初中数学习题变式处理艺术

肖莉

[摘 要]解答习题是帮助学生复习、巩固、拓展知识的重要方式，创新和改变数学习题教学方式，对教材中的经典习题进行“变脸”——变式处理，能给学生焕然一新的感受，实现习题的“以一带多”价值，帮助学生举一反三，让数学习题价值最大化，培养学生的数学思维能力。

[关键词]初中数学;习题;变式

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）08-0020-03

初中數学教材中有很多经典习题，这些习题在训练学生数学思维以及提高学生解题能力方面具有较大的教育价值。教师如果只是单纯利用这些经典习题进行理论知识讲解或者解题技巧和方法训练，那么习题的价值就被削弱了。教师如果讲一道习题或者让学生解答一道习题，眼光只放在此题上，不进行任何拓展与延伸，那么学生的思维就会变得越来越“单线条”，不懂灵活变通，一旦练习和考试题型稍有变化，学生就不知道如何解答。教师如果对习题进行拓展与延伸，挖掘习题的内在规律，合理开展习题变式教学，对习题进行变式处理，将会取得举一反三、触类旁通的效果，学生的思维也将更灵活，解题效率会更高。

一、初中数学“一题多变”的意义

有研究表明，中学阶段是学生智力和思维发展最关键的阶段。这一阶段的学生学习能力强，思维灵活，个性独特，在这一阶段加强对学生思维能力的培养，往往能事半功倍。新课改后，不少数学教师越来越重视对学生思维能力的培养，开始从传统的灌输式教学中走出来，不断进行教学方法、教学活动、习题设计的创新和改革。“一题多变”是广大数学教师为培养学生思维能力进行的一项重要举措，将经典习题进行变式处理，可以提高学生的自主能力，训练学生思维，启发学生智力，挖掘学生潜能。将初中数学经典习题进行变式处理有如下意义。

（一）有利于提高学生的自主学习能力

提高自主学习能力是新课改对学生提出的要求，也是学生自我发展的关键。建构主义理论认为，学生是学习的主体，应该具备主动建构知识的能力。学生只有主动学习、自主学习，才能真正将获取的知识转化为个人能力。“一题多变”这一习题处理策略，通过对典型习题进行题干、问题、题型等多变处理，能够让学生从单一习题解答向多元习题探究过渡，逐渐走向深度学习。这无疑可以增强学生自主探究的意识，不断提高学生的学习能力。

（二）有利于促进学生思维发展

“一题多变”对学生最主要的影响就体现在思维方面。将一道看似简单的习题逐步进行变式处理，由易到难、层层递进，这有利于学生深入思考问题。同时，“一题多变”既可以改变例题的题干，又可以改变问题，还可以从题型和解题方法上进行变式处理。其中解题方法的变式处理主要包括“一题多解”。在教学实践中，教师适当增加“一题多解”类题型，能够促使学生探索多种思考问题和解决问题的方法，从而打开学生思维，达到促进学生思维向灵活性和多变性发展的目的。

（三）有利于提高学生分析和解决问题的能力

分析和解决问题的能力是学生学习一门课程后应该具备的核心能力，学生的思维也是通过解决问题来体现的，具备良好思维的学生通常分析和解决问题的能力较强。增设习题不仅是为了帮助学生巩固知识，而且是为了促进学生分析和解决问题能力的发展。将习题进行变式处理是对传统习题的创新，将更有利于锻炼学生分析和解决问题的能力。

（四）有利于提高学生学习的积极性

新课改后，“减负提质”成为教师的重任，而“双减”政策出台后，如何减掉学生课后作业负担又不降低教学质量，是广大教师需要研究的重要课题。习题作为培养学生思维、提高学生能力的重要内容，用得好就是给课堂教学“助力”，用得不好就是“阻力”，更是学生的负担，既降低学生数学学习效率，又影响学生数学学习热情。教师倘若可以对习题进行变式处理，则能够有效避免习题量大、单一、枯燥等传统“题海战术”的弊端，不至于让学生对习题产生厌倦心理和排斥情绪，极大地提高了学生学习的积极性。

