利用柯西不等式求最值的技巧

高慧

在解题时，只要能配凑出柯西不等式中两组数的乘积或两组数的平方和，且其中之一为定值，便可运用柯西不等式求得形如c+d、ac+bd式子的最值.

例1.已知x+y=1，求x+y的最小值.

分析：x+y是关于x、y的二次齐次式，也是x、y的平方和，而已知条件中x+y是关于x、y的一次齐次式，可以将其看成1·x+1·y这里x+y相当于二维柯西不等式中的c+d，x+y相当于公式中的ac+bd.而a=1，b=1，a+b=2，由柯西不等式可得x+y≥k（k是常数）成立，從而求得x+y的最小值.

解：由柯西不等式知（1+1）（x+y）≥（l·x+1·y），

在该式的左右两边除以（1+1），

例2.已知2x+3y=1，求x+y的最小值.

分析：x+y是两数x、y的平方和，2x+3y=2·x+3·y.而2、3的平方和等于13，可将其看作二维柯西不等式中的a、b，可得a+b=13，又（2x+3y）=l，则可直接利用二维柯西不等式求得x+y的最小值.

解：因为（2+3）（x+y）≥（2x+3y），

例3.已知x+y=1，求2x+3y的最小值.

若已知关于两个变量的一次式的值，求两个变量的二次齐次式的最小值，一般要把目标式看成两个数的平方和，即c+d，确定c、d的值，然后把一次式看成是这两数c、d与另外两个数的乘积之和，确定a、b，求出a+b，再套用二维柯西不等式，即可求出二次齐次式的最小值.若已知关于两变量的二次齐次式的值，求关于两变量的一次齐次式的最大（小）值，需把目标式看成两组数的乘积的和，即ac+bd，根据二次齐次式确定两个常数，求出其平方和，再套用二维柯西不等式，即可求出一次齐次式的最值.值得注意的是，二维柯西不等式中的二次齐次式只能有最小值，而作为对应数乘积之和的一次齐次式既有最大值又有最小值.