拉脱法测量液体表面张力系数的误差分析

赫文豪，李帅霖，付楷涵，李懂文

(1.中国石油大学(北京) 理学院，北京 102249；2.中国石油大学(北京) 石油工程学院，北京 102249)

液体表面张力是存在于液体表面，使液体表面积缩小的力。液体的表面张力是表征液体性质的一个重要参数。测量液体的表面张力系数有多种方法，拉脱法是测量液体表面张力系数常用的方法之一。在实际操作过程中，学生难免由于一些实验条件及自身原因，影响实验结果准确度。本文通过分析影响实验的环境因素，计算得出在各种条件下的实验结果与理论结果之间的误差，着重分析了液体表面张力系数测量的误差因素。

1 实验原理

1.1 实验装置

本实验所用到的实验装置如图1所示。

图1 实验装置示意图

包括液体表面张力测定仪、硅压阻式力敏传感器、玻璃皿、砝码、镊子、吊环、升降台等实验仪器。其中，硅压阻式力敏传感器是该实验的核心装置，是将力转换成电信号的转换器件，在该实验中可将表面张力转化为电信号显示在液体表面张力测定仪上。

1.2 实验原理

实验方法之所以选择拉脱法，是因为拉脱法相较于其他方法方便快捷，操作简单[1]。

液体表面张力产生的原因是液体跟气体接触的表面存在一个薄层，叫作表面层，表面层里的分子比液体内部稀疏，分子间的距离比液体内部大一些，分子间的相互作用表现为引力。在液体与固体接触处，若固体与液体分子间的吸引力大于液体分子间的吸引力，液体就会沿固体表面扩张，形成薄膜附着在固体上(如玻璃毛细管插入水货酒精中)，这种现象称为浸润；反之，若固体与液体间的吸引力小于液体分子间的吸引力，液体就不会沿固体表面扩张，不附着在固体上(如玻璃毛细管插入水银中)，这种现象称为不浸润[2]。

将一表面洁净的金属环片竖直滴浸入液体，然后轻轻地提起它，由于水对金属片是浸润的，金属片将带起部分液体，液体呈弯曲状，金属丝带起一层液膜，液膜拉起过程中接触角θ逐渐减小而趋向于零，当薄膜刚好破裂时，表面张力的方向垂直向下。

图2 局部金属丝环放大示意图

令金属丝环内径为d，外径为D，脱离液体前各力平衡的条件为

F=mg+fcosθ

(1)

式中F是将金属丝环拉出液面所施外力；mg为金属丝环和它所黏附的液体的总重量，F为表面张力。

由于表面张力与接触面的周长π(D+d)成正比，故有

f=απ(D+d)

(2)

式中比例系数α为表面张力系数，其值与液体的种类、纯度、温度和它上方的气体成分有关。硅压阻力敏传感器的输出电压的大小在一定范围内与所加外力F成正比，即

U=KF

(3)

式中的K为力敏传感器的灵敏度，可通过已知质量的砝码定标来确定,U为数字电压表的示数。

金属环从液体中提起时，由于表面张力作用，一部分液体被金属环带起，形成液体薄膜。当所施加的外力F>mg+f时，液体薄膜破裂，金属环脱出液面。只要测出脱出液面瞬间的外力和金属环的重力的差值f=F-mg，再测出金属环的外径D和内径d，就可计算出液体表面张力系数。当液膜被拉断后，液体的表面张力消失，这时有

F=mg

(4)

由(1)(3)(4)可得

(5)

当液膜被拉断时，θ为趋近于零，所以此时cosθ=1，由(2)(5)可得

(6)

由(6)可得，只要测出传感器的灵敏度K，吊环的内外径d、D以及液膜被拉断前和拉断后瞬间的电压表的示数U1、U2，就可以计算得出表面张力系数α[3]。

2 误差分析

翻阅近十年相关文献，总结测量表面张力系数的实验过程中影响学生测量精度的因素，得出表1。

表1 拉脱法测量液体表面张力系数误差分析[4-6]

