基于ARMA模型的超薄滚筒箱体模态研究

王东生 凌志东 吴云贵

长虹美菱股份有限公司 安徽合肥 230601

0 引言

滚筒洗衣机由于具有较低的脱水含水率、较高的洗净比、易于家居搭配及功能多样化等优点，越来越受到年轻消费者的喜爱[1]。随着滚筒市场份额逐年提升，消费者对滚筒洗衣机的性能提出了更高的要求，其中振动性能尤为突出[2]。滚筒洗衣机是由箱壳和吊簧、减震器、桶装部件等组成，是一个较为典型的振动系统[3]。业内对于滚筒洗衣机的振动性能的研究方向主要包括箱体的模态分析、悬挂系统的多体动力学分析、箱体结构的改进与振动响应的分析等[4]。在对箱体的模态分析进行深入研究时，发现通过Simcenter3D仿真软件建模仿真获取箱体的模态和通过模态试验获取的箱体的模态存在一定的差距。仿真结果不够精准，会误导箱体的结构设计与优化。为快速验证仿真模型的可靠性，需要通过一些方法对仿真的结果进行验证，常用的方法是模态试验法。本文提供一种全新的快速验证方法，即采集箱体时域响应信号，绘制稳定图获取箱体的模态频率，通过对比法快速确定仿真结果是否可靠。

1 ARMA模型

ARMA模型（Autoregressive moving average model），又称时间序列模型，是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论和方法。一般采用曲线拟合和参数估计方法（如非线性最小二乘法）进行，常用于自然、经济、社会以及科学等领域。本文引用的ARMA模型基本原理如下：首先利用白噪声在理想状态下对一线性结构进行激励，其观测样本序列为（x1,x2…xN），通过该方法建立的ARMA模型表达式为：

式（1）中：p为自回归部分的阶次，q为滑动平均部分的阶次，为自回归系数， 为滑动平均系数，at-j（j=1,2,…q）为输入的随机序列，为输入的白噪声。引入时移算子后，所得到的ARMA传递函数为：

经过对分母多项式的根 进行求解，即可获取关于系统的模态频率。它们与阻尼比 以及和固有频率 的关系为：

ARMA模型可以在MATLAB软件进行建模使用MATLAB中本身含有的函数，由于ARMA求解过程中含有唯一且稳定的解：

在式（4）中，hj为脉冲响应函数，一般情况下我们会采用Prony函数方法[5]，使用的格式为：

ARMA参数建模是通过Prony方法进行时间序列响应拟合的，可以通过上述方法得到Prony函数，主要用于滤波器设计、系统的辨识和指数信号建模。式（4）中b为分子系数向量和a为分母系数向量，其中分别对应为滑动平均系数 和自回归系数，h为时域脉冲响应。式（4）传递函数中nb为分母阶次、na为分子阶次，分别对应了滑动平均阶次q以及自回归模型阶次p。这种Prony方法不仅对于系统输入进行了考虑，同时也兼顾了系统输出，更加全面的对模型参数进行了估计。

在ARMA模型中，因为存在两个阶次p和q，所以当下该如何确定二者的关系相对应显得更为重要。在滑动平均阶次q和自回归模型阶次p之间一般都存在关系，关系如下：p>q，一般取p=q+1，故本文中p与q的关系将按p=q+1取值[6]。

2 稳定图法

在模态参数识别领域中，一般会采用模态稳定性图法[7]对于模态的稳定及虚假进行判断并剔除其中的虚假模态。考虑到ARMA模型中的时间序列分析法也可以采用稳定性图方法来识别模态参数，故本文中使用方法如下：首先，通过在一定范围内使ARMA模型的阶次慢慢变大同时进行计算求解，可以获取模态频率的一系列值；其次，采用频率为横坐标，采用模型阶次（采用滑动平均阶次q）为纵坐标，通过上述方法可以绘制出关于模态频率的稳定图。最后，因模型无法避免阶次过估计的现象，导致在绘制稳定图时出现真实模态与虚假模态并存的现象，但是逐步增加阶次后，发现虚假模态中的极点会发生不稳定、分散、弯曲的现象，而真实模态中的极点则会较为稳定且会排列产生成一条条的纵向直线，因此可以很明显地从图中分辨出系统的真实模态值和虚假模态[8]。结合ARMA我们可以从现有的实验数据中获取稳定图，帮助我们判断获取的固有频率中存在的不稳定模态并剔除其中不稳定模态。

