管桩屏障在柱面波源下近场隔振效应的解析求解

巴振宁，刘世朋，吴孟桃，梁建文

(1. 天津大学土木工程系，天津 300350；2. 中国地震局地震工程综合模拟与城乡抗震韧性重点实验室(天津大学)，天津 300350；3. 滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室，天津 300350)

环境振动作为“七大公害”之一对周边建筑以及居民生活均造成较大的负面影响[1]，而连续或非连续屏障是在工程中广泛应用的隔振措施，其中：连续屏障以空沟和填充沟等为代表[2-5]，隔振能力显著，却也面临施工不便、面对低频振源时在软土与高地下水位地区应用困难等问题；非连续屏障以排孔、排桩等为代表，具有施工方便和适用性强等优势，有着更为广泛的应用空间，同时也更需要合理设计以确保隔振效果。

许多国内外学者已针对排桩隔振问题进行了相关研究，并取得丰硕的成果：最初由Woods 等[6]研究了圆形排孔隔振的问题，率先总结了单排桩的设计准则；Kattis 等[7-8]首次采用频域边界元的数值方法针对单排桩进行了研究，总结了一种排桩与填充沟的等效替代方法；Avilés 和Sánchezsesma[9-10]首次利用波函数展开法进行解析求解，讨论了平面SH 波入射下的单排实心弹性和刚性桩体隔振问题；徐平等[11-12]运用波函数展开法和保角映射方法分别研究了弹性和饱和土体中排桩和排孔的隔振作用；Cai 等[13]首次结合Biot 理论拓展了饱和场地中的排桩隔振研究，讨论了在饱和土中单排实心桩的隔振作用；李志毅等[14]依据瑞利波散射的积分方程进行数值计算，并结合工程实例讨论了多排桩屏障的三维远场被动隔振；Ai和Cao[15]考虑场地土的分层条件，结合层单元的解析法和整体的有限元法讨论了单排桩在层状场地下的隔振作用；Lu 等[16]针对高速列车的振动问题，运用虚拟桩法讨论了多排桩对交通振动的隔振作用；刘中宪和王少杰[17]采用数值模拟的方式，采用了一种间接边界积分方程法讨论了平面P 波、SV 波下的多排桩隔振作用；Pu 和Shi[18]基于有限元法和周期理论，数值模拟了周期多排桩对瑞利波的隔振作用；Xia 等[19]针对排桩的任意排列，采用一种多重散射的解析方法重点讨论了桩体排列对隔振作用的影响。

可以看出涉及排桩隔振研究的方式多样，包括有：能够准确直观地反映隔振规律的试验研究、便于模拟多因素影响下复杂工况的数值模拟、反映问题本质的解析求解。其中解析求解不仅计算精确，更具有能够作为其他研究方法验证的基础作用。同时值得注意的是，以上研究中所针对的入射波均为平面波，目前考虑入射波曲率影响的研究尚未见报道，而一些常见的环境振动如打桩施工，大部分能量在桩尖和桩身以弹性波(包含体波和面波)的形式借由土体向外扩散[20]，对周围土体及周边建筑均有不利的影响，如土体位移[21]、建筑开裂等[22]。同时，由于体波比面波衰减更快，打桩振动在远场处的影响以面波为主，在近场处的影响以体波为主，而近场隔振时入射波的曲率影响是不可忽视的，因此，在研究排桩近场隔振时考虑入射波的曲率影响是有必要的。

基于以上研究现状，本文为考虑入射波场的曲率影响，采用以Novak 桩周土平面应变模型为基础的振动单桩作为振源[23]，建立了以柱面波为入射波场的排桩隔振模型，采用解析求解的方法研究了管桩对柱面波的隔振效果，弥补了以往理论分析中未考虑入射波曲率影响不足。作者首先采用波函数展开法表示了柱面波源，然后在推导了任意坐标系间变换的Graf 加法定理的前期工作基础上[24]，将柱面波自由场在各桩体局部坐标系下表示，使柱面波自由场和桩体散射波场叠加的总波场满足所有桩体的边界条件，构建和求解线性方程组可得到所有桩体的散射波场，从而问题得解。文中首次给出了柱面波源下的管桩屏障近场隔振效应的解析解，分析了管桩屏障后不同位置处的频谱规律，并讨论了柱面波源曲率、桩体个数以及桩排数的变化对隔振效果的影响。

