日本初中数学教材中跨学科内容设置理念之个案评介

【摘 要】 数学跨学科综合与实践活动是发展初中学生抽象能力、几何直观、空间观念、模型观念、应用意识以及创新意识等核心素养的重要载体.日本最新修订版教材中的跨学科主题活动在各个年级均以专门板块呈现，在增强学生实践意识的同时提供较多活动机会.素材选择上来源广泛且贴近生活，培养学生问题解决兴趣的同时引导关注不同学科.学科知识呈现上兼顾运用与探索，巩固已学知识的同时引导对后续知识的迁移.研究方法上给与框架与策略指导，具有较强的可操作性且研究结果呈现形式多样.对我国后续的教材编写与教学实践具有借鉴意义.

【关键词】 日本;初中教材;跨学科;内容设置

1 前言

随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称“新课标”）的正式颁布，“使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需的核心素养”的课程目标进一步得到落实.新课标在第四学段的综合与实践领域明确提出“以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决阐述社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合”[1].可见，借助跨学科综合与实践活动培养和发展初中阶段学生数学核心素养将会成为未来研究的重要内容.

跨学科教学是指跨越学科之间的界限，在注重各学科内在逻辑的基础上建立学科之间的联系，并将学科进行整合，进而在教学实践中实施整合后的多学科融合教学[2].跨学科内容的教学设计在培养初中生核心素养中扮演着不可或缺的角色，是培养初中学生的抽象能力、几何直观、空间观念、模型观念、应用意识以及创新意识的重要载体.但是，由于受到各种因素的影响，初中阶段数学学科的跨学科教学研究仍处于探索阶段，在提炼与总结自身已有跨学科研究成果的同时，借鉴其它国家较为成熟的跨学科案例显得很有必要.

日本在近年来的TIMSS和PISA测试中的成绩大多名列前茅，这体现了日本数学教育的整体水平.日本在2017年颁布了新的《初中数学学习指导要领》并从2021年开始实施，在教材编写上也对跨学科实践活动进行了较好的尝试与探索.对同属儒家文化圈的日本教材中的跨学科内容进行研究，会对我国在新课程理念下的教材编写与教学实践带来启示.日本现行的学制是“六三三”学制，初中阶段共有三年，每年一册共有三册数学教科书.日本在2021年最新修订了初中数学教科书，在每册书中都有与各个章节并列的“数学的自由探究”特色板块，有着丰富的跨学科元素，本文以这一板块为数学跨学科内容的研究对象，从内容设置理念和个案分析两个方面进行论述.

2 日本中学跨学科内容设置

在日本最新版的《初中数学学习指导要领》（下文简称“要领”）中，除了设置“数与式”“图形”“函数”以及“数据的活用”4个模块以外，还在每一年的上述4个模块之后都提出“数学活用”和“内容处理”的要求.这部分内容可以看作是日本对跨学科综合实践活动的等价表述.“要领”是教材编写的根据，从“要领”对数学跨学科实践的要求可以看出，日本在最新版的“要领”中强调了通过数学活动培养学生观察、发现、思考、解决日常和社会生活中的数学问题的能力，同时还要重视对数学活动过程与结果的回顾与反思.比如，三年级的“数学活动”要求：能够从数学的角度捕捉日常现象和社会现象，并能够数学地表达、处理和解决问题.能够对问题解决的过程与结果进行回顾与反思，能够通过数学现象发现问题并寻找解决问题的方法，并能综合地、发展地考查问题解决的过程与结果.能用数学的方式有逻辑地对活动进行表达[3].

日本三册初中数学教科书的“数学的自由探究”板块中，共设置了“调查素数的秘密”等24个跨学科主题活动，每个学期都涉及到三个及以上的知识模块，表1—表3列出初中阶段每册教科书中跨学科内容主题活动的具体信息（部分学科来源以教科书标注为准）.

从上表可见，日本初中阶段的跨学科活动设计整体上契合教学理念中“资质与能力”的培养理念.日本最新的教育改革建立在日本从工业时代向信息时代、知识社会过渡的背景上，“资质与能力”的培养理念从1996年“中央教育审议会答审”中提出的“生存能力”过渡而来，强调培养以新的知识、信息、技术在政治、经济和文化等所有领域中的活用之必要能力[4].在初中三年的教材中专门开辟“数学的自由探究”，可见日本对跨学科案例研究在培养学生综合能力素养方面的重视程度与价值认同.