3 箱体的有限元建模与模态分析

为满足产品不断地改善及市场竞争的需求，对于箱体的振幅研究是不可避免的。如何改善箱体的结构强度，改变其压筋形状，需要获取该箱体中的固有频率，并对比改善前后的固有频率。为获取箱体固有频率，通常采用的是有限元仿真和对于箱体进行模态试验[9]。

3.1 模型简化

考虑到箱体为对称结构，因此将箱体模型简化为单侧侧板，并去除部分结构特征。模型示意图如图1所示。

图1 箱体模型示意图

从图1可以看出，箱壳压筋采用3条闭环压筋，截面为弧形，并且外圈筋浅，中间筋深。

3.2 网格划分

将模型导入Simcenter3D软件中，进行网格划分。洗衣机箱体主要材料特性：弹性模量2.06×105Mpa，泊松比0.3，密度7.85×10-6kg/mm3。对于选取的箱壳单元进行网格划分，单个网格大小为3 mm，单元总数目为55681个。网格划分如图2所示。

图2 箱体网格划分示意图

3.3 仿真结果

仿真得到的箱体前十阶的固有频率如表1所示。

表1 仿真前十阶固有频率

4 仿真结果快速验证

快速验证仿真结果可靠性方法如下：第一步采集箱体侧板的时域响应信号，第二步使用MATLABM算法计算得到稳定图，第三步通过稳定图获得箱体的模态频率，第四步对比分析判断仿真结果是否可靠。

4.1 箱体时域响应信号采集

使用东华测试设备：DH59220D动态信号测试分析系统对箱体的时域响应信号进行采集，本次的采样频率选取值定为2048 Hz，采样间隔为 s，采样时长为500 s。加速度传感器布点以及箱体侧板加速度响应信号如图3、图4所示。

图3 测点布置图

图4 箱体侧板加速度响应图

4.2 ARMA模型建立

将4.1节中得到的箱体加速度时域响应信号作为输入信号，通过自编程序对其进行求解，得到ARMA模型的稳定图，从而获取箱体的模态频率值。取滑动平均阶次q的阶次区间为1～150，以此做出稳定图，绘制ARMA模型的稳定图如图5所示。

从图5分析得出，真实模态的极点会排列成一条直线，而虚假模态极点会分散不稳定。由此得出，箱体的前五阶模态频率值分别41 Hz、82 Hz、124 Hz、165 Hz、206 Hz。

图5 ARMA模型稳定图

4.3 模态频率验证

将4.1节得到的箱体加速度时域响应信号，经过二次积分处理，并以转速为横坐标，以振幅为纵坐标，绘制出0 r/min到1320 r/min过程中箱体的振幅图如图5。

从图6中可以看出，箱体的共振转速分别出现在370 r/min、600 r/min、1220 r/min。4.2节中得到箱体的前五阶模态频率值的1/8倍频、1/4倍频和1/2倍频与图5所示的共振峰基本一致，由此证明通过MATLAB算法获得的箱体模态频率是比较合理的。

图6 箱体振幅图

4.4 仿真结果快速验证

根据4.2节中得到的箱体前五阶模态频率，对比表1中仿真前十阶固有频率，得出有五阶固有频率值如表2所示。

表2 仿真分析真实固有频率

通过图5分析得知，仿真获得的固有频率与基于ARMA模型的稳定图法获得的固有频率在同一个量级，且数值差异较小。由此得出以下三点结论：

（1）仿真过程中对箱体模型的优化不会对模态分析造成较大的影响；

（2）仿真过程中网格划分、材料属性及边界条件与实物状态基本符合；

（3）仿真分析得出的箱体固有频率及阵型具有可靠性，可以作为优化结构设计的理论支撑。

5 结束语

本文以滚筒洗衣机超薄箱体为研究对象，首先采集了箱体时域响应信号采集，其次以该时域响应信号作为输入信号，通过MATLAB算法计算得到ARMA模型的稳定图，然后对稳定图进行分析获得箱体的模态频率，再次以实际工况下箱体共振转速为依据，证明4.2节中算法的合理性，最后对比分析确认仿真结果真实可靠，为后续箱体结构改进、箱体模态研究提供有效参考。当然ARMA模型和稳定图法在滚筒洗衣机产品开发中的应用还有许多工作要做，合理应用该项技术可以使滚筒洗衣机的产品结构设计变得更加便捷、高效[10]。