变工况下裂纹故障直齿轮副振动特性分析

代 鹏， 王建平， 鲁 珏， 闫淑萍， 钱志高， 王风涛

(1. 安徽工程大学 机械工程学院， 安徽 芜湖 241000；2. 安徽工程大学 生物与食品工程学院， 安徽 芜湖 241000； 3. 中国北方发动机研究所， 天津 300000)

直齿轮副因为其瞬时传动比稳定，传动效率高，使用寿命长等优点被广泛应用在现代机械工业传动机构中[1]。但因为齿轮副的制造安装误差、疲劳磨损，载荷突增，润滑失效等因素常常造成齿轮副的故障，其中齿根裂纹就是齿轮副常见故障之一。当齿轮齿根出现裂纹时，将大大影响齿轮副的传动精度，增加齿轮箱的振动与噪音，降低齿轮副传动NVH性能，严重时将导致齿轮副传动失效[2]。

时变啮合刚度作为齿轮副中主要的动态激励源，是研究齿轮副动力学特征及振动特性重要的特征参数[3]。目前，研究直齿轮副时变啮合刚度主要有两种手段，一种是有限元法，另一种是分析法，Saxena等[4]通过分析的方法逐渐完善健康齿轮和故障齿轮时变啮合刚度计算理论。Yang等[5-6]通过势能法提出齿轮副时变啮合刚度应包括弯曲刚度，径向压缩刚度和赫兹接触刚度。Tian[7]在2004年通过齿轮剪切势能提出观点，齿轮副时变啮合刚度还应包括剪切刚度，同时讨论了断齿和裂齿的影响。Sainsot等[8]研究了直齿轮传动过程中因齿轮基体形变而产生的基体刚度，进一步完善了齿轮副啮合传动时变啮合刚度理论。

对于齿根裂纹故障的研究，李小虎等[9]利用频域响应对齿轮箱进行故障诊断。肖志松等[10]通过对故障行星轮系的研究，提出利用散度指标作为齿轮故障的判据, 可以改变使用单一判据的局限性。Wu等[11]研究了齿轮副的动态有限元模型，以预测齿轮副轮齿的裂纹扩展路径。同时研究了裂纹扩展过程中不同裂纹深度下齿轮副啮合刚度的变化。Chaari等[12]建立了带有裂纹故障的齿轮刚度分析模型，研究分析齿根裂纹故障和断齿对齿轮副啮合刚度的影响。万志国等[13]提出含有齿轮裂纹齿轮副时变啮合刚度的修正算法，并对其动力学特征进行建模。王鑫等[14]建立了2级定轴齿轮-1级行星齿轮非线性动力模型，利用断齿故障因子定义故障程度，仿真求解断齿故障的动力学特性。雷亚国等[15]研究了行星齿轮传动系统在不同位置处的裂纹故障振动特点，并通过试验验证了其数学模型的正确性。

对齿轮传动系统的故障诊断，传统的信号分析方法局限于稳态信号或转轴转速变化幅度微小的平稳信号，但实际中齿轮传动系统的运行工况较为复杂，而且常常在变速变载的非稳定工况下运行，利用传统的信号分析方法分析非稳态信号时，会造成频率模糊现象，为故障信号的判别和提取分析增加难度[16]。针对非稳定工况下齿轮副振动故障诊断，常用阶次分析的手段，利用角域的准平稳信号代替变速非平稳信号，从而实现振动信号的重新采样，通过齿轮的振动阶次来对故障位置进行诊断，但该方法硬件价值高，安装复杂[17]。1990年，Potter[18]利用计算机式阶次分析方法，此方法利用软件实现等角度取样，摆脱成本昂贵的硬件设备，但此方法对设备的健相信号获取存在难度。为此，在2001年，郭瑜等[19]提出一种基于瞬时频率的无健相阶次分析方法，通过峰值搜索和最小二乘拟合得到连续的瞬时频率，然后再通过等角度取样获得角域平稳信号。Heyns等[20-21]等提出角域平均方法，此方法增强了特征参数，有利于对齿轮箱在变工况下的故障诊断。

