一道向量数量积问题的解法探究*

福建省莆田哲理中学 (351100) 吴毓敏

福建省莆田第二中学 (351131) 卢 妮

平面向量的数量积涉及夹角、模、投影向量等问题，融合了代数、几何及三角函数，是一个重要的知识交汇点，也涉及函数与方程、数形结合、化归与转化等思想方法,主要考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力、应用能力和创新能力，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等学科素养.其解题入口宽，解法灵活多样，有定义法、几何法、基底法、坐标法、转化法、极化恒等式法等.可谓花样繁多，让人眼花缭乱.那如何拨开层层迷雾，探寻数量积最值问题的简便解法？这就需要学生解题时要综观题目条件，灵活选用方法，从而尽可能地选出简便的方法.本文以一道莆田市2022届高中毕业班教学质量检测题为例，进行多视角探究解法.

一、试题呈现

A.16 B.12 C.5 D.4

二、解法探究

图1

评注：注意到△ABC是正三角形，根据对称性，建立平面直角坐标系，利用坐标运算，以“数”解“形”，从而达到简化运算.

图2

评注：巧借几何意义，以“形”助“数”,发现点P在过B点的垂线上,横坐标为定值2，省去了求点P横坐标的过程，从而简化了计算.

图3

三、拓展应用

图4

图5