本手开新路 妙手达通途

【摘 要】 本文以基础知识点为盾牌，斜率积、面积坐标公式等为武器，研究2022新高考Ⅰ卷圆锥曲线大题的解法，并且拓展到一般结论，从中体会本手的重要性.

【关键词】 圆锥曲线;齐次化;斜率积代换;向量同构;本手;妙手

妙手非偶得，本立而妙生. 以今年新高考Ⅰ卷的圆锥曲线大题来谈一下圆锥曲线解法中的本手、妙手.

圆锥曲线是高考的重点与难点，其中定点、定值是圆锥曲线中的热点. 这类问题对学生的分析能力，运算能力与技巧要求比较高[1]. 这使得学生存在算不完或者做不对的普遍现象，本文就2022新高考Ⅰ卷的21题浅谈一下这类问题的解法及结论的一般化.1 真题展示

（2022年新高考Ⅰ卷21题） 已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2-y2a2-1=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.

（1）求l的斜率;

（2）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面积.

2 真题溯源

第一问和2009年辽宁卷理科第20题，2017年全国新课标Ⅰ卷理20题类似.

题1 （2009年辽宁卷理20题） 已知椭圆C经过点A1，32，两个焦点为（-1，0），（1，0）.

（1）求椭圆C的方程; （2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线 EF的斜率为定值，并求出这个定值.题2

（2017年全国新课标Ⅰ卷理20题） 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3–1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程;

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

第二问与2015年上海卷理科21题可谓是如出一辙.

题3 （2015年上海卷21题） 已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S.

（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2x1y2-x2y1;（2）设l1与l2的斜率之积为-12，求面积S的值.

3 解法探究大部分同学谈到圆锥曲线就满脸愁容，很多时候是解题思路不明确或者是解题方法不合理，圆锥曲线的计算是必不可少的，但是在某些时候不一定非要硬算，换个角度或者换一种方法也许就会柳暗花明[2].

3.1 第一问的解法有关斜率和、斜率积定值问题常用齐次化，减少思维量也减少计算量.

解法1 不平移齐次化

可求得双曲线C的方程：x22-y2=1（过程略）.

设直线l：m（x-2）+n（y-1）=1，（mn≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）.

双曲线C的方程可化为[（x-2）+2]2-2[（y-1）+1]2=2，即2（y-1）2+4（y-1）·[m（x-2）+n（y-1）]-4（x-2）[m（x-2）+n（y-1）]-（x-2）2=0.

化简得（4n+2）（y-1）2+4（m-n）（x-2）·（y-1）-（1+4m）（x-2）2=0.

两边同时除以（x-2）2，得到（4n+2）·y-1x-22+4（m-n）y-1x-2-（1+4m）=0.

因为kAP+kAQ=y1-1x1-2+y2-1x2-2=4（n-m）4n+2=0，所以m=n，所以kl=-mn=-1.

解法2 平移齐次化

把双曲线按向量a=（-2，-1）平移得到（x+2）22-（y+1）2=1，

即x2-2y2+4x-4y=0. 设直线l：mx+ny=1，双曲线方程化为2y2+4y（mx+ny）-4x（mx+ny）-x2=0，

即（4n+2）yx2+4（m-n）yx-（1+4m）=0.

所以kAP+kAQ=y1-1x1-2+y2-1x2-2=4（n-m）4n+2=0，所以m=n，故kl=-mn=-1.

小结 齐次化处理斜率和，斜率积没有复杂的逻辑分析，有的是相对固定的套路操作，相比设点设线计算量小很多.

解法3 斜率积代换

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x212-y21=1，x222-y22=1，两式相减，得y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=12.

因為kAP+kAQ=0，所以y1-1x1-2+y2-1x2-2=0，x1+22（y1+1）+x2+22（y2+1）=0.

化为整式：x1y2+x2y1-（x1+x2）-2（y1+y2）+4=0，x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，

作差，得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，所以kl=y1-y2x1-x2=12·x1+x2y1+y2=-1.

第一问还可以通过设点、设线，用韦达定理，也可以用参数方程，这里就不一一介绍了.

3.2 第二问的解法

先推导一下三角形面积的坐标公式[3]：

在△AOB中，O（0，0），A（x1，y1），B（x2，y2），

S△AOB=12OAOBsin∠AOB=12OAOB1-cos2∠AOB=12OAOB2-（OA·OB）2=12x1y2-x2y1.

解法1 利用斜率积的关系求出坐标，计算面积

设直线AP的斜率为k（k<0），则直线AQ的斜率为-k，

所以tan∠PAQ=2k1-k2=22，即k=-2.

由y1-1x1-2=-2，x1+22（y1+1）=-2，得P10+423，-5-423，同理可得Q10-423，-5+423.

所以AP=4+423，-8-423，

AQ=4-423，-8+423.

由面积坐标公式，得

S△PAQ=12（4-42）（-8-42）9-（4+42）（-8+42）9=829（2-1）（2+1）-（1+2）（-2+1）=1629.

解法2 利用斜率积以及PQ的斜率值求面积

设直线AP的斜率为k（k<0），则直线AQ的斜率为-k，所以tan∠PAQ=2k1-k2=22，即k=-2.

由y1-1x1-2=-2，x1+22（y1+1）=-2，得3y1=-42-5，同理3y2=42-5.

所以y1-y2=-823，y1+y2=-103.

由第一问知道：x1y2+x2y1=-4.

所以x1y2-x2y1=x21y22-x22y21x1y2+x2y1=（2+2y21）y22-（2+2y22）y21-4=y21-y222.

又因为AP=（x1-2，y1-1），AQ=（x2-2，y2-1）.

