标准直齿圆柱齿轮轮齿任意点K 的齿厚计算

罗啸峰

（四川职业技术学院 智能制造学院，四川 遂宁 629000）

引言

齿轮传动是机械传动各种类型中最重要的传动形式[1]，应用非常广泛。齿轮传动的传动精确度高，适应性广，易于加工制造。与其他传动形式相比，齿轮传动具有的主要优点有：第一，传递功率、速度的范围大。圆周速度可达300m/s，转速可达105r/min，传递功率可从小于1W 到106W，齿轮直径可由1mm 到150m 左右，能适应绝大多数工作场合下对传动速度及传动功率的不同要求；第二，传动比准确，传动精度高。齿轮传动的传动比无论是平均值还是瞬时值，理论上能保持恒定不变，这也是齿轮传动获得广泛应用的原因之一，传动过程中不存在弹性滑动或打滑，工作可靠性高；第三，传动效率高，使用寿命长，能适应复杂工作条件的要求；第四，可传递空间任意夹角两轴间的运动和动力，占用空间小，结构紧凑，可实现转向改变和多级、多种传动比的灵活变化；第五，制造和安装精度要求较高[2],与带传动、链传动相比，齿轮的制造及安装精度要求高，价格较贵；第六，不适宜用于两轴间距离较大的传动。如图1 所示。

图1 齿轮传动示意图

1 齿轮传动的基本要求

1.1 传动比要求

传动比恒定是对齿轮传动的一个重要要求。齿轮传动要求瞬时传动比必须保持恒定不变[3]，否则，当主动轮等角速度回转时，从动轮变速转动，从而产生惯性力。这种惯性力会引起机器的振动和噪声，影响其工作精度和使用寿命长。而齿轮齿廓线采用渐开线，保证了传动比的恒定不变。如图2 所示，外啮合传动中，O1、O2分别为两齿轮的转动中心，某瞬时两齿廓在K 点处啮合，两齿轮运动时，必须满足过啮合点的公法线n—n上的分速度相等，否则将出现干涉或分离而不能传动[4]。

图2 外齿传动啮合点

上式表明，欲使齿轮保持恒定的传动比，无论两齿廓在任何位置接触，过接触点处的齿廓公法线都必须与连心线交于一固定点，根据渐开线的性质，渐开线上任意点的发生线，必与基圆相切，而该发生线为齿廓在该点处渐开线的法线。因此，当两齿轮安装位置确定后，两齿轮齿廓无论在何处啮合，过啮合点的公法线必与两齿轮基圆相切，即任意点啮合时的公法线是唯一的，与两齿轮的连心线交于固定的点P。因此，齿轮传动能保证传动比为恒定值。

1.2 传动能力要求

在机械设施设备上，齿轮主要担负着传递运动和动力的重要使命。因此，对齿轮的另一个重要要求，就是其传动能力。齿轮的传动能力，主要取决于齿轮的轮齿大小，即直接与齿轮的模数息息相关。在齿轮的承载能力设计时，齿轮的轮齿受载情况相当于一个悬臂梁，其齿根处的弯矩最大，所以必须要能够准确计算其齿根厚度。

对齿轮的结构及应用的研究，一直以来都是非常广泛而且深入的。齿轮的轮齿是齿轮传动中直接承受载荷的主体，其形状与尺寸决定着齿轮的承载能力、强度计算和加工制造。在齿轮设计过程中，准确计算齿轮任意位置齿厚，具有重要意义。在机械类专业高职教育教学过程中，有关齿轮基本尺寸计算，基本尺寸的最终结果化公式运算，而这些公式的计算推导过程比较欠缺，为了使同学们懂得计算公式的来龙去脉，公式的推导过程还是很有必要的。因此，本文从基本原理上，重点讲解标准直齿圆柱齿轮任意位置齿厚的计算推导过程。