通过翻阅文献可得近十年在表面张力系数误差分析的研究中，研究内容集中于分析吊环、温度以及砝码对实验结果的误差影响。所以将对温度、砝码以及吊环对于实验误差的影响进行着重分析。

学生实验过程中，容易出现多种类型实验误差，本文总结其中较为典型的四种：①温度测量偏差导致表面张力系数误差；②砝码生锈或磨损造成K值不准确导致表面张力系数误差；③圆环沾水造成△U变化导致表面张力系数误差；④圆环内外径测量失误导致表面张力系数误差。

2.1 温度测量偏差导致表面张力系数误差

根据胡粉娥等人研究数据(如表2所示)，在0～100 ℃研究范围内，水的表面张力系数随着温度的上升呈明显下降趋势，温度越高，水的表面张力系数越低。当温度为0 ℃时，水的表面张力系数为75.62 mN/m，当温度升高至100 ℃时，水的表面张力系数为58.84 mN/m，降幅达到22.19%。

表2 表面张力系数与温度的关系[7]

由上表数据整理可得下图。

图3 表面张力系数随温度变化曲线

利用数据分析工具，可作图如图3所示，水的表面张力系数与温度呈现出线性关系且随着温度的升高呈现明显下降，进一步运用数据回归分析算法可得出函数方程式为：

y=-0.1672x+75.991

(7)

结合上式带入不同温度，计算得出下表中相对22 ℃不同偏差范围内的表面张力系数，计算得出不同温度下表面张力系数的误差。

令标准状况下的表面张力系数为α0，其他误差状况下的表面张力系数为α，误差计算公式如下：

(8)

所以在温度低于22 ℃时，表面张力系数高于22 ℃时的值，故误差值大于0；在温度高于22 ℃时，表面张力系数低于22 ℃时的值，故误差值小于0。

表3 温度误差

依照表3，以横坐标为温度计量误差，22 ℃是实验室温度，作为原点，以此绘制得出图4。

图4 温度对表面张力系数的影响

标准实验测定中，应保证水温恒定于同一温度不变，而学生在实际操作时，水温会由于外界环境及一些人为操作改变，导致实验结果误差。

由表3和图4可得结论，表面张力系数随温度的升高而降低，二者大致呈现出线性关系，在水温低于实验室温度时，随着自变量温度的逐渐升高，误差则逐渐减小，从16 ℃变化至21 ℃的过程中，误差从1.24%变化到了0.22%，在水温高于实验室温度时，随着自变量温度的逐渐升高，误差逐渐增大，在23 ℃变化至28 ℃的过程中，误差从-0.22%变化到了-1.56%。

2.2 砝码生锈或磨损造成K值不准确导致表面张力系数误差

以下将分别假设定标所用的砝码分别生锈0到7个，并分别计算其对应的误差率。

通过假设砝码通过生锈增重的质量为0.5 g，然后已知的砝码所受重力，以及定标所求的准确K值，则通过公式(3)，可求得现在实际情况下砝码生锈后的K值，再将有着偏差的K值代入公式(6)。

现假设砝码生锈个数分别为一到七且生锈顺序是按测量顺序进行生锈，即n个砝码生锈为定标时放入的前n个砝码生锈。并依生锈砝码个数的不同画出下图，并可根据斜率不同得出不同的K值。

图5 0-7砝码生锈个数对K值的影响

求得不同数量砝码生锈后的表面张力系数，得出砝码生锈后的计算K值均会增大，所以误差计算时根据公式(6)和(8)，可得出，当有砝码生锈时误差均小于0。

表4 砝码误差

图6 砝码生锈个数对表面张力系数的影响

标准实验测定中，应保证定标所用的砝码都处于精确状态，没有经历生锈或磨损，但学生实际实验中，砝码难免会由于外界环境以及一些人为操作而导致生锈或磨损，使砝码与所标示数不符，以致定标所得的K值不准确，导致实验结果误差。

由表4及图6可得规律，随砝码生锈数量增加，导致K值偏差增大，致使表面张力系数偏差随之增大，由二者图形关系可直观得出，随砝码生锈个数增加，虽对表面张力系数误差的影响增大，从一枚砝码生锈到七枚砝码均生锈，误差从最开始的-1.96%增长至-9.09%，但每多一枚生锈砝码对误差的增长速度逐渐减小，从起始有一枚砝码生锈即增加-1.96%的误差，到生锈六枚砝码，误差只变化-0.41%。

