例谈几何法在圆锥曲线问题中的运用

广州大学附属中学 (510006) 朱惊涛

解析法和几何法是解决圆锥曲线问题的两大途径. 几何法的独立运用或与解析法的有机结合有利于减少计算量，巧妙解决问题，同时，几何法又有利于培养学生的观察能力、直观想象力和思维发散力，是培养学生创造性思维能力的重要手段. 本文通过一些实例介绍部分几何性质在圆锥曲线问题中的应用，供读者借鉴和参考.

一、线段比、面积比的转化

1.共线下的线段比的转化

图1

点评：把线段比转化为纵坐标差的比或横坐标差的比是常用的方法，从几何角度上看是构造相似的直角三角形，把斜边比转化为直角边之比. 至于何时转化为纵坐标差的比，何时转化为横坐标差的比，则需结合图像和已经条件，以简单化为原则来做选择. 如在本例中，将线段比转化为纵坐标差之比则简单，若转化为横坐标差的比则变复杂.

2. 同底三角形面积比的转化

图2

点评：抓住两个三角形同底的特征，通过三次转化巧妙解决了问题. 转化一：将面积比转化为对应高的比；转化二：将对应高的比转化为线段MN与OM的长度之比；转化三：将线段MN与OM的长度之比转化为N、M、O三点纵坐标的差的比，从而直接代入坐标运算即可.

二、相似三角形的运用

1. 利用相似三角形对应边成比例

图3

点评：从几何角度入手，利用FM//OE易得到△AFM∽△AOE且△BOQ∽△BFM，再将对应底边之比转化为x轴上的对应侧边之比，从而快速解决问题.

2. 利用相似三角形对应角相等

图4

解析：如图5，连接F1G，GF2，则∠F1GF2=90°，又由双曲线的对称性可知MF1=MF2,所以MO是∠F1MF2的角平分线，从而△F1MP的内切圆圆心G必在y轴上，且易有△GF1M≌△GF2M，所以∠GF1M=∠GF2M，又F1G为∠MF1P的角平分线，所以∠MF1G=∠GF1P，从而∠GF1P=∠GF2P，设F1P与GF2交于点Q，则有△F1GQ∽△F2PQ，从而有∠F1PF2=∠F1GF2=90°，命题得证.

图5

点评：利用相似三角形证明角度相等是常见手法，本题易知有∠F1GF2=90°，为证∠F1PF2=90°，易想到证明△F1GQ∽△F2PQ，再结合F1G为∠MF1P的角平分线，则有∠GF1Q=∠GF1M=∠GF2P，从而命题得证.

3. 利用射影定理

例5 (2000年北京春季高考试题)如图6，设点A、B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB.求点M的轨迹方程.

图6

三、圆的相关性质的运用

1. 四点共圆

图7

点评：从几何角度出发，由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|联想到割线定理，进而得B、A、P、Q四点共圆，最后巧妙利用曲线系思想解决问题，其计算量相比常规的联立直线方程与双曲线方程求解的方法大幅降低.

2. 相交弦定理

图8

解析：如图9，设圆C与x轴交点坐标分别为E、F，连接ME、MF、NE、NF、OM、ON，则由相交弦定理有MA·AN=EA·AF，而EA=AB，AF=OA，所以MA·AN=OA·AB，所以M、O、N、B四点共圆，所以∠MBA=∠ANO，∠NBA=∠AMO，又ON=OM，∠ANO=∠AMO，所以∠MBA=∠NBA.

图9

点评：利用MN、EF是圆O的一对相交弦，点A既是OF的中点，又是EB的中点，巧妙利用相交弦定理，将MA·AN=EA·AF转化为MA·AN=OA·AB，从而得到M、O、N、B四点共圆，再将∠MBA、∠NBA转化为∠ANO、∠AMO，则此题得解，从中可以看到观察能力和思维发散能力的创造性.

3. 等弧对等角、等角对等弧

例8 如图10，已知圆C:x2+y2=2，过点P(1,1)作两条直线分别与圆C相交于点A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，判断直线OP与AB是否平行，并请说明理由.

图10

图11

通过以上实例看出，几何法在圆锥曲线问题中的运用常能出奇制胜，化繁为简. 教师积极鼓励学生从几何角度观察思考圆锥曲线问题，有利于帮助学生摆脱一味使用解析法的僵化思维，增强学生运用几何原理解决问题的能力，使学生感受欣赏几何法之精彩，进而帮助其拓宽解题思路、增进问题理解、提升解题能力.