2 齿轮各部分名称和基本参数

2.1 渐开线直齿圆柱齿轮各部分名称

如图3 所示，齿轮齿顶所在的圆周，称为齿顶圆；齿根所在的圆周，称为齿根圆；齿轮上具有标准模数和压力角的位置所在的圆周，称为分度圆，分度圆上的齿轮参数，是设计和计算齿轮基本尺寸的重要依据；齿轮上形成齿轮渐开线的圆周，称为齿轮的基圆；分度圆到齿顶圆之间的径向距离，称为齿顶高；分度圆到齿根圆之间的径向距离，称为齿根高。

图3 齿轮结构示意图

2.2 渐开线直齿圆柱齿轮的基本参数

在齿轮的圆周上，轮齿的数量称为齿轮的齿数，用字母符号z表示；为了计算的方便，将齿轮的齿距π等分并规定为简单的有理数，称为齿轮的模数，用字母符号m表示；齿轮分度圆上，法向压力的方向与该点运动速度方向之间的夹角，称为压力角，用符号α表示，我国规定标准压力角α= 20°。

由此，齿轮分度圆直径d=mz，基圆直径db=mzcosα，可见，当齿轮的m、z、α都确定时，齿轮的基圆直径和渐开线形状才确定下来，所以通常称齿轮的模数、齿数和压力角为齿轮的三大主参数。

工业生产中，齿轮的模数已形成标准系列，分第一系列和第二系列，选用时一般优先选用第一系列。齿轮模数如表1 所示。

表1 渐开线标准圆柱齿轮模数

3 基圆齿厚的推导计算

对于标准直齿圆柱齿轮，相邻两齿同侧齿廓在分度圆上的圆弧线长度，称为齿轮分度圆齿距，简称齿轮齿距，用P 表示。当直齿圆柱齿轮的齿数为Z 时，在分度圆周上，就有Z 个齿距P，即有：

在标准直齿圆柱齿轮上，分度圆齿距P 等于分度圆齿厚S 加上齿槽宽e，而分度圆上的齿厚S等于齿槽宽e，因此有：

对于同一个齿轮，齿轮轮齿不同部位的齿距是不同的，齿顶圆上的齿距最大，齿根圆上的齿距最小，从齿轮的齿顶圆到齿根圆，齿距大小逐渐减小；从齿轮的齿顶圆到齿根圆，齿厚由小逐渐增大，而齿槽宽由大逐渐减小，在分度圆上齿厚等于齿槽宽。

如图4 所示，取齿轮的一个完整齿形，分度圆与轮齿左右齿廓交于B、G 两点，D 为分度圆弧BG 的中点，基圆与左侧齿廓渐开线交于点C，轮齿对称线交基园于点E，B 点渐开线的法向压力作用线与基圆相切于A 点。根据渐开线性质∠BOA=α=20°,圆弧BD 对应的圆心角设为γ，基圆弧AE 对应圆心角设为β，轮齿左侧渐开线D 点处的展角为θ，设齿轮的模数为m,齿数为z，分度圆压力角为α。分度圆齿厚即为BG 两点间分度圆弧长，根据齿轮基本尺寸计算公式：

图4 齿形结构

由渐开线的形成及特性可知，发生线沿基圆滚过的长度，等于该基圆上被滚过的弧长[6]。

轮齿左侧渐开线与基圆交点为C，BD 段圆弧对应的圆心角为γ，圆弧AE 对应的圆心角为β，分度圆B 点的展角为θ。

4 渐开线函数

在（1）式中，tanα-α 与分度圆上渐开线的展角θ 有关。

在半径为rb的基圆上，发生线绕基圆作纯滚动，其切点由A 滚动到B 点时，发生线上与A 点相切的点，从A 点展开到K 点，如图5 所示。设半径为rb的基圆上渐开线任意点K 的展开角为θk，根据渐开线形成的基本性质，发生线BK 的直线长度等于基圆上被滚过的弧长AB，即：

图5 基图渐开线

由此可得分度圆展角方程为：

将展角方程代入（1）式，可得：

5 渐开线齿廓任意点K 处齿厚

对于标准直齿圆柱齿轮，由分度圆齿厚可推出基圆齿厚，在已知基圆齿厚的基础上，又可以推导出渐开线任意圆周上齿厚的计算公式。

如图6 所示，渐开线上任意点K 所在圆周与齿廓交于K、D 两点，K 点压力角为αk，半径为RK,K 点展角为:

