以下几个维度进行界定：

数学思维的深刻性集中体现在数学思想方法的运用上。数学思想方法是数学的灵魂。数学思想方法的学习重在体验和感悟。教材的编排具有一定的逻辑性，这其中也蕴含了数学思想方法，一线教师在教学时要以教材为依托，将思想方法加以渗透，引导学生逐步养成用数学思想方法进行思考的习惯。

三、我们的实践

小学阶段计算教学需要渗透的主要思想方法是数形结合、转化、类比推理等。教师在计算教学时要深入解读教材，弄清知识的来龙去脉，根据学生的认知特点选择合适的思想方法，设计有效的路径来突破难点。

（一）数形结合思想

不同版本的数学教材编排时都会渗透数形结合的思想，我们要用好教材，使学生经历充分的动手操作的过程，采用小棒图、计数器、方块图、点子图、数线等工具，能让整个计算过程更加清晰，让算理看得见，让思维过程说得清。教材中没有呈现学生学习的难点处，教师应巧妙地搭建框架，引导学生由形思数、由数想形，揭示出问题的特征与本质，达到培养学生深刻性思维的目的。

以“笔算加法（不连续进位）”为例，本节课的重点是掌握不连续进位的三位数加法的算法，理解算理。不连续进位的三位数加法，包含个位相加进位、十位相加进位、百位相加进位三种情况。本节课的难点是十位上进位的处理。这就要求学生借助计数器拨珠并在这个过程中体会“满10进1”，因此，在教材的原有基础上补充计数器拨珠的教学环节是非常有必要的。

教学片段一：

教师出示教材例4情境图（如图1），请学生读题后找出条件和问题，集体交流怎么解决。

（学生回答后）教师板书：142+86= 。

师：这道算式和我们之前学习的算式有什么不同？

生：以前学习的是两位数的加法，今天学习的是三位数的加法。（揭题）

师：在计算过程中，遇到问题停下来想一想，等下我们一起交流。

学生在课堂本上尝试计算，接着交流遇到的问题。

生1：百位上写几？

生2：十位满10怎么办？

（学生汇报计算过程）

师：8和谁对齐？6呢？接下来呢？

生3：2个一加6个一得8个一。

师：然后呢？

生3：4个十加8个十得12个十。

师：放慢过程，来看大屏幕上的计数器（如图2）。

结合计数器演示，教师提问：十位是几？十位上这么多个珠子怎么办？

生4：十位上拨去10个珠，百位上拨1个珠。

师：现在百位是几？为什么？

生4：1个百加1个百得2个百。

（结合计数器的演示请学生完整讲述计算过程）

出示：用竖式计算643+752，并验算。

学生独立思考，教师组织交流。

师：你在计算的过程中遇到了什么问题？是怎么解决的？

生5：当百位相加满十，我不知道该怎么办。想起“十位满10，向百位进1”，我觉得应该是百位满10，向千位进1。

师：你说得很有道理，根据我们学过的知识就能解决新的问题。

师：笔算进位加法时，要注意什么？

生6：相同数位对齐，从个位算起，十位相加满10向百位进1，百位相加满10向千位进1，也就是哪一位上满10，就向前一位进1。

（二）转化思想

数学知识之间是有关联的。教师要厘清教材脉络，找到新旧知识的连接点，将计算学习的知识脉络清晰地呈现出来，帮助学生建立知识体系。学生的学习过程就是一个转化的过程，把未知转化成已知，把复杂转化成简单，从而实现知识的自主构建。在这个过程中，教师要充分利用教材呈现的例题，给学生时间和空间，体会转化的重要性，明确从“找不同”中进行转化的方法。

以“除数是小数的除法”为例，本节课的重点是理解和掌握被除数的小数位数少于除数小数位数时的计算方法，难点是理解并表达一个数除以小数的转化过程。学生不仅要了解怎样转化，也要体会为什么这样转化。

教学片段二：

（出示例11，如图3）

师：从题目中，你们能获得哪些数学信息？

（学生观察，交流）

师：怎样列式？

生1：1.5÷0.75。

师：你是根据什么数量关系列出来的？

生1：根据“总价÷单价=数量”列出算式的。

（第一轮自主探究）

学生独立尝试计算。

师：没有完成的同学遇到了什么问题？

生2：被除数的小数点向右移动时，位数不够。

师：怎么解决？谁能帮他解决？

生3：在被除数的末尾用0补足。

师：为什么这样转化？

生3：除数有两位小数，要乘100才能转化成整数，所以被除数也要乘100，变成150。

（第二轮自主探究）

师：再计算，已算出的同学请验算。

学生独立列竖式计算，组织汇报。（板书竖式）

师：回顾刚才的计算过程，我们是怎样计算的？

生4：把被除数和除数的小数点向右移动2位，得到150÷75，再按整数除法算。

师：想提醒什么？

生4：被除数的位数不够时要用0补足。

自主探究试一试6÷2.4。

师：说说你是怎样计算的。

（学生交流）

师：被除数怎样转化？

生5：把6看作6.0，小数点向右移动一位，得到60。

师：余12时怎么解决？

生5：在余数12的后面添0后继续往下除。

师：今天学习的小数除法，与昨天相比，有什么相同点和不同点？

生6：相同点都是除数是小数的除法，不同点是今天学习的除法中被除数的小数位数少于除数的小数位数。

师：结合之前学习的小数除法，再想一想，怎样计算除数是小数的除法？（同桌交流）

生7：计算除数是小数的除法，是把它们转化成除数是整数的除法来计算。利用商不变的规律进行转化，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点就向右移动几位，位数不够时就用“0”补位。

