立足分析　精心设计　高效构建

许丽芳

[摘  要] 研究者以“生活中的不等式”课堂教学为例，提出高效课堂构建的策略，即多角度分析课堂教学，精心设计教学过程，以促进学生的核心素养生成.

[关键词] 不等式;教学设计;初中数学

笔者讲授的“生活中的不等式”一课曾赢得了同人的一致好评. 通过分析本次教学活动，笔者认为，构建高效课堂要深度分析教学内容与教学对象，然后设计合理的问题与教学活动，精心设计教学过程，才能促进学生的核心素养生成.

多角度分析课堂教学

组织合理的教学过程，离不开分析教材内容，剖析学生的特点，进而实现有针对性的教学.

（一）剖析教材内容

1. 教学内容的重点与难点

不等关系是本节课的主要概念，因此，本节课的重点是让学生在大量实例中感受不等关系，探索如何用不等式表示不等关系，进而构建新的数学模型——不等式[1]. 本节课的难点在于准确应用数学符号刻画不等关系. 学生已经认识不等符号：>与<，但是学生对不等关系的理解仍有一定的困难，尤其用两个不等符号表示三个量之间的相互关系.

2. 教学内容蕴含的思想方法

等式与不等式具有同构的特征. 在教学中教师可以运用类比的方法建立不等式的模型，建构不等式的相关理论，让学生在合情推理的过程中，了解合情推理对于探索发现数学结论的价值以及数学建模的数学思想.

在学习方程时，学生感受到了量与量之间的相等关系，通过这一节课，又结合具体生活实例，感受了量与量之间的不等关系. 等式与不等式是两个不同的集合，它们并行不悖但又相互联系，如果从集合的角度看待不等式，不等符号“≥”“≤”蕴含了并集的思想，不等符号“≠”蕴含了补集的数学思想.

如何說明连不等式表达的范围呢？教师可以利用数轴加以说明，左边的数小于右边的数，数轴上的数从左向右依次增大，因此书写连不等式时，应从左到右的顺序书写，进而渗透数形结合的数学思想方法，体现数形统一的观点.

用不等式表示实际生活中的不等关系时，必须设出相应字母表示相关的量，这也是在自然渗透代数的数学思想. 可以看出，生活中的不等式内容虽少，但其中包含的数学思想十分丰富，且它们都有很高的数学价值.

3. 教学内容的数学与应用价值

不等式这一数学模型有何数学意义与实际意义呢？要说明这个问题，这一节课还不能充分说明，需要学生在后面不等式的学习中慢慢体会与感受. 如何让学生对不等式的数学意义与实际意义有所感受呢？教师可以引导学生感受不等式表示不等关系比用自然语言表示不等式关系显得更加简洁，进而感受数学的简洁美. 教师还可以引导学生利用不等式尝试解决一些实际问题，感受数学的应用价值.

（二）剖析教学对象

1. 学生的认知基点

与本节课学习内容相关，且已在学生的认知结构中的相关知识包括：相等关系，相等关系用等式表示，方程就是用相等关系表示现实世界的数学模型;大于号与小于号，数轴的点与有理数的对应关系等.

学生已有建构等式、代数式、方程等数学模型的活动经验，在列一元一次方程解应用题的过程中，学生充分经历了用方程表示相等关系的过程. 有了这样的基础，学生可以自主建构不等式刻画不等关系. 但由于学生认知的差异，教师应根据学生情况作相应的补救或复习，不能因为前面知识的缺陷而影响新知的学习.

2. 学生的认知规律

由皮亚杰的认识论可知，七年级学生的认知水平已进入形式运演阶段，此时学生能够通过假设、抽象、形式化的思维活动，自主建构不等式的数学模型.

基于学生认知规律，学生认识不等式的过程需要经历以下几个层次：背景感受—激发需求—形成问题—分析深究—数学建构. 基于此，教师应从不等式的情境—表达不等关系的需求—如何构建数学模型—联想类比结构—形成数学模型等进行教学设计.

精心设计教学过程

（一）立足核心概念设计问题串

教学设计时，应围绕核心概念设计有关联的数学问题. 不等关系是本节课的核心概念，设计初始问题时，应通过实例提出问题，让学生发现其中的相等或不等关系[2]. 如何寻找不等关系的联结点呢？实际上相等关系就是最好的逻辑起点. 在自然现象与人类社会中，两个量之间的关系，不仅存在相等关系而且存在不等关系. 教学中，笔者让学生充分感受具体实例的基础上，提出本节课的问题，即如何从数学的角度刻画不等关系. 当学生充分认识到可以用不等式表示不等关系后，再提出后面教材需要研究的问题：如何用不等式解决与不等关系有关的实际问题.