1 模型和方法

以柱面波源为入射波场的排桩隔振模型如图1所示，并按排和按列标号为“(1, 1)”、“(1, 2)”、“(1, 3)”等，其中横坐标代表行数，纵坐标代表周期列数，一共p排。图1 模型图以梅花形排布为例，当桩体以其他形式任意排布时，只需在整体坐标系中表示每个桩体的坐标可同样采用本文方法求解。

图1 管桩屏障对柱面P 波、SV 波的散射分析模型Fig. 1 Analysis model of P and SV wave scattering by pipe pile barrier

可取图1 中标号为(1, 1)的管桩作为基准点，同时取标号为(c,j)的任意一个管桩为研究对象，分别建立(x,y)的整体直角坐标系和(xc,j,yc,j)的局部直角坐标系，分别对应的极坐标系可表示为(r, θ)和(rc,j, θc,j)。其中，整体坐标系作为整个求解过程的坐标基准，反映桩体排布的位置和柱面波源的位置；局部坐标系则针对所求对象桩体的波场描述，便于代入所求对象桩体的边界条件。

管桩截面的外径为a1，内径为a2，沿x轴分布的横向间距为s，沿y轴分布的纵向间距为h；土体和管桩的材料性质由拉梅常数和质量密度决定，其中土体由拉梅常数λ1和µ1及质量密度ρ1确定，桩体由拉梅常数λ2和µ2及质量密度ρ2确定；设入射波为圆频率ω的柱面P 波和SV 波，振源在整体坐标系中的位置坐标为(x0,y0)，在土体中的压缩和剪切波速分别为cα1和cβ1，在桩体中的压缩和剪切波速分别为cα2和cβ2。

如图1 所示，柱面P 波、SV 波入射时，采用波函数展开法表示了柱面波源，然后利用在前期推导了任意坐标系间变换的Graf 加法定理的基础上[22]，将入射波场在任意散射波场中表示，将入射波场和散射波场叠加后的总波场，使其满足每一个桩体的边界条件并构建和求解方程组，求解所有的散射待定系数从而得到整个波场的解。

1.1 柱面波自由场的表示

如何将柱面波自由场在各个散射波场中表示是求解该问题的关键，因此首先对柱面波展开形式进行推导和讨论，此处以柱面P 波为例进行详细推导，对于柱面SV 波的推导可通过改变自由场求解。

在柱面波源的局部坐标系(r0, θ0)中，入射柱面P 波可表示为：

式中：φ0为入射柱面P 波的振幅；α1为柱面P 波在土体域中的波数；虚数单位用i 表示。

将入射柱面波在每一个桩体对应的局部坐标系下表示，这里借助文献[24]中推导得的任意坐标系间变换的Graf 加法定理，即：

其中：

式中：e为两个坐标系之间的距离参数；δ 为两个坐标系之间的角度参数。通过e和δ 能够唯一地确定两个坐标系间的相对位置关系，如图2 所示。

图2 任意两个坐标系间的内域Graf 加法公式形式Fig. 2 Form of Graf addition formula in internal domain between any two coordinate systems

将入射柱面P 波的表达式式(1)代入式(2)中，即可得到自由场在任意坐标系下的表示(为简化过程时间因子exp(-iωt)已略去，下同)：

当入射波为柱面SV 波时，只有入射场不同，设ψ0为柱面SV 波的振幅，入射波场可表示为：

1.2 求解群桩散射波场

在土体中由于桩体的存在，将产生包括P 波和SV 波的散射波场，因此需要在各自桩体对应的局部坐标系下表示出散射波场，在图1 中标号为(c,j)桩体所对应的局部极坐标系(rc,j, θc,j)下，桩体散射波场的Fourier-Bessel 级数表达式为：

在1.1 节中采用任意坐标系间的Graf 加法定理实现了柱面波自由场到任意桩体局部坐标系下的转换，同样的，也可实现散射波场的转换，此处将所有桩体的散射波场依次转换到待求桩体的极坐标系下，这里以标号为(p,q)的桩体为例，将其他任意桩体(c,j)的散射波场转换到局部坐标系(rp,q, θp,q)下：

