三项立方和的推导与应用

吴建芳

【摘要】 本文利用完全立方公式（a+b）3=a3+b3+3ab（a+b）以及立方和公式a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）来推导三项立方和以及两个相关的推论.介绍了三项立方和公式在因式分解、求代数式的值、数论方程的方面的解题思路，突出在应用公式过程中的建模思想，可以提高学生的思维灵活性.

【关键词】 代数恒等变形;三项立方和;因式分解

立方和与立方差公式是代数恒等变形的重要公式之一，在因式分解中有着举足轻重的地位.然而更为复杂的立方和差问题，需要我们将两项的立方和（差）进一步推广到三项的立方和（差），让我们的思维得到进一步的锤炼和提升，在解决更为复杂的问题时可以更高效、更灵活.

下面我们先利用完全立方公式（a+b）3=a3+b3+3ab（a+b）以及立方和公式a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）来推导三项立方和：

a3+b3+c3-3abc

=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc

（运用完全立方公式）

=（a+b）3+c3-3ab（a+b）-3abc

=（a+b）3+c3-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）[（a+b）2-（a+b）c+c2]-

3ab（a+b+c）

（运用立方和公式）

=（a+b+c）[（a+b）2-（a+b）c+c2-3ab]

=（a+b+c）（a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab）

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ac-ab-bc），

所以a3+b3+c3-3abc

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ac-ab-bc），

可以得到下面两个推论：

（1）当a+b+c=0时，

a3+b3+c3-3abc=0，

a3+b3+c3=3abc.

（2）配方可得a3+b3+c3-3abc

=12（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2].

例1 分解因式：

（2x-3y）3+（3x-2y）3-125（x-y）3.

解 -125（x-y）3=（-5x+5y）3，

令2x-3y=a，3x-2y=b，-5x+5y=c，則

a+b+c=0，

利用推论1得：

原式=3（2x-3y）（3x-2y）（-5x+5y）

=15（2x-3y）（3x-2y）（y-x）.

例2 已知m3+n3+3mn=1，求m+n.

解 已知m3+n3-13-3mn（-1）=0，

由推论2得到

12（m+n-1）[（m+1）2+（n+1）2+（n-m）2]

=0，

（m+n-1）=0，

或（m+1）2+（n-1）2+（n-m）2=0，

则m+n=1或m=-1，n=-1时，

m+n=-2，

所以m+n=1或-2.

例3 已经x+y+z=3t，求（x-t）（y-t）（z-t）（x-t）3+（y-t）3+（z-t）3.

解 由已知得，

（x-t）+（y-t）+（z-t）=0，

由推论（1）知

（x-t）3+（y-t）3+（z-t）3

=3（x-t）（y-t）（z-t），

所以原式=13.

例4 求方程x3+y3+z3-3xyz=2003的正整数解.

解 依据结论得

（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-xz）=2003，

（x+y+z）是2003的因数，

依据推论（2）得

12（x+y+z）[（x-y）2+（y-z）2+（z-x）2]

=2003，

（x+y+z）[（x-y）2+（y-z）2+（z-x）2]

=4006，

由题意知x+y+z≥3，

且2003是质数，

因此，必有x+y+z=2003，

当x+y+z=2003时，（x-y）2，（y-z）2，（z-x）2的值必有一个为0，另外两个为1，

解方程组得x1=668，y1=668，z1=667，

根据轮换对称性

x2=668，y2=667，z2=668，x3=667，y3=668，z3=668.

此外，三项的立方和可以进一步推广可以得到三元均值不等式：当a，b，c≥0，a3+b3+c3≥3abc，

a3+b3+c33≥abc，

当且仅当a=b=c时取等.

它在不等式的证等式应用更加广泛.