在研究主题与学科来源方面，初中一年级的跨学科案例主要以生活中的常见现象為主.涉及的学科来源较为广泛，从日常生活中的路程、视力测量、汽车视角等问题，到较为常见的地震问题与“感悟数学快乐”的艺术欣赏问题，这些素材来源有助于让学生感受到日常生活中富含数学问题，培养学生通过日常生活发现问题和提出问题的能力.初中二年级的跨学科案例逐渐包含理性思考的内容，比如对桌面魔术的解密、对帕斯卡与费马的赌资分配问题进行探索，还引导学生借助科技力量探究几何图形中蕴含的内在规律，这些素材有助于学生培养严谨的逻辑推理能力和数学地解释日常现象的能力.初中三年级的跨学科案例在引导学生关注工程、物理中蕴含的数学问题、科学技术帮助解决数学问题的基础上，继续渗透具有本国特色的人文素材，有助于培养学生在生活和学习中应用数学解决问题、进行反思评价和改善问题解决过程的态度.

在知识模块与纵向联系方面，各年级的跨学科案例除了关注本年级知识模块的覆盖，还关注到知识的后续发展问题.三个年级的跨学科探究都涉及到数与式、函数以及图形三大知识模块，一年级和三年级没有涉及到数据的活用模块，但是在一年级的“高尔夫球的得分问题”和三年级的“过山车的瞬时速度”等主题中都涉及到数据的处理，兼顾了各个知识模块的选择与覆盖.在知识的纵向联系方面，各年级都有对后续学习内容的铺垫.一年级的“使用追及问题的图表思考”内容指向二年级的“一次函数”，二年级的“帕斯卡与费马的赌资分配问题”、三年级的“帕斯卡三角形的奥秘”等内容更是高一级学校才会接触的知识模块，同时，初三的跨学科案例有一半涉及到发展性内容，这些具有延展性知识的跨学科案例为学有余力同学学习兴趣的培养，为知识的进一步深化和拓展，为不同层次学生的数学探究提供了机会.

3 个案分析

日本教材在每一册“数学的自由探究”板块都设有跨学科活动规范的样例，引导学生将活动成果写成报告的形式.指出报告一般包括研究的动机和目的、数据调查的方法、调查的结果（用图、表、式子等方式表示）、回顾与反思、个人感想以及想继续探索的内容等共五个部分（图1）.

个案1 挑战埃舍尔的镶嵌图形

初中一年级的跨学科主题活动素材多来源于与学生生活密切相关的情境.“挑战埃舍尔的镶嵌图形”便是引导学生观察、发现艺术品中数学问题的典型.拥有良好数学素养的表现之一就是能够用数学的眼光探索其他学科中的数学问题，能够认识数学的价值，欣赏并尝试创造数学美.

个案1首先对埃舍尔的两幅代表作品进行介绍（图2），让学生了解一些伟大作品创作背后的数学原理，引导学生观察、发现、感悟艺术作品中的数学美.然后以“试一试”的方式鼓励学生对作品进行探索.首先，让学生思考鹈鹕的画是怎么画出来的？并用图形拆解的方式为学生搭建主题活动的思维支架，鼓励学生在研究图形的过程中进行总结与表达观点（图3）.然后，让学生通过用自己了解的方法进行实践“像埃舍尔那样，制作平面以同样的形式排列的作品吧”.在跨学科活动中鼓励学生用所学的数学知识进行综合实践操作是初一年级较为常见的特征.值得提出的是，为了发展学生对活动过程进行总结与反思的能力，还在案例一中引入埃舍尔的视错觉作品“瀑布”，引导学生对所学的几何图形在美术中的应用进行进一步探索，为活动的主题发展与学生的深度探索提供了可能.

埃舍尔的镶嵌图形系列作品在几何图形的运用领域很有代表性.从数学的角度看，用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片的形式涉及到对几何图形的设计、嵌套与组合，这要求主题活动参与者对几何元素有良好的认知基础，需要参与者明白哪些几何图形可以进行严密地嵌套组合，这正是初中一年级的几何内容“图形的移动”与“基本作图”的拓展延伸.从艺术的角度看，对几何图形的了解只是能够严密地平铺的前提，要想欣赏埃舍尔创作的镶嵌图形甚至自己创作一幅具有美感的图形就需要具有一定的艺术功底，怎样进行图形的局部移动能够创造出更美的作品是活动参与者在个案1的探究过程中不得不思考的问题.

个案2 过山车的瞬时速度.

日本初中的跨学科案例由一年级偏重对生活情境中数学问题的感受与体验，逐渐过渡到三年级偏重对问题情境中数学问题的理性解决.“过山车的瞬时速度”就是在“函数”知识模块基础上提出的跨学科实践探索活动（图4）.这种跨学科主题活动形式倾向于让学生借助已学的知识以及学习过程中习得的方法策略，对情境中的数学问题进行解决与反思，侧重于培养学生用数学的方式交流与表达客观世界的能力.

