不同测量位置对牛顿环仪曲率半径大小的影响探究

厉桂华，赵文丽，丛晓燕，马 超，孙丰伟，张 红

(山东农业大学 信息科学与工程学院，山东 泰安 271000)

1675年，牛顿首次在实验中观测到一些明暗相间的同心圆环，故称为牛顿环。牛顿环是光学中研究等厚干涉现象的典型实验方法，它可以用来测量平凸透镜的曲率半径、光波波长、检测光学表面平整度等，在科学研究中有着广泛的应用[1]。本文从牛顿环干涉原理及其干涉图像出发，讨论了不同测量位置对平凸透镜的曲率半径的影响。由于平凸透镜的凸面和平板玻璃的平面不是理想的点接触，而接触压力会引起局部弹性形变，使接触处成为一个圆形暗斑，这导致实验测得的暗环半径与干涉级次无法精确对应[2-5]。为避免由寻找暗环中心带来的误差，我们通常会把测量暗环半径改为测量暗环直径。但是，十字叉丝与暗环的相切位置一直没有统一的规定。

本文中以牛顿环中心为暗斑，首先令十字叉丝分别与暗环的外侧、内侧相切，经多次测量采集大量数据，然后计算出平凸透镜的曲率半径。经对比发现外切采集数据的计算结果最接近标准值，所以建议读取数据时，一律采用十字叉丝与暗环外侧相切。

1 牛顿环干涉原理

如图1所示，牛顿环仪的平凸透镜球面AOB与平面玻璃CD面相切于O点，在平凸透镜球面与平板玻璃之间形成一个以接触点O为中心向四周逐渐增厚的空气劈尖。当单色平行光束近似垂直地向AB面入射时，一部分光在AOB面上反射，一部分继续前进，到达COD面上再次发生反射。这两束反射光在AOB面相遇，互相干涉形成明暗条纹。由于AOB面是球面，与O点等距的各点对O点是对称的，因而上述明暗条纹排成如图2所示的明暗相间的圆环图样，这些花纹称为牛顿环。

图1 牛顿环装置图

图2 牛顿环干涉图样

设透镜的曲率半径为R，与接触点O相距为r处空气层的厚度为e，由图1所示几何关系可推导得出第k级暗环的半径为

(1)

由(1)式可知，如果单色光源的波长λ已知，只需测出第k级暗环的半径rk，即可算出平凸透镜的曲率半径R[6,7]。由于平凸透镜的凸面和平板玻璃的平面不是理想的点接触，其接触压力会引起局部弹性形变，使干涉环中心为一暗斑，这导致实验测得的rk与k无法精确对应；又因为空气间隙层中存在尘埃，会给测量带来较大的系统误差，为消除附加光程差带来的误差，可以通过两个暗环半径的平方差来解决。对牛顿环的第m级和第n级，对应半径为rm和rn，则由(1)式可得

(2)

所以透镜的曲率半径为

(3)

又因为暗环的中心不易确定，故取暗环的直径来代替，于是有

(4)

这就是本实验测量平凸透镜的曲率半径公式。

2 实验过程

观察牛顿环仪，若环中心不是暗斑或暗斑偏离中心太远，可以轻轻对牛顿环框架螺钉进行调节。启动钠光灯，调节反射片的倾斜度，使显微镜视场中亮度最大。将显微镜对准牛顿环仪正表面调焦，找到清晰的牛顿环，并使牛顿环圆心处在视场正中央。

3 数据处理及分析

我们针对不同的牛顿环测量了很多数据，按照前面公式计算出平凸透镜的曲率半径大小从0.727 m到1.074 m。这是由于牛顿环上下两块玻璃长期挤压，接触面会发生形变，从而导致测得的曲率半径偏大。为避免上述情况，我们用了一个新采购的牛顿环作为参考标准，其曲率半径标注为855.5 mm。表1展示了十字叉丝与暗环内侧相切所测得的数据，表2展示的是十字叉丝与暗环外侧相切所测得的数据。

表1 十字叉丝与暗环内侧相切所测得数据

表2 十字叉丝与暗环外侧相切所测得数据

由两个表格的数据可知，暗环的直径变化规律完全符合我们看到的花纹形状，呈现内疏外密的特点。再看两组数据的对比结果：当十字叉丝与暗环内侧相切时，由对应数据计算得出的曲率半径为0.728 m，与标准值的相对误差为14.9%；而第二组数据计算得出的曲率半径为0.862 m，与标准值的相对误差仅为3.39%，小于5%，处于我们可接受的误差范围内。此外我们还分别测量了10组数据，并与标准值进行对比，如图3所示。可见，内切时所得曲率半径普遍比外切时所得数据偏离标准值更多，并且后者所得数据浮动较小。

图3 内切位置与外切位置所得的曲率半径

4 结 语

在实际操作中，由于暗环宽度逐渐变小，眼睛极易疲劳，我们观察十字叉丝与暗环的外切比内切的情况更容易。因此，在该实验教学中，可以统一要求学生采用十字叉丝与暗环外侧相切来采集数据，得到的结果更为准确。