二、初中数学习题变式处理策略

（一）题干变化

许多数学习题看似孤立，实际上都是对数学知识的应用，不同习题间也存在内在逻辑联系，比如解题思路、方法的一致性和相似性。鉴于此，教师在指导学生练习时，不妨尝试引导学生收集、比较、探究不同习题，寻求解答习题的通法，从而发现数学知识的本质和内在联系，提高数学学习效率。

[例1]某二次函数图像经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，-3）三点，求该函数的解析式。

变式1：某二次函数图像经过一次函数[y=-x-3]的图像与[x]轴、[y]轴的交点[A]、[C]，同时也经过点[B]（1，0），求该二次函数的解析式。

变式2：某抛物线经过[B]（1，0）、[C]（0，-3）两点，直线[x=-1]是其对称轴，求该抛物线的解析式。

变式3：一次函数的图像经过点（1，0），在[y]轴上的截距是-1，二次函数图像与其相交于[A]（1，m）、[B]（[n]，4）两点，直线[x=2]是二次函数的对称轴，求这两个函数的解析式。

该组变式习题在原习题的基础上难度逐渐增大，符合学生的认知水平和思维发展规律，帮助学生实现对数学知识的巩固、内化和吸收，有利于提高学生归纳和整合知识、解题方法的能力。

（二）题型变化

在原习题基础上进行题型变化是习题变式的经典手法，这种变式处理是一个“大手术”，对原来的习题做了“整容式处理”。习题的类型发生了变化，但习题的解题依据和核心思想是不变的。习题变式的目的在于帮助学生拓展与延伸，将单一习题转变为多种题型，激发学生的解题兴趣，训练学生的解题能力。EA46B634-0AF5-4DF6-A7B4-3F876C0CC4E3

[例2]在[△ADE]中，[∠DAE=120°]，点[B]和[C]在[DE]上，[△ABC]是等边三角形，求证：[BC2=BD·CE]。

此题是一道探究性极强的证明题，学生解答原习题后，教师可引导学生进行如下变式探究。

变式1：变“证明题”为“填空题”。题干保持不变，问题变为：线段[BC]、[BD]、[CE]满足的数量关系有哪些？

习题经过变式处理后，学生需要在原题基础上将[BC]分别代换为[AB]、[AC]，将问题转为找[△ABD]与[△ECA]的关系问题，增强了原习题的探究性，突出考查学生的探究能力和综合分析能力。

变式2：变“证明题”为“计算题”。题干增设条件：三角形边长为4，[BD=2]。求[CE]的长。

将原习题题型转化，学生需要探究出线段[BC]、[BD]、[CE]的数量关系，将问题转化为“知二求一”的题型，突出考查了学生的计算能力。

变式3：变“证明题”为“自主探究题”。题干保持不变，将问题改为：图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项？

将原本固定的习题类型变得更加开放，有利于拓宽学生的思维空间，锻炼学生的开放性思维。

以上习题变式处理，都融合了转化思想，在原习题基础上适当进行变式处理，从一道常规习题延伸拓展出多种题型，不仅增加了习题的多样性，而且加深了学生对数学知识的理解，提高了学生运用数学知识解决实际问题的能力，间接增强了学生知识归纳和整理的意识，促使学生从多角度思考问题，更深入地探究问题。

（三）解法变化

培养学生的思维能力是数学教学的基本要求，也是新课改对广大数学教师提出的根本要求。“思维高度决定行为高度”，思维是行为的导向，只有学生真正具备数学思维，才能灵活解答各类复杂的数学问题。因此，在习题教学中，教师要有意识地培养学生的数学思维，通过习题变式处理，让学生感知习题的变化，在变化和解题过程中逐步形成变式思维，灵活地运用数学知识高效解决数学问题。“一题多解”习题变式法，能有效增强学生思维的深刻性、灵活性和发散性，促使学生举一反三、触类旁通，激发学生潜能。

[例3]如图1所示，[P]是[△ABC]边[BC]上的一动点，过点[P]作[PD⊥AB]，[PE⊥AC]，[CF]是[AB]边上的高线，证明：[PD+PE=CF]。

证法1（截长法）：过点[P]作[PH⊥FC]于点[H]，辅助线如图1所示，先证明四边形[DPHF]是矩形，从而推导出[PD=FH]，然后再证明[△PEC≌△CHP]，进一步推导出[PE=CH]，最终证明结论成立。

