对2022年高考乙卷理科数学第20题的多角度探析

摘 要：本文从2022年高考乙卷理科数学解析几何大题出发，对不同解法进行探析并点评其特征，之后进一步深入探析本题的背景，提出了若干推广命题.

关键词：高考乙卷理科数学;解析几何;解法探析

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0083-06

1 试题呈现

题目 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过点A0，-2，B32，-1两点.

（1）求E的方程;

（2）设过点P1，-2的直线交E于M，N两点，过点M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH.证明：直线HN过定点.

所以直线过定点0，-2.

点评 本解法从椭圆的参数方程入手，首先用参数方程表示直线MN，因为点P在此直线上，所以可得到两个恒等式，之后写出直线NH方程，借助刚才得到的两个恒等式，化简了直线NH的斜率和纵截距的表达式，最后算出定值.

在运算中，分式约分时约去sinα-β2，因M，N是椭圆上不同的两点，所以sinα-β2≠0.同时，在化简时还约去了cosα-β2，验证当cosα-β2=0时，点M，N关于原点对称，联立直线MN与椭圆方程4x2+3y2=12y=-2x，可得M32，-3，N-32，3，

T3-332，-3，H6-732，-3，所以直线NH的方程可写为y-3=2333-6x+32，当x=0时，易知y=-2. 所以，结论仍然是成立的.

命题2 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过点A0，-2，B32，-1两点. 设过点P1，-2的直线交E于M，N两点，证明：2kAB=1kAM+1kAN.

证明 根据探析5的仿射变换，可将命题2转化为命题1，故命题2成立. 注意，仿射前kAB与仿射后kA′B′的关系是kAB=32kA′B′，其它直线斜率仿射前后系数之比仍为32.所以，本质上命题2和命题1是相同的.

点评 命题1与2本质相同，均刻画了在切点弦与割线的构型之下的斜率关系.如果在解决这道高考题目之前得到结论2kAB=1kAM+1kAN，设直线AN和MT交于点H′，2xTyT+2=xMyT+2+xH′yT+2，可得到2xT=xM+xH′，所以，可得点T是M，H′的中点.所以点H和H′重合，题目也顺利获得了解决.

探析7（深入推广，探析一般情形）

命题3 如图3，对圆x2+y2=r2，Px0，y0是圆外任意一点，过点P作圆的切线，切点为A，B，并且过点P作圆的割线，交圆于M，N两点，线段MN与线段AB交于点Q，则有关系1PM+1PN=2PQ.

证明 根据探析5，可得N，Q，M，P为调和点列，所以NQQM=NPPM.设NQ=x，QM=y，MP=z，已知比例式为xy=x+y+zz，

Px0，y0是椭圆外任意一点，过点P作椭圆的切线，切点为A，B，并且过点P作椭圆的割线，交椭圆于M，N两点，线段MN与线段AB交于点Q，则有关系1PM+1PN=2PQ.

证明 根据仿射变换，设仿射变换前任意一点坐标为x，y，仿射变换后对应点的坐标为x′，y′，建立仿射变换x′=xa，y′=yb， 可将椭圆仿射为x′2+y′2=1.

点评 命题3，4为命题5奠定了基础，命题5将调和点列这种线段的比例数量关系逐渐转化为斜率表达式，斜率本质是用来刻画几何中的位置关系的关键量.

命题5 对椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，Px0，y0是椭圆外任意一点，过点P作椭圆的切线，切点为A，B，并且过点P作椭圆的割线，交椭圆于M，N两点，线段MN与线段AB交于点Q，则有关系1xP-xM+1xP-xN=2xP-xQ.

证明 作N，Q，M，P在x轴上的正射影，可知其正射影仍然为调和点列，故1xP-xM+1xP-xN=2xP-xQ成立.

命题6 对椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，

Px0，y0是双曲线外一点，当过点P切线存在且有2条时，过点P作双曲线的切线，切点为A，B，并且过点P作双曲线的割线，交双曲线于M，N两点，直线MN与线段AB交于点Q，则有关系1PM+1PN=2PQ，1kAM-kAP+1kAN-kAP=2kAQ-kAP成立.

命题8 对抛物线y2=2pxp>0，Px0，y0是抛物线外任意一点，过点P作抛物线的切线，切点为A，B，并且过点P作抛物线的割线，交抛物线于M，N两点，直线MN与线段AB交于点Q，则有关系1PM+1PN=2PQ，1kAM-kAP+1kAN-kAP=2kAQ-kAP成立.

4 进一步思考与总结

全国乙卷这道圆锥曲线问题以深刻的背景，清晰的表达，向我们呈现了一个图形鲜明，解法多样，层次多样的数学问题. 本题深刻地、综合地考查了学生直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，有较强的区分度. 在平常的学习中，要特别注意对于背景结论的挖掘与反思，不能只停留在表面阶段. 从几何到代数，再到算理，横向纵向多维比较才能真正做到通一类、会一类，研究透彻一类数学问题. 今后的教学应以数学问题为导向，深入挖掘，多面剖析，才能达到真正理解数学问题，提高数学能力的目的.

參考文献：

[1]金毅.圆锥曲线的思想方法[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2021.

[2] 曹珏贇，叶中豪.调和四边形及其应用[J].中等数学，2016（01）：2-7.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：金毅（1992-），男，硕士，从事中学数学教学研究.