对于非平稳信号的处理，除了阶次分析方法外，近年来学者们也陆续提出基于时频分析和特征指标判别的方法。2000年，Baydar等[22]首次利用时频分析方法，通过时间和频率的二维联合分布，全面描述频率的时变信息，研究了载荷波动对齿轮箱故障特征的影响。随之在2004年，Melzer等[23]在小波变换的基础上构建了小波极坐标幅值图，能够有效地处理旋转机械振动中的非平稳信号。Bain等[24]将振动信号划分为若干小区间，这样就将大范围内的非平稳信号转化为小范围的伪平稳信号，然后在对每个小区间的振动信号提取统计特征，利用此特征进行故障诊断，但分类效果受区间划分策略影响较大。

对于变工况下齿轮副振动信号的处理，现主要处理非稳定信号的技术手段较为复杂，不利于在齿轮箱振动故障检测中灵活应用，难以得到普及和推广。基于此，本文以变工况下裂纹故障齿轮副为主要研究对象，建立裂纹故障齿轮副的啮合刚度模型和齿轮副动力学模型，研究齿轮副在变工况下的振动特性，模拟在变工况中齿轮副的振动，并利用短时傅里叶变换处理非平稳振动信号，为变工况齿轮副振动故障检测提供另一种方法。最后进行试验进行对比，进一步验证模型建立和所得理论分析的正确性，同时也验证了短时傅里叶变换在变工况齿轮副振动处理上的有效性。为实际工程中齿轮副振动故障检测和健康状态评估提供理论参考。

1 裂纹故障齿轮副模型建立

1.1 时变啮合刚度计算模型

下面利用势能法对齿轮副时变啮合刚度进行建模。根据前众多学者研究，当齿轮副出现齿根裂纹故障时，单个轮齿的惯性矩Ix和截面积Ax将发生变化，导致齿轮副的弯曲刚度kb，剪切刚度ks和径向压缩刚度ka发生变化，而对于齿轮基体形变导致的刚度和赫兹接触刚度，其二者所受影响很小，可以忽略不计。下面对弯曲刚度，剪切刚度和径向压缩刚度进行建模。如图1给出简化后的初期直线裂纹齿轮副啮合刚度计算悬臂梁模型，裂纹故障在主动轮轮齿，其中q1为裂纹深度，γ为直线裂纹与故障轮齿中心线O1P所成角度。

图1 裂纹故障轮齿悬臂梁模型Fig.1 Model of cantilever beam with cracked and faulty gear teeth

Ix和Ax为轮齿惯性矩和面积矩，可由下式计算

(1)

(2)

利用Tian的结论，由此化简后，可得到裂纹轮齿的弯曲刚度kb为

(3)

裂齿的剪切刚度ks为

(4)

裂齿的径向压缩刚度ka为

(5)

根据以上所建立的裂纹故障齿轮副啮合刚度计算模型，设置齿轮副主要参数如表1，齿轮副主动轮发生直线裂纹故障，其中裂纹的长度q1为0.5 mm，裂纹与轮齿中心线所成夹角γ为70°，进行计算后得到齿轮副啮合刚度结果如图2。

表1 直齿轮副主要参数Tab.1 Main parameters of spur gear pair

如图2可见，当齿轮副主动轮齿根出现裂纹时，对其时变啮合刚度影响较大。在健康齿轮副啮合传动过程中，齿轮副时变啮合刚度会随着单双齿啮合区间的不同，啮合刚度发生突变，且双齿啮合区间内的啮合刚度远远大于单齿啮合区间的啮合刚度，并随着齿轮副啮合进行，时变啮合刚度呈现出周期变化的特点，这是齿轮副正常振动的主要激励源。在主动轮轮齿齿根发生裂纹缺陷时，在裂纹轮齿参与啮合的过程中齿轮副啮合刚度减小，单双齿啮合区间内啮合刚度都呈现出减小的趋势。除裂纹所在轮齿外，其余健康轮齿啮合刚度保持不变。

图2 齿轮副时变啮合刚度Fig.2 Time-varying meshing stiffness of gear pair

1.2 齿轮副动力学模型

如图3利用拉格朗日方程建立直齿轮副8自由度的齿轮传动系统动力学模型，该模型包括4个平移自由度和4个转动自由度，其动力学模型参数参考文献[3]，主要特征参数如表2，动力学模型方程为

输入轴方程：

(6)

输出轴方程：

(7)

主动轮方程：

(8)

从动轮方程：

(9)

式中，FM为作用在齿轮上的动态啮合力，其计算表达式为

(10)

(11)