（二）立足知识的生长点设计问题情境

如何呈现新知识呢？它是由新知的生长点决定的. 从认知规律角度分析，等式应是不等式的自然生长点. 因此，可以设计一个天平，在天平的两端放两种不同实物，如三个桃子与两个苹果，它们质量相等，此时天平平衡. 在此基础上，变化问题情境，打破相等关系，提出如果拿走一个桃子，天平会怎么样？为什么会这样？此时，学生可能会用自然语言表达：天平向苹果方向倾斜，因为两个苹果的质量大于两个桃子的质量. 顺势而为，笔者又再举一些生活不等关系的实例，让学生用自然的语言表示它们之间的不等关系，同时引导学生举一些自己熟悉的不等关系的实例. 当学生充分认识了不等关系的客观存在时，自然会提出本节课的主要问题：如何从数学的角度表示不等关系.

（三）立足教学重点建构教学过程

本节课的教学重点是用不等式表示不等关系，所以必须让学生经历这一形成过程. 之前，学生已经经历了从等式表示相等关系到用不等式表示不等关系的过程，并提出问题：如何用数学符号表示不等关系. 实际上学生已经能够用大于号或小于号表示两个数的大小关系，基于此，用不等式表示不等关系也可以放手让学生自主建构. 当学生能够用大于号或小于号表示问题中的不等关系后，然后提出用“≥”“≤”“≠”表示不等关系的实例，如x是非负数，y是非正数，x与3的和不大于5等. 这样既丰富了不等关系，也显示了引入新不等号的必要性，使新符号与旧符号的包含关系得到了揭示，渗透了并集与补集的思想.

在引入新的不等符号时，笔者作了一定的说明. 如不大于、不超过、至多都表示“≤”;不小于、不少于、至少都表示“≥”等. 这样，能让学生在比较用自然语言表示不等关系与用不等式表示不等关系中，进一步感受数学语言的简洁美.

在课堂训练中，笔者引导学生学会把不等式与等式分类，以韦恩图的形式，把相应的元素集中在框内，以渗透分类与集合的思想. 为了强化学生应用不等式的能力，笔者引入公路的限速标记等，实现了数学与生活的联结.

（四）立足教学难点设计探究性活动

对于学生有认知困难的学习内容，教师应设计数学活动让学生认识其本质或关系. 用不等式表示不等关系是本节课的难点. 教学中，笔者精心设计探究活动，让学生在比较异同中突破教学难点.

探究活动：某个城市某天的最高气温是20℃，最低气温是5℃，如何表示当天的气温范围呢？笔者先让学生尝试自己表示，然后进行小组讨论，最后收集各小组的意见，不难发现，学生的表示形式各不相同，如t≥5，t≤20;t=5-20;20≥t≥5;5≤t≤20等. 对于第一种表示方法，中间应加“且”字以强调两个条件同时满足;第二种表示方法属于等式范畴;第三种与第四种表示方法比较简明，属于数学语言. 在进一步比较第三种与第四种表示方法的优劣中，学生联想到数轴上左边的数小于右边的数，认为第四种表示方法更能体现数学知识的内在统一性与一致性，进而实现了数与形的有效统一.

（五）立足拓展延伸给学生以启迪

一节好的数学课应使学生的思维得到不断的发展，而不是就此终结. 为此，笔者在课堂练习中设计了这样的一道题：用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表.

（1）现配制这种饮料9千克，要求至少含有4000單位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（kg）应满足的不等式;

（2）如果还要求甲、乙两种原料的费用不超过70元，试写出x（kg）应满足的另一个不等式.

这是下一节课要研究的课题，给学生后续的研究指明了方向，也从另一个侧面说明，用数学语言表示实际问题，是为了更好地应用数学知识解决实际问题.

通过本次教学，笔者认为，只有对教学内容与教学对象深入分析与研究，精心设计教学过程，才能构建出高质有效的教学课堂，促进学生的核心素养生成.

参考文献：

[1]袁乐. 基于“三个理解”的“生活中的不等式”教学设计[J]. 福建中学数学，2020（09）：17-20.

[2]周秀梅. 初中数学建模教学要重视教学分析——以七年级下“生活中的不等式”为例[J]. 中学数学月刊，2020（03）：42-43+51.