Orlicz混合宽度积分①

杨林， 唐孝国， 谭杨， 罗淼

1.铜仁职业技术学院 信息工程学院，贵州 铜仁 554300；2.贵州师范大学 数学科学学院，贵阳 550025

Orlicz-Brunn-Minkowski理论[1-3]基于LpBrunn-Minkowski理论[4]发展而来，在凸体或星体(及其相关的如投影体、 相交体等)的体积、混合体积、仿射表面积、宽度积分及弦长积分等研究目标上建立了Orlicz-Minkowski不等式、Orlicz-Brunn-Minkowski不等式及其他一系列优美的结果[5-11]． 近期关于平面上的凸体或凸曲线的研究可参见文献[12-14]．

设K∈Kn的支撑函数h(K，·)为

h(K，u)=max{x·u：x∈K}u∈Sn-1

K的n维体积为

dS(K，u)表示K在u方向上的面积微元，K的宽度函数为

若存在正实数λ，使得b(K，u)=λb(L，u)，则称K与L具有相似宽度．

确定．

由Orlicz组合的定义可知

同时建立了一系列不等式，如Orlicz-Aleksandrov-Fenchel不等式和Orlicz Brunn-Minkowski不等式:

文献[14]研究了K1，…，Kn∈Kn的混合宽度积分B(K1，…，Kn)，其积分表达式为

(1)

并建立了不等式

(2)

设α，β为非负且不同时为0的实数，文献[10]定义并研究了K，L∈Kn的Orlicz宽度线性加法b(+φ(K，L，α，β)，u)，

其中

φ(x，y)=φ1(x)+φ2(y)φ1，φ2∈Φ1

由Orlicz宽度线性加法的定义可知

(3)

设K，L∈Kn，φ∈Φ1，0≤i

(4)

同时建立了如下Orlicz Minkowski不等式和Orlicz Brunn-Minkowski不等式：

Orlicz-Minkowski不等式若K，L∈Kn，φ∈Φ1，0≤i

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度．

Orlicz Brunn-Minkowski不等式若K，L∈Kn，φ∈Φ2，0≤i

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度．

本文在文献[9-10]的启发下，定义了关于K1，…，Kn-1，K，L的Orlicz多元混合宽度积分Bφ(K1，…，Kn-1，K，L)，其表达式为

(5)

当K1，…，Kn-1中有n-i-1个与K相等，其余i个为单位球时，(5)式即为公式(4)． 本文建立了Orlicz多元混合宽度积分的如下不等式：

定理1若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ1，则

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度．

定理2若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ2，α，β>0，则

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度．

为得到文中结论的证明，需借助以下引理:

引理2若K，L∈Kn，φ=φ(x，y)=φ1(x)+φ2(y)，φ1，φ2∈Φ1，则

证由引理1、(3)式及凸函数的性质知

其中

引理3若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ2，则

证由引理1、 引理2、 (1)式，令

f(u)=b(K1，u) …b(Kn-1，u)

可以得到

由引理3与Bφ(K1，…，Kn-1，K，L)的定义，可得：

引理4设K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ1，则

等号成立当且仅当f(u)=C(a．e．x∈X)，其中C为常数．

定理1的证明由引理4、 引理5及(1)式可得

(6)

由引理5不等式等号成立的条件知定理1中不等式等号成立的充要条件为K与L具有相似宽度．

由定理1、不等式(2)以及φ的单调递减性可得：

推论1若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ1，1≤m

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度．

在推论1中令φ(x)=x-p，可得：

推论2若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，1≤m

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度．

当推论1中，当m=n-1时，有：

推论3若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ1，则

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度．

定理2的证明由(1)，(3)式与引理4，令

C=(K1，…，Kn-1)

可得

整理即得

由定理1不等式等号成立的条件知定理2中不等式等号成立当且仅当K与L具有相似宽度．

由定理2、不等式(2)以及φ的单调性，可得：

推论4若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ2，1≤m

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度．

在定理2中令φ(x，y)=x-p+y-p，得：

推论5若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，p≥1，则

B(K1，…，Kn-1，+p(K，L，1，1))-p≥B(K1，…，Kn-1，K)-p+Bφ(K1，…，Kn-1，L)-p

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度．