式中：Fk和Fc为啮合轮齿间的弹性啮合力和黏性啮合力；Rb1和Rb2为主动轮和从动轮的基圆半径；Im和Ib为电机和负载的转动惯量；I1和I2为主动轮和从动轮的转动惯量；m1和m2为主动轮和从动轮的质量；M1和M2为电机的输入转矩和负载的输出转矩；kt和ct为齿轮副时变啮合刚度和阻尼系数；kp和cp为输入轴的扭转刚度和阻尼系数；kg和cg为输出轴扭转刚度和阻尼系数；k1和c1为输入轴轴承的支撑刚度和阻尼系数；k2和c2为输出轴轴承的支撑刚度和阻尼系数；x1和x2为主动轮和从动轮在x方向的位移；y1和y2为主动轮和从动轮在y方向的位移；θ1和θ2为主动轮和从动轮的转角位移；θm和θb为电机转子和负载的转角位移；

2 齿轮副稳定工况下振动特性

2.1 齿轮副转速特性

众多学者研究了故障齿轮副在固定转速下的振动特性，所得到的结论大致相一致。但为使研究更具有一般性，下面对齿轮副在不同输入转速下的振动特性展开研究，为研究齿轮副在非稳定工况下振动特点提供理论基础。

图3 齿轮传动系统模型Fig.3 Gear transmission system model

表2 齿轮副传动系统主要参数Tab.2 Main parameters of gear pair transmission system

如图4(a)齿轮副在不同转速下的振动时域信号，因为主动轮中存在局部故障，使得在振动时域中出现明显的周期性脉冲冲击，脉冲冲击的频率与局部故障所在齿轮转频相一致；随着齿轮副转速增加，齿轮副健康轮齿啮合造成的正常振动和故障轮齿啮合造成的脉冲冲击振动幅值都增大。在利用快速傅里叶变换处理齿轮副振动时域信号后可得到齿轮副的频域如图4(b)，可知齿轮副振动信号主要的频率组成为齿轮副啮合频率，进一步验证了齿轮副主要的振动来源为齿轮副的啮合行为；啮合频率的基频fm和二倍频2fm幅值随齿轮副转频升高而不断增大，进一步说明齿轮副振幅随转频升高而增大；同时因为故障轮齿造成的脉冲冲击使得在频谱图上出现啮合频率fm与转频fr调制生成的边频带,相邻边频带的频率间隔为fr。在利用统计学的方法处理图4(a)的振动时域信号后可得到图4(c)的结果，随着齿轮副转频升高，齿轮副健康轮齿振动幅值和局部故障所在轮齿啮合造成的冲击峰幅值都增大，同时齿轮副振动信号的有效值(RMS)和振动峰峰值(xp-p)都增大。为研究在不同转频下因周期性脉冲冲击调制生成的边频带分布规律，从图4(b)中提取部分转频下的齿轮副振动频域信号如图4(d)。如图4(d),边频带分布明显，相邻边频带的频率间隔为转频频率fr; 最后从边频带的分布来看，在裂纹故障初期时，其边频带首先出现在啮合频率的基频和四倍频之间，即fm～4fm，在六倍频6fm附近也存在部分边带频，整体上边频带分布主要集中于低频，在高频段分布较少；随着转频增加，齿轮副啮合频率相应变化，此时边频带的幅值随之增大，相邻边频带的频率间隔仍为转频fr,但边频带与啮合频率的相对位置保持不变，仍在fm～4fm之间低频段。

(a) 振动时域

(b) 振动频域

(c) 振动时域特性

(d) 频带信息图4 裂纹故障齿轮副转速特性Fig.4 Speed characteristics of cracked faulty gear pair

从以上可知，故障齿轮副在不同转速下运行时，其振动的时域信号和频域信号具有相似性。其时域会出现周期性的冲击振动，相邻冲击峰的时间间隔对应着故障所在转轴的转轴频率。其振动频域主要频率组成为啮合频率及其谐波，同时因为故障存在，频谱图上出现啮合频率与故障所在转轴的转轴频率调制生成的频带，相邻边频带的频率间隔为转轴频率。可根据此振动特性，判断齿轮副中故障的位置。

