2013年北大保送生考题(续)

2022-06-22 06:00
高中数学教与学 2022年9期
关键词:南京师范大学公差考题

单 墫

(南京师范大学数学科学学院,210023)

5.在一个2013×2013的数表中,每行都成等差数列,每列的平方也都成等差数列.求证:左上角的数×右下角的数=左下角的数×右上角的数.

这题有点意思,弄得不好,会做得繁复而得不出结果.

其实简单.

首先,每行可取首、末及中央这三项仍成A.P(等差数列).

其次,只取首行、末行及其中央一行.

这样得到的3行3列的数表,共9个数,每行成A.P,每列的平方也成A.P.

设中央一列的3个数为A,B,C,则

A2+C2=2B2.

9个数的表可写成

A-d1AA+d1

B-d2BB+d2

C-d3CC+d3

其中d1,d2,d3分别为三行的公差.

我们还有

(A-d1)2+(C-d3)2=2(B-d2)2,

即(结合①消去A2+C2与2B2)

同样,由第3列得

于是

2d2B=d1A+d3C.

(左上角的数×右下角的数)-(左下角的数×右上角的数)

=(A-d1)(C+d3)-(A+d1)(C-d3)

=2(d3A-d1C).

由④,⑤得

(d3A-d1C)2

=(d3A-d1C)2+(d1A+d3C)2

-(2d2B)2

=0.

所以

d3A-d1C=0,

2(d3A-d1C)=0.

这就是所要证的.

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