图6 渐形线上任意K 点

基圆齿厚所对应的圆心角假设为γ（弧度）

标准直齿圆柱齿轮渐开线任意点K 处的齿厚SK为：

6 齿根圆上齿厚分析

在标准直齿圆柱齿轮上，齿根圆直径为：

而齿轮基圆直径为：

设分度圆到基圆之间的径向距离为hb，命名为齿基高，则：

由上式可见，在标准直齿圆柱齿轮的模数一定时，齿基高与齿轮的齿数和标准压力角有关，取标准直齿圆柱齿轮分度圆压力角为标准值20°时，可求解出齿基高大于等于齿根高时齿轮的齿数为：

所以，当齿轮的齿数取42 个齿以上时，齿基高大于齿根高，即基圆直径小于齿根圆直径，此时，齿轮齿廓全齿高齿廓线皆为渐开线，齿根圆上的齿厚是可以计算的。

如图7 所示，虚拟渐开线齿廓由基圆上B 点开始展开到齿根圆上A 点，齿根圆上A 点的渐开线发生线为AN，等于基圆上被滚过的弧长BN，设标准直齿圆柱齿轮齿根圆上的压力角为αf，则角∠AON=αf，设齿根圆对应圆心角的一半为β，基圆对应的圆心角为γ，渐开线A 点的展角为θK，首先推导出齿根圆上的展角方程，即：

图7 虚拟渐开线齿廓

所以，齿根圆上的展角方程为：

齿根圆对应的圆心角可计算如下：

由前述推导可知：

在标准直齿圆柱齿轮上，齿根圆的齿厚设为Sf，则有：

所以，齿根圆上齿厚计算公式为：

由图6 可知：

在直齿圆柱齿轮齿根弯曲强度计算时，弯曲强度取决于齿根处的齿厚。在设计计算时，一对啮合的齿轮，由于小齿轮的应力循环次数较多，齿根部位相对强度较弱，通常小齿轮在材料及热处理方法选择时，取齿面硬度比大齿轮高30～50HB，为了便于加工和装配，小齿轮齿宽比大齿轮大5～10mm。由渐开线的性质可知，基园以内无渐开线。而对于齿数较少的直齿圆柱齿轮，齿根小于基圆，因此，在齿轮的基与齿根之间的齿廓线，不是渐开线，是由切削刀具顶端切出的过渡曲线，在齿轮啮合传动时，该段过渡曲线基本不参与啮合，而是形成顶隙，起到防止齿顶卡住和储存润滑油的作用[7]。在一般的齿轮传动设计中，小齿轮的齿数通常小于40 个齿，所以，靠近齿根处的齿廓线一般不是标准渐开线，其齿根处齿厚不易准确确定。鉴于此，当齿轮直径较小时，其危险截面位置通常采用抛物线法和30°切线法确定，从而推导出了其成熟的计算公式。

7 轮齿不同位置齿厚比较

根据本文前述推导公式，可计算标准直齿圆柱齿轮不同位置齿厚，以比较其变化关系和作为设计计算的参考。下面以齿轮模数为3，标准压力角为20°时，取不同齿数计算各位置处的齿厚，如表2 所示。

表2 m=3 时，各位置齿厚的对照表

由对照表可分析出，对于分度圆上同一模数和标准压力角而不同齿数的齿轮，在同一位置处（分度圆除外），其齿厚随齿数的增加而增大；对同一模数和齿数的齿轮，其不同位置齿厚，由齿顶向齿根方向逐渐增大[8]。

8 结语

在机械类专业高职教育教学过程中，有关齿轮基本尺寸计算，主要讲解了分度圆齿厚的计算公式，而在例如公法线长度计算公式中，又涉及到了基圆齿厚，如下式，K 为跨齿数。

当跨过K 个齿测量时，公法线长度为K-1 个基圆齿距加上一个基圆齿厚。同时，针对齿厚的计算，也是齿轮承载能力设计计算的参考依据。因此，对标准直齿圆柱齿轮任意点的齿厚计算式的推导，以及进一步的把握和应用，具有重要意义。