2.2 齿轮副载荷特性

如图5(a)裂纹故障齿轮副在不同转矩负载下的振动时域信号，在振动时域信号中存在明显的周期性脉冲冲击，冲击的频率与转频fr一致，时间间隔为0.033 3 s；随着转矩负载的增大，齿轮副正常振动与脉冲冲击峰幅值都随之增大。在利用快速傅里叶变换后得到图5(b)的振动频域图，振动频域主要组成仍为啮合频率及高倍谐波，而且，主要频率的幅值随负载增大而增大；同时，边频带分布明显，随着负载的增大，边频带幅值增大，分布区间随负载变化很小，仍位于fm～4fm之间低频段。如图5(c),振动时域信号中正常振动幅值以及脉冲冲击幅值都随着负载转矩的增大而增大，同时振动有效值和峰峰值都增大。提取5(b)中主要频率的幅值，绘成图5(d),可见振动各主要频率的幅值都随着负载增加而增加，进一步映证了负载转矩增大，齿轮副振动增大。

(a) 振动时域

(b) 振动频域

(c) 振动时域特性

(d) 振动频域特性图5 裂纹故障齿轮副载荷特性Fig.5 Load characteristics of the gear pair with cracked failure

故障齿轮副在不同负载转矩下运行，其得到的振动信号也具有相似性，其时域的脉冲冲击和频域的频率组成一致，只是随着负载转矩的增大，其齿轮副振动幅值增大。

3 齿轮副非稳定工况下振动特性

针对齿轮副振动故障检测过程中存在转速和负载转矩的波动，以及关键零部件在受损后受到摩擦力及交变载荷作用，导致振动信号往往具有非平稳性并伴随调制现象的产生。利用现有常用的快速傅里叶变换所得到的频谱会出现严重的频率混叠现象，不利于对齿轮副特征频率的识别和齿轮副健康状态的评估。所以利用短时傅里叶变换(STFT)处理齿轮副非平稳振动信号。

3.1 变转速工况

3.1.1 加速工况

为研究齿轮副在加速情况下的振动特点，设置齿轮副初始转频为20 Hz，最终转频50 Hz，电机加速的时间一共为2 s，进行仿真试验，所得齿轮箱中主动轮y方向振动加速度信号如图6。如图6(a)齿轮副振动时域图，可以明显看出齿轮副存在脉冲冲击，而且冲击的时间间隔逐渐减小；同时随着齿轮副转频的增大，齿轮副正常振动和脉冲冲击峰幅值都增大，验证了在第二章中齿轮副的转速特性。在将振动时域信号经过STFT处理后得到振动的频域图，如图6(b),齿轮副啮合频率及谐波不断增大，说明齿轮副转频不稳定，转速一直增大；同时裂纹轮齿啮合造成的冲击振动明显，而且相邻冲击峰的时间间隔不断减小。以此可以判断齿轮副转速变化和当前健康状态。

(a) 时域信号

(b) 频域信号图6 加速工况下齿轮箱振动信号Fig.6 Gearbox vibration signal under acceleration conditions

3.1.2 转速波动

当齿轮副在设定目标转速下运行时，由于电机的控制精度和转速误差，以及齿轮副啮合行为对齿轮转速的影响，往往造成齿轮副的转速误差。为研究齿轮副转速在目标上下波动工况下运行时齿轮副的振动特点，给定齿轮副的转频如下

(12)

(a) 时域信号

(b) 频域信号图7 转速波动工况下齿轮箱振动信号Fig.7 Gearbox vibration signal under the condition of fluctuating speed

3.2 变载荷工况

(a) 时域信号

(b) 频域信号图8 变载荷工况下齿轮箱振动信号Fig.8 Gearbox vibration signal under variable load conditions

4 试验验证

为验证以上模型建立和对所得结果分析的正确性，进一步研究分析齿轮副在变工况下的振动特性，下面通过试验台架试验验证。如图9，使用HD-CL-012C转子齿轮箱试验台进行试验。所采用的裂纹故障主动轮如图10，其中直线裂纹长度为0.5 mm，裂纹与轮齿中心线夹角为70°。

图9 HD-CL-012C转子齿轮箱试验台Fig.9 HD-CL-012C rotor gearbox test bench

图10 裂纹齿轮Fig.10 Cracked gear

试验各参数与仿真试验设置相一致，其中齿轮副齿数比为23∶81，齿轮模数为1.5 mm。数据采集系统的取样频率为30 kHz，加速度传感器的测点为主动轮轴承端盖，采集铅锤方向的振动加速度时域信号，此方向与齿轮副的啮合线方向较为接近，对所得试验数据造成的误差较小。