证法2（补短法）：过点[C]作[CG⊥DP]，交[DP]的延长线于点[G]，辅助线如图2所示。观察图形，分析已知条件可证得四边形[DGCF]是矩形，从而推导出[FC=DG=PD+PG]，[CG∥AB]，[∠PCG=∠B=∠ACP]，[Rt△PGC≌Rt△PEC]，[PG=PE]，结论同样成立。

此题是一道“一题多解”题，在指导学生解答这道习题时，教师要有意识地引导学生探索多种解题方法，巧妙应用“截长法”“补短法”解题，通过作辅助线、画图将题干已知信息清晰呈现，快速找到解题思路和解题突破口，在提高学生解题效率的同时达到训练学生变式思维的目的。

（四）变中生变

习题变式教学并非单纯为了解决一个问题，而是解决一类问题，传统的“题海战术”虽能起到巩固复习的作用，但却无法开拓学生解题思路，也不利于学生创新思维的发展。要真正发挥习题的价值，就需要数学教师对习题进行创新变式处理，达到“以少胜多”的目的，给学生拓展出更多具备相关性、相反性、相似性的新习题，让数学课堂常新、善变。

在原有习题的基础上不断加条件，逐步提高问题难度，这种习题变式是变中生变，以变应变，开放性强、趣味性强、探究性强，用以锻炼学生变通思维、发散性思维最好不过。这种变式处理符合学生的思维发展规律，循序渐进且层层深入，让学生的思考更有深度，对知识的理解更透彻，掌握更扎实，有利于培养学生的应用能力。

三、初中数学习题变式处理注意事项

不可否认，对习题进行变式处理是对传统习题设计的创新，是为了促进学生思维能力的发展。但在实践中，教师首先应该本着“真实育人”的原则，在追求“变化”的同时也要尊重学生的主体性和客观性，结合学生思维、能力等实际情况对习题进行变式处理，甚至可以鼓励学生自己对习题进行创新和改编，将习题变式的权力让给学生，让学生享受探究多变习题的乐趣，唤醒学生的主动意识，培养学生的探究意识，提高学生解决问题的能力。其次，对习题进行变式处理要尽可能朝多元化发展，不仅可从题干变化着手，还要充分关注题型、方法的变化。教师在指导学生解答多变习题时，要尽可能启发学生找出原题和变式题的共同点，找出问题的核心和解决问题的关键思路，促使学生做到以不变应万变，触类旁通。最后，教师在增设变式习题时，应做好备课工作，充分研究经典习题，力争设计出真正有利于学生思维能力发展的习题，而不是为了“变”而“变”，始终遵循“变”是为了学生发展，为了课堂增效的原则，不过分追求“量”的变化，着重突出“质”的变化，确保做好习题变式处理的同时不影响习题的价值。

综上所述，习题变式的处理，将看似孤立的数学问题从不同角度和方向进行延伸，形成了有规律可循的数学系列习题，真正帮助学生在解题过程中找到更多解题思路、方法，充分展现数学知识形成过程，激发学生的数学学习兴趣，达到培养学生数学思维和解题能力的教学目的。作为新时代的数学教师，我们应积极创新、勇于探索，对习题进行变式处理，帮助学生举一反三，完善学生认知结构，拓展学生思维，促使学生主动建构知识体系，让数学教学实现“轻负高质”，让学生快乐、轻松、高效地学习数学。

[   参   考   文   献   ]

[1]  魏相清，李倩.对初中数学习题变式教学的认识[J].中学数学月刊，2019（2）：19-21.

[2]  刘丹.一题多变，玩转数学：例析变式训练在初中数学习题教学中的积极作用[J].数学教学通讯，2018（20）：25-27.

[3]  于士榮.如何提升初中数学习题课教学的有效性[J].文化创新比较研究，2017（31）：121-122.

[4]  汤润华.一题多解，一题多变，激活数学课堂：减轻学生学习负担的有效方法[J].数学教学通讯，2014（7）：35-36.

[5]  高山林.一题多解和一题多变在高中数学教学中的应用问题探讨[J].高考（综合版），2014（10）：92-93.

（责任编辑 黄桂坚）EA46B634-0AF5-4DF6-A7B4-3F876C0CC4E3