2.3 圆环沾水造成△U变化导致表面张力系数误差

由《拉脱法测量液体表面张力系数实验中影响实验误差的因素及几个被忽略的问题》描述可得，实验时会忽视圆环上吸附水的质量导致实验误差[8]，所以在此做出以下假设，通过假设圆环上沾上水的质量，推算△U的变化量，得出误差。

圆环上面沾水会导致公式(6)中U2会由于沾上水滴的质量而减小，计算沾上水后U2的值则可通过公式(3)。

计算得出，沾在圆环上的水所影响的U值，并用没有沾水情况下准确的U2减去此U值，带回公式(6)即可计算得出沾水情况下的表面张力系数，并计算得出其误差，绘制得出表5,图7。

表5 圆环上水滴质量引起的测量误差

图7 圆环上水滴质量对测量误差影响规律

标准实验测定中，处于理想条件下，圆环拉断水膜后上面没有沾水，但学生实际操作过程中，难免会在操作时使圆环在拉断水膜后上面仍沾有水珠，使圆环此时的重量比自重要大，造成ΔU变化，导致实验结果误差。

由表5以及图7分析可得结论，随圆环上水滴质量的增加，液体表面张力系数误差增大，且二者呈现线性关系，进一步运用数据回归分析算法可得出函数方程式为：

y=63.359x+ 0.038 2

(9)

随自变量圆环上带水质量的增加，因变量表面张力系数误差则从6.37%一直增加到31.72%，达到本文所有分析误差情况下的最大值。

2.4 圆环内外径测量失误导致表面张力系数误差

路阳文章中，对于分析最小二乘法处理数据不确定度误差的过程中，可得出圆环的内外径测量的准确性对表面张力系数有很大影响，所以通过假设圆环内外径测量时误差，以此得出圆环内外径测量失误对表面张力系数的误差[9]。

圆环内外径测量的不准确会造成公式(6)中(D+d)的误差，通过假设不同的测量误差并带回原式，即可计算得出不同误差条件下的表面张力系数。当内外径总长小于标准值时，α偏小，误差大于0；当内外径总长大于标准值时，α偏大，误差小于0。

进而就可以计算得出其误差，并以此绘制表6,图8。

表6 圆环内外径误差

依照表6，以横坐标为圆环内外径误差，68 mm是标准情况下正确测量得出的结果，作为原点，以此绘制得出下图。

图8 圆环内外径对表面张力系数的影响

标准实验测定中，应保证圆环内外径的测量处于精确的状态，但学生实际操作时，对内外径的测量会由于读数不准或精度不够导致测量结果偏差，使圆环内外径与实际不符，导致实验结果误差。

由表6分析得，随内外径测量误差增大，表面张力系数误差增大，二者呈线性关系，进一步运用数据回归分析算法可得出函数方程式为：

y=-1.4749x+ 0.1828

(10)

测量结果小于准确值时，随内外环总长增加接近准确值，误差减小，内外环总长由64 mm到67 mm，误差从6.29%减小到1.53%，测量结果大于准确值时，随内外环总长增加远离准确值，误差增大，内外径总长由69 mm到72 mm，误差从-1.41%增大到-5.52%。

3 结 语

综上所述，对表面张力系数测定实验的四个典型误差，有不同规律：①温度偏差越大，则表面张力系数偏差越大，二者呈现线性关系；②砝码生锈数量增加，导致K值偏差增大，使表面张力系数偏差增大；③圆环上水滴质量的增加，液体表面张力系数误差增大；④内外径测量误差的增大，表面张力系数的误差增大。其中，圆环沾水导致△U变化对表面张力系数测定造成影响最大。实验中，指导老师教导学生进行表面张力系数测定实验时，可参考本文对于误差的分析计算来指导学生进行实验，尤其应注意让圆环在脱离水面后不要沾离太多的水滴，达到减小实验误差的目的，从而提高学生做实验的测量精度。