4.1 稳定工况

为研究齿轮副在稳定工况下的振动响应，设置电机输入转速为1 200 r/min，负载转矩为50 N·m，进行试验后加速度传感器所测得振动信号如图11。

(a) 时域

(b) 频域图11 稳定工况下齿轮副试验振动信号Fig.11 The experimental vibration signal of the gear pair under stable working conditions

如图11(a)裂纹故障的振动时域信号，在其时域信号上存在明显的周期性脉冲冲击峰，每相邻冲击峰的时间间隔为0.050 25 s，对应着转轴频率fr=20 Hz。同时在图11(b)齿轮副振动频域中，发现齿轮副振动的主要频率组成为齿轮副的啮合频率及高倍频，说明齿轮副的振动主要来自于齿轮副的啮合行为；同时因为裂纹故障而在频域上出现啮合频率与转轴频率调制的边频带信息，其边频带主要分布于啮合频率一倍频到二倍频，及6倍频左右，及fm～2fm和6fm左右；相邻边频带的频率间隔为转轴频率fr。此与之前理论分析的结果一致。

4.2 变速工况

为验证裂纹故障齿轮副在变速工况下的振动特性，设置齿轮副的初始转速为1 200 r/min，电机升速率为600 r/s，目标转速为2 100 r/min，制动器负载转矩为25 N·m，进行试验，其加速度传感器采集的振动信号如图12。如图12(a)振动时域，发现当齿轮副转速升高过程中，所测得振动信号幅值不断增大。同时图12(b)振动频域中其啮合频率随转速升高不断升高，啮合频率基频fm幅值不断增大，裂纹轮齿造成的冲击明显，并随着转速升高，频域上相邻冲击峰的时间间隔也不断减小，此说明故障齿轮副转速不稳定，处于加速过程。

(a) 时域信号

4.3 变载工况

设置驱动电机的转速为1 200 r/min，制动器初始负载在20 N·m，逐渐加载为35 N·m，采集加速度传感器振动信号，其结果如图13。如图13(a)振动时域信号，在逐渐加载过程中，齿轮副振动幅值不断增大，同时在13(b)振动频域中，啮合频率基频fm幅值不断增大，频域中存在周期性冲击峰。但由于在加载过程中，电机转速出现微小波动，导致在高倍频段出现啮合频率跳动现象。

(a) 时域信号

(b) 频域信号图13 变载工况下齿轮副试验振动信号Fig.13 Test vibration signal of gear pair under variable load conditions

通过以上试验，其试验结果和通过建立数学模型分析的仿真结果数据趋势一致，二者高度吻合，说明本数学模型建立和对所得结果分析的相对正确性，也进一步验证了短时傅里叶变换信号处理方法在处理故障齿轮副变工况下振动信号的有效性。

5 结 论

针对变工况下裂纹故障齿轮副振动特性问题，本文会根据势能法和拉格朗日方程建立裂纹故障齿轮副时变啮合刚度计算模型和8自由度齿轮副动力学模型，分析研究齿轮副发生裂纹故障时的振动特性，利用短时傅里叶变换处理齿轮副在变工况下的非平稳信号，同时利用试验验证理论模型建立的正确性。研究结果表明:

齿轮副发生裂纹故障时，在振动时域上出现周期性的脉冲冲击，在振动频域上出现调制生成的边频带。并且随着齿轮副的转速和负载转矩的升高，齿轮副的正常振动幅值和脉冲冲击峰幅值都增大，频谱图上边频带幅值增大，并呈现出一定的分布规律。

在研究齿轮副在非稳定工况下的振动特性时，本文利用短时傅里叶变换(STFT)处理齿轮副的非平稳振动信号，发现随着裂纹故障齿轮副转速和外部负载的变化，在振动频域上也表现出明显的冲击，可根据脉冲冲击的幅值判断裂纹故障的程度，同时也可根据相邻脉冲的时间间隔判断齿轮副运转的稳定性。

最后通过HD-CL-012C转子齿轮箱试验台试验，验证本理论模型和结论的正确性，发现试验结果与理论结果相一致，进一步表明本理论模型和结论的正确性，也验证了短时傅里叶变换在处理齿轮箱非平稳振动信号上的有效性。