（三）类比推理思想

类比推理是数学的基本思维方式。计算的过程其实就是逻辑推理的过程。计算教学要在学生自主探究的基础上，通过数学活动的充分体验，利用合情推理，演绎从新知到旧知的转化过程，实现知识的自主构建。

以“三位数乘两位数的笔算”为例，本节课的重点是掌握三位数乘两位数的算法，理解算理;难点是抽象概括出乘法算理的本质，也就是计数单位的累加。这需要学生类比之前学习的三位数乘一位数、两位数乘两位数推理得出。因此可将教材原有的例题加以改编，为学生进行类比推理搭建脚手架。

教学片段三：

师：同学们，从图中（如图4）你们能获得哪些数学信息？根据这些信息，你们能回答下面几个问题吗？

生：236×6、48×16、128×16。

师：你能用竖式算一算前两道算式吗？

（学生独立完成，组织交流）

师：48×16每一步算的是什么？

生：先算6×48=288，6幢多层楼的住户数;再算10×48=480，10幢多层楼的住户数;最后算288+480=768，16幢多层楼的住户数。

师：48乘十位上的1，得数的末位为什么要写在十位上？

生：用十位上的1乘48，得到48个十，所以末位和十位对齐。

师：怎样计算两位数乘两位数？

生：分别用第二个乘数个位、十位上的数去乘第一个乘数，再把乘得的积加起来。

师：估算一下，128×16的结果大约是多少呢？

生1：把128看成100，把16看成10，100×10等于1000，得数比1000大。

生2：用100×20=2000，得数在2000左右。

师：128×16具体等于多少呢？请你独立思考，想办法算出结果。

（学生独立尝试，组织汇报）

师：128×16每一步表示什么意思？

生：用16个位上的6乘128，得到768，是6幢的住户;再用16十位上的10乘128，得到1280，是10幢的住户;最后将得数相加就是16幢的住户。

师：用乘数16十位上的1和128相乘，得数的末位为什么要和十位对齐？

生：因为这里的128表示128个十，所以要和十位对齐。

师：这两种方法之间有什么联系吗？

生：算式的计算过程就体现在了乘法竖式的结构中。

师：回顾我们计算128×16的过程，你觉得怎样计算三位数乘两位数？

生：分别用第二个乘数个位、十位上的数去乘第一个乘数，再把乘得的积加起来。

师：观察比较这三道竖式（如图5），它们在计算过程中有什么相同的地方？

生：都是先用第二个乘数个位上的数乘第一个乘数。

师：得到的结果都和哪一位对齐？表示什么？

生：用个位上的数去乘第一个乘数，得到的积的末位和个位对齐，表示几个一;再用十位上的数去乘，得到的积的末位和十位对齐，表示几个十;最后把几个一和几个十加起来。

师：也就是把计数单位进行累加。

四、我们的经验

通过实践，我们总结出数学计算教学中培养学生深刻性思维的三个基本步骤。

课前设计：教师在课前进行教学设计时，理清两条线，以培养知识技能为明线，以渗透思想方法为暗线，确定本节课渗透的主要思想方法（数形结合、转化、类比推理等），寻找新旧知识的不同点，通过前测明确重点和难点，设计教学环节，梳理关键性问题。

课中实施：采取双主体策略（教师问题引导、学生自主探究），引导学生寻找新旧知识的不同点，把新知转化为旧知，选择合适的思想方法解决问题，然后概括、归纳出计算法则，最后进行总结、反思、提炼。

课后反思：教师总结怎么问到关键处、怎么有效地渗透思想方法突破难点、突出重点，培养学生的深刻性思维，总结经验。对学生进行全面评价，诊断学生思维深刻性的发展情况。如图5。

我们提炼出数学计算教学中培养学生深刻性思维的具体策略，通过“三环节双主体策略”，教师回归教材，充分挖掘教材的知识內涵;回归课堂，将数学思想方法蕴含其中，给予学生充分的时间和空间进行探究，进而反思总结，把探究习得的方法内化为能力。在这个过程中，要有效地提高学生的自主学习能力和问题思考的深刻性，而自主学习能力也是提高学生学习效率的关键因素。在当下“双减”政策的背景下，学生具备自主学习能力更是教师减负、增效、提质的根本路径。

【参考文献】

[1]郭静，朱红伟.理法相融 自主建构——“三位数加法的笔算”教学实录与评析[J].小学数学教育，2019（Z4）.

[2]田志明，张秀花.在尝试中主动类推 在交流中自主归纳——“两、三位数加法的笔算（不连续进位）”教学设计与说明[J].小学数学教育，2019（Z2）.

注：本文系安徽省教育科学研究项目“小学数学计算教学中培养学生深刻性思维的策略研究”。（项目编号：JK20084）