个案2首先对教材中函数部分的内容进行回顾，通过描述过山车下降1秒到3秒这一时段中速度的求解方法，引导学生思考：如果不斷缩短时间的宽度，过山车的平均速度会变的怎样？同时，通过示例让学生尝试将时间长度控制在1秒后的0.1秒内：借助之前学习二次函数时获得的求速度公式y=ax2，求得0.1秒内的速度.进一步，当时间距离缩短到0.01秒、0.001秒时，平均速度会有怎样的变化？如果进一步缩短时间的宽度，那么平均速度又会怎样呢？这一过程让学生意识到：如果时间的宽度无限接近0，就可以认为在这一瞬间的平均速度是4m/s，这个速度就叫做开始下斜坡1秒后的瞬时速度.同时引导学生借助作图软件GeoGebra绘制速度与时间的函数图象，通过函数上两点确定的直线斜率探索瞬时速度的几何意义：当两点无限接近时，直线的斜率即为瞬时速度.

以学生熟悉的过山车作为跨学科综合实践问题，有利于让学生聚焦于情境中数学元素的挖掘和数学数据的处理.从数学的角度看，情境中的数学变量较为简单，仅有时间和距离.学生在处理相关数据的时候，既可以选择用二次函数的知识探索一段时间内的路程变化量，也可以通过渐次缩小时间的长度感受速度的变化，为后续学习加速度作铺垫.个案2还推荐学生使用绘图软件直观感受速度的变化量，既达到了深度理解数学问题的目标，又锻炼了使用科学技术解决问题的能力.让学生意识到生活情境中的数学问题可以深度挖掘，引导学生在解决数学问题时尝试从不同角度进行思考，在解决问题后还要对问题解决过程进行反思与回顾以不断发现新的问题，从而培养学生在掌握知识与技能的基础上进行数学的思考、判断与反思的能力.

4 结语

教科书是国家课程标准理念落实的重要载体，是学生获取知识、掌握技能、培养逻辑思维的重要工具，跨学科实践素材的选择就显得尤为重要.最新版日本初中教材中跨学科主题内容的设置特色有以下几个特点：首先，跨学科素材来源较为丰富，涉及到了学生日常生活中的多种领域，而且在部分跨学科综合活动中对学生不熟悉领域的知识进行拓展和解释，培养学生对未知领域探索的欲望.其次，跨学科素材的呈现形式多样，除了文字、图、表、式子等表现形式，还在部分案例中加入知识拓展链接，增加了素材呈现的丰富程度.最后，跨学科素材中的主要数学问题紧扣学生认知特点，除了在问题解决方式上尽量与所学内容贴合，在任务设置的偏向上也从一年级的感性认识与规范培养逐渐过渡到三年级的理性思考与表达反思.

跨学科活动具有很大的活动空间和较高的学生自由度，为了让初中生能够更好地开展研究，日本教材在规范指导上也颇有特色.每一册教材都在“数学的自由探究”板块提出跨学科活动报告应包含动机与目的、研究方法、研究结果、回顾与反思以及心得体会等五个主要部分，并分别用不同内容加以示例，在规范了表达方式的同时，提醒学生研究的目的不止于解决问题，还应该注重反思与个体收获.结果呈现方面的要求也较为丰富，既有文字形式的调研报告，又有艺术作品的个人创作，还有包含数据规律的电子化呈现，丰富了初中生在表达研究成果时候的方式，增强了学生用多种方式进行数学研究与表达的能力.

有研究认为，跨学科教学的本质是基于问题实现的学科之间的通融[5].由此，数学学科的跨学科综合实践活动应注重用数学的方法解决其他学科中的数学问题.日本初中教材在跨学科案例中较为关注跨学科问题的产生背景，以及新旧问题之间在内容衔接与方法策略上的联系，这与课程目标中提出的培养学生从其他学科数学地发现问题和解决问题的理念十分契合.日本教材的特色之一就是各学段之间内容的有效衔接，这既有数学知识线性发展的因素，也有教材编制者引导学生用发展的眼光看待问题的因素，初三阶段的跨学科综合实践案例中有一半内容指向下一学段就是这一理念的体现.

数学的重要价值之一是解决生活中的实际问题.日本在新课标颁布三年后的修订版教材中，用稳中求进的方式落实了本国数学跨学科素养的培养理念.这也为我国颁布新课标后的教材编写与教学实践提供了素材，为初中数学跨学科教学起到了“它山之石，可以攻玉”之借鉴功效.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：人民教育出版社，2022.

[2]于国文，曹一鸣.跨学科教学研究：以芬兰现象教学为例[J].外国中小学教育，2017（07）：57-63.

[3]文部科学省.中学校学習指導要領[M].东京：官报，2017：65-75.

[4]代钦.2021年日本《初中数学学习指导要领》评介[J].数学教育学报，2018，27（04）：7-11.

[5]田娟，孙振东.跨学科教学的误区及理性回归[J].中国教育学刊，2019（04）：63-67.

作者简介 孙虎（1988—），男，江苏淮安人，中学一级教师;主要从事数学课程与教学研究.

基金项目 上海市嘉定区2021年度一般课题“初中数学阅读能力培养的策略研究”（JB21034）.