一道2022届高三调研试题的探究

福建省仙游华侨中学 (351200) 薛玉荣

本题的答案是：(1)抛物线C的方程为y2=4x；(2)直线TM与抛物线C相切.第(2)问内涵丰富，不应解完即止，可进一步引导学生进行适当的探究.

1.纵向探究——一般性结论

本题(2)的结论是关于抛物线C：y2=4x，那么，对于一般的抛物线C：y2=2px(p>0)，原结论是否成立？经探究，可得：

2.逆向探究——结论的逆命题

3.变式探究——新的结论

上述结论涉及抛物线C的经过顶点O的弦OM，那么，对于抛物线C的任意弦AM,会有什么相应的结论？经探究，可得：

证明：下面只证明抛物线C：y2=2px(p>0)的情形.设直线AM的方程为x=hy+m，代入抛物线C的方程，并整理得y2-2phy-2pm=0.设A(x1,y1),M(x2,y2),据韦达定理得y1+y2=2ph.

进一步探究，还可以得到：

特别地，当2p=1,n=c时，结论5中关于抛物线C：x2=2py(p>0)的结论，就是2007年全国高考江苏卷题19(2)、(3)的结论：在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y=x2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q.(1)略；(2)若P为线段AB的中点，求证QA为此抛物线的切线；(3)试问(2)的逆命题是否成立？说明理由.(图略)

以上通过对一道抛物线试题的探究，揭示了试题的深刻背景及一般规律和结论，并应用所得到的结论解决有关问题.这对培养学生发现、提出、解决问题的能力，提升学生的探究能力和数学学科核心素养无疑是有益的.