如何利用全等变换构造全等三角形

孔雪莲

我们知道，两个全等三角形的形状相同，大小相等.因此，把全等三角形中的一个图形通过不同的方式变换位置，一定能与另一个图形重合，那么只要掌握了这些变换位置的基本规律，我们在解与全等三角形有关的题目时就会思路更清晰.下面介绍利用几何的全等变换构造出全等三角形的几种类型.

一、构造轴对称型全等三角形

把一个三角形沿着某条直线翻折180°，如果它能够与另一个三角形重合，那么这两个三角形就叫做轴对称型全等三角形.在证明题目时，通过轴对称变换可以把不是轴对称的图形添补为轴对称图形;或将对称轴一侧的图形通过对称变换反射到另一侧，以实现条件的相对集中，便于解题.一般有下列条件时可构造轴对称型全等三角形：相等线段或相等角关于某直线对称;有公共角;有对顶角;有角平分线或垂直平分线.

例1如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC= 90°，D为其内部一点，且∠ABD= 30°，BD= BA.求证：AD= CD.

二、构造平移型全等三角形

將一个三角形按照某条直线的方向移动一定的距离，可得到与之全等的三角形，这种全等三角形称为平移型全等三角形.平移是一种只改变图形的位置而不改变图形大小及形状的变换，其实质是构造了有特殊位置关系的全等三角形，通过平移变换可以把某些相对分散的条件集中起来，帮助解题.平移型全等三角形的特点是对应边平行且相等（或在同一直线上），对应角是同位角.

三、构造旋转型全等三角形

把一个三角形绕着某点旋转，得到的三角形与原三角形是一对旋转型全等三角形，与平移变换一样，旋转变换的主要作用也是集中问题的已知条件，挖掘已知条件与结论的内在联系，简化解题过程.在等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中，常构造旋转型全等三角形，旋转时要注意确定旋转中心、旋转方向及旋转角度的大小，

四、构造中心对称型全等三角形

一个三角形绕某一点旋转180°，得到的三角形与原三角形是一对中心对称型全等三角形.它的特点是对应边平行且相等或在同一直线上，当图形中有线段的中点时，常选择相关图形绕此中点旋转180°构造中心对称型图形，解题时也可通过将基本图形不完整部分补完整，或过端点作平行线，或延长线段为原来的2倍来构造中心对称型全等三角形.

平移、旋转、中心对称、轴对称是研究全等三角形的有效工具.运用上述全等变换的方法构造全等三角形，思路清晰明了，能帮助我们迅速找到解题的突破口.同学们要掌握全等变换的方法，灵活迁移运用，通过构造出全等三角形使问题得以快速、有效地解答.