三角形中巧求值

胡芳举

題目 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD=BE=1，CE平分∠BCD，求CE的长度.

解法1 平面几何方法

先作相似旋转变换

△CBE∽△CAF，

连接FD交AC于G、交CE于N，如图1，

则∠FCN=90°，∠DAF=90°，

因为BE=AD=1，

所以CBCA=BEAF=ADAF，

于是有Rt△CBA∽Rt△ADF，

所以∠1=∠2，FN∥CB，∠3=∠4=∠5，

即CD=DN=DF，

易知A，E，C，F四点共圆，

所以∠6=∠7，

又∠DAF=90°，且FD⊥AG，

所以∠6=∠8，∠7=∠8，

Rt△CFE∽Rt△AFD，

即CECF=ADAF，CE2=CF2AF2=FG·FNFG·FD=2，

所以CE=2.