高三数学综合测试

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，计40分)

1. 已知集合A={1,3,4,5},B={x∈Z|x2-4x-5<0},则A∩B的子集个数为( )

(A)2 (B)4 (C)8 (D)16

2. 已知函数g(x)=3x+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为( )

(A)t≤-1 (B)t<-1

(C)t≤-3 (D)t≥-3

3. 在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=-3x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( )

(A)-3 (B)0 (C)-1 (D)1

5. 如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时的三种正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( )

(A)σ1>σ3>σ2>0

(B)0<σ1<σ3<σ2

(C)σ1>σ2>σ3>0

(D)0<σ1<σ2<σ3

7. 双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,且F2恰好为抛物线y2=4x的焦点,设双曲线C与该抛物线的一个交点为A,若|AF2|=|F1F2|,则双曲线C的离心率为( )

(A)3 (B)2 (C)1 (D)0

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,计20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

9. 在某次高中学科知识竞赛中,对4 000名考生的参赛成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],60分以下视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值,则下列说法中正确的是( )

(A)成绩在[70,80)的考生人数最多

(B)不及格的考生人数为1 000

(C)考生竞赛成绩的平均分约为70.5分

(D)考生竞赛成绩的中位数为75分

11. 在∆ABC中,D,E,F分别是边BC,AC,AB的中点,下列说法正确的是( )

12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,…,该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{fn}称为斐波那契数列. 并将数列{fn}中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{gn},则下列结论正确的是( )

(A)g2 019=2

(C)g1+g2+g3+…+g2 019=2 688

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,计20分)

13. 已知(ax2-1)7(a>0)的展开式中第6项的系数为-189,则展开式中各项的系数和为______.

14. 已知一袋中有标有号码1，2，3，4的卡片各一张,每次从中取出一张,记下号码后放回,当四种号码的卡片全部取出时即停止,则恰好取6次卡片时停止的概率为______.

15. 已知直线y=2x+1与圆x2+y2+ax+2y+1=0交于A，B两点,直线mx+y+2=0垂直平分弦AB,则m的值为______,弦AB的长为______.

16. 在三棱锥A-BCD中,AB=AC,DB=DC,AB+DB=4,AB⊥BD,则三棱锥A-BCD外接球的体积的最小值为______.

四、解答题(本大题共6小题,计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(1)若∠BAD=60°,求∠ADC的大小;

18.(本小题满分12分)已知{an}为正项等比数列,a1=1;数列{bn}满足b2=3,a1b1+a2b2+…+anbn=3+(2n-3)2n.

(1)求an;

(1)证明:BM⊥PC;

(2)求直线AB和平面PBC所成角的正弦值.

20.(本小题满分12分)为了增强学生的冬奥会知识,弘扬奥林匹克精神,北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况,在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校,10所学校的参与人数如下:

(1)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率;

(2)现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导,记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数,求X的分布列和数学期望;

(3)某校聘请了一名越野滑轮教练,对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定:这3个动作中至少有2个动作达到“优”,总考核记为“优”.在指导前,该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中,甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化?请说明理由.

(1)求椭圆E方程;

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-ax2(a∈R).

(1)若曲线f(x)与直线l:y=(e-2)x+b(b∈R)在x=1处相切.

(i)求a+b的值;

(ii)求证:当x≥0时,f(x)≥(e-2)x+b;

(2)当a=0且x∈(0,+∞)时,关于的x不等式x2f(x)≤mx+2lnx+1有解,求实数m的取值范围.

参考答案

一、单项选择题

1.C;2.A;3.C;4.D;5.D;

6.B;7.A;8.D.

二、多项选择题

9.ABC; 10.BD; 11.BCD; 12.AB.

三、填空题

四、解答题

17.(1)由∠BAD=60°,∠BAC=90°,可得∠DAC=30°.

又∠BAD=60°,故∠ADC=120°.

(2)当n≥2时,a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=3+[2(n-1)-3]2n-1,而a1b1+a2b2+…+anbn=3+(2n-3)2n,两式相减,得anbn=(2n-1)2n-1.又an=2n-1,所以bn=2n-1.

n=1时也成立,所以bn=2n-1(n∈N*).

由AB=BC,E为BC的中点,得BE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,交线为AC,BE⊂平面ABC,所以BE⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,所以BE⊥PC.

又ME∩BE=E,所以PC⊥平面MBE.由BM⊂平面MBE,得PC⊥BM.

(2)由(1)知PC⊥平面MBE.因为PC⊂平面PBC,所以平面MBE⊥平面PBC.

过点E作EH⊥MB于点H,由平面MBE∩平面PBC=MB,EH⊂平面MBE,得EH⊥平面PBC.所以,EH是点E到平面PBC的距离.

(2)X的所有可能取值为0,1,2,参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.

X012 P13815215

(3)答案不唯一.

22.(1)(i)f′(x)=ex-2ax,依题意可得f′(1)=e-2a=e-2,解得a=1.所以f(x)=ex-x2.

由f(1)=e-1,切点(1,e-1)在直线l上,所以e-1=e-2+b,得b=1.所以a+b=2.

(ii)由(i)知a=1,b=1,可设h(x)=ex-x2-(e-2)x-1(x≥0),则g(x)=h′(x)=ex-2x-(e-2),g′(x)=ex-2.当xln 2时,g′(x)>0,h′(x)在(ln 2,+∞)单调增.

因为h′(0)=3-e>0,h′(1)=0,00,当x∈(x0,1)时,h′(x)<0,所以h(x)在(0,x0)单调增,在(x0,1)单调减,在(1,+∞)单调增.

因为h(0)=h(1)=0,所以h(x)≥0,即f(x)≥(e-2)x+1,当且仅当x=1时取等号.故当x≥0时,f(x)≥(e-2)x+b.

(3)先证ex≥x+1. 构造函数p(x)=ex-x-1,则p′(x)=ex-1,当x∈(0,+∞)时,p′(x)>0,p(x)单调增;当x∈(-∞,0)时,p′(x)<0,p(x)单调减.所以p(x)≥p(0)=0,即ex≥x+1.