由面积坐标公式，得

S△PAQ=12|（x1-2）（y2-1）-（x2-2）（y1-1）|=12|x1y2-x2y1-（x1-x2）+2（y1-y2）|=y21-y22+6（y1-y2）4=1629.

点评 这里先用斜率积关系求出y1-y2，y1+y2，再构造平方差求x1y2-x2y1，最后利用PQ的斜率为-1 把x1-x2转换成y1-y2.

解法3 参数方程

直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=22，得到cos∠PAQ=13，sin∠PAQ=223，所以cos2α=-13.

设直线AP：x=2+tcosα，y=1+tsinα.（其中α为直线AP的倾斜角，t为参数）

代入双曲线C的方程，得（cos2α-2sin2α）t2+4（cosα-sinα）t=0.

所以AP=4（cosα-sinα）cos2α-2sin2α，同理AQ=4（cosα+sinα）cos2α-2sin2α.

S△PAQ=12APAQsin∠PAQ=12·2234（cosα-sinα）cos2α-2sin2α4（cosα+sinα）cos2α-2sin2α=1623cos2α（cos2α-2sin2α）2=1629.

解法4 向量同构

设直线AP的斜率为k（k<0），则直线AQ的斜率为-k，所以tan∠PAQ=2k1-k2=22，即k=-2.

则可设AP=λ1，-2，AQ=μ（1，2），所以P（λ+2，-2λ+1），Q（μ+2，2μ+1）.

将P的坐标代入双曲线C的方程：（λ+2）2-2（-2λ+1）2=2;

可得λ=4+423，同理可得μ=4-423.

所以S△PAQ=12AP·AQ·tan∠PAQ=-λ·μ·2=1629.

点评 这里利用了直线的方向向量的方法来表示点的坐标，看似只用了向量共线这样一个很小的知识点，恰恰是这样的小知识点大大简化了运算.

小结 解法1以及这里没有写出的常规韦达定理解法是本手，其余解法可以说是妙手.

4 延伸拓展

1.已知点A（a2，b）在双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上，直线l交双曲线于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率和为0，则直线l的斜率为定值-b.

2.设点A（x0，y0），x0≠0为有心二次曲线x2m+y2n=1上的一点，直线l交双曲线于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率和为0，则直线l的斜率为定值nx0my0.

证明：设直线l的方程为：k（x-x0）+t（y-y0）=1，曲线方程化为nx2+my2=mn，

则由nx2+my2=mn，k（x-x0）+t（y-y0）=1，

可得（m+2mty0）（y-y0）2+（2mky0+2ntx0）（y-y0）（x-x0）+（n+2nkx0）（x-x0）2=0，

即（m+2mty0）y-y0x-x02+（2mky0+2ntx0）y-y0x-x0+（n+2nkx0）=0，

所以kAP+kAQ=-2mky0+2ntx0m+2mty0=0，即kt=-nx0my0.

所以直线l的斜率kl=-kt=nx0my0.

3.设点A（x0，y0），x0≠0为有心二次曲线x2m+y2n=1上的一点，直线l交双曲线于P，Q两点，若AP⊥AQ，则直线l经过定点e2x02-e2，-e2y02-e2，其中e为有心二次曲线的离心率.

证明：设直线l的方程为：k（x-x0）+t（y-y0）=1，曲线方程化为nx2+my2=mn，

则由nx2+my2=mn，k（x-x0）+t（y-y0）=1，

可得（m+2mty0）（y-y0）2+（2mky0+2ntx0）（y-y0）（x-x0）+（n+2nkx0）（x-x0）2=0，

即（m+2mty0）y-y0x-x02+（2mky0+2ntx0）y-y0x-x0+（n+2nkx0）=0.

所以kAP·kAQ=n+2nkx0m+2mty0=-1，故k=-m-n-2mty02nx0.

将k代入直线方程，可得t[2nx0（y-y0）-2my0（x-x0）]-[2nx0+（m+n）（x-x0）]=0.

由2nx0（y-y0）-2my0（x-x0）=0，2nx0+（m+n）（x-x0）=0，得到x=（m-n）x0m+n=e2x02-e2，y=（n-m）y0m+n=-e2y02-e2.

5 变式训练

1.已知椭圆C：x26+y23=1，点A是第一象限内的定点，点M，N是椭圆C上的兩个不同的动点，且直线AM，AN的倾斜角互补，若直线MN的斜率k=1，求A点的坐标.（答案：（2，1））

2.已知椭圆C：x26+y23=1，定点A（2，1），点M，N是椭圆C上的两个不同的动点，且直线AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得线段DQ的长为定值. 答案：Q43，13

3.已知点A为椭圆x24+y2=1的左顶点，P，Q在椭圆上，且满足AP⊥AQ，求△APQ面积的取值范围.答案：0，1625

6 结语基础知识、基本计算能力和基本方法是本手，如第一问中的齐次化解决斜率和，积定值是常用的方法，算是本手，利用斜率积以及第二问的用向量同构可以算是妙手.仔细观察、认真体会就不难发现，好的方法也是用常见的知识点以不同的方式展现出来的.因此，本手是妙手的前提，只有打牢基础，深刻理解知识间的横向联系，方能本不求妙妙自来，才能开辟新方法，拓展新路，顺达通途.

参考文献

[1] 唐宜钟.2020年高考圆锥曲线问题解法探索与备考建议[J].中学数学研究，2021（01）：3-5.

[2] 李继武.从不同坐标系探索圆锥曲线的解题途径[J].中学数学，2021（02）：61-62.

[3] 黄旭东.一道高考圆锥曲线试题的推广及拓展[J].数理化解题研究，2016（10）：23.

作者简介 潘庆森（1982—），男，福建永春人，中学二级教师;主要从事高中数学教学研究.