此后叠加入射波场式(5)和所有散射波场，能够得到在土体域中的总波场：

而桩体域内散射波场可表示为：

土桩交界面的应力和位移连续条件以及管桩内径界面处的零应力条件为：

将土体和桩体中总波场的势函数转化为应力σrr、σrθ和位移ur、uθ，即可代入边界条件式(15)中，求解对应的无穷线性方程组后，即可得到所有桩体的散射待定系数，代回式(7)和式(8)中即得所有桩体的散射波场，再叠加入射柱面波自由场进而可求柱面波源下任意位置处的应力或位移。

2 方法验证

首先针对频率进行归一化表示，设土体域中柱面P 波和SV 波的无量纲频率分别为：

式中：ηSV和ηP分别为SV 波和P 波的无量纲频率；λα1和λβ1分别为土体中柱面P 波和SV 波的波长，其余参数均已在模型介绍与理论推导过程中首次出现时定义。

为归一化表示桩体间距，实际列间距s和实际排间距h均除以桩截面半径a，即以比值b/a和h/a表示归一化的列间距与排间距。用观测点位置处的总位移与自由场位移幅值比|u/u0|来表示柱面SV 和P 波入射下管桩的隔振效果，其中：u为管桩屏障后柱面波源与相应散射波场的总位移；u0为未设立管桩屏障时仅由柱面波源引起的位移。

2.1 与柱面波下单个圆孔结果对比验证

以柱面P 波入射下单个圆孔为例，同文献[25]的结果对比，柱面波振源距离圆孔中心的距离分别取r0/a=2、10 和20 作对比验证，绘制圆孔周围动应力集中因子随角度变化曲线如图3 所示。图3中实线为文献[25]结果，其余为本文的退化单个空洞的结果，从图3 中可看出结果一致。

图3 与文献[25]结果对比Fig. 3 Comparison with result of reference [25]

2.2 与平面波下管桩屏障结果对比验证

文献[17]给出了多排实心群桩屏障在平面P波作用下的数值结果，将本文柱面波结果退化为平面波结果，即取柱面波振源同排桩距离足够远(验证中取为r0/a=10000)，此时可忽略入射波场的曲率的影响，再将结果与文献[17]中图5(a)进行比较，按照文献[17]中图5(a)参数进行取值并给出对比结果，由图4 可看出结果一致。

图4 与文献[17]结果对比Fig. 4 Comparison with result of reference [17]

为验证平面SV 波作用下结果的正确性，可与文献[26]的数值结果进行对比，将本文柱面波结果退化为平面波结果，同样取振源同排桩距离足够远(验证中取为r0/a=10000)，此时可忽略入射波场的曲率的影响，再将结果与文献[26]中图7(a)和图7(b)进行对比，由图5 可看出结果一致。

图5 与文献[26]结果对比Fig. 5 Comparison with result of reference [26]

至此通过与已有的柱面波下的单个空洞结果和平面波下的群桩隔振结果分别对比，结果均吻合良好，能够验证了本文所用模型计算结果的正确性。

3 隔振效果分析

本节讨论周期分布群桩屏障对柱面波的隔振效果，首先进行了入射柱面P 波和SV 波的频谱分析，然后探讨了入射波曲率、桩间距、排列方式(矩形排列和梅花形排列)对柱面波入射下的管桩隔振效果影响。

本文算例以PCC 管桩(即现浇薄壁混凝土空心管桩)为例，可取土和管桩的泊松比分别为µ1=0.33 和µ2=0.25，桩土剪切波速比为µ2/µ1=1000，桩土密度比为ρ2/ρ1=1.3。

3.1 频谱分析

取一排N=8 的管桩作为研究对象，振源距离排桩中心线距离分别为y0/a=10、20、50，桩间距s/a=3，绘制排桩后观测点x/a=0.0、4.5、10.5，y/a=300、400、500 处柱面P 和SV 波引起的无量纲位移|u/u0|分别随无量纲频率ηSV和ηP变化的频谱图如图6 和图7 所示。

从图6 的柱面P 波频谱结果可以看出，整体上在各个频率点下管桩屏障具有良好的隔振性能，同时相对于平面波源，对于柱面P 波源来说排桩中心和边缘处的隔振效果差别不大，频谱结果较为接近；随着振源远离排桩，管桩屏障的隔振效果有所提升，反映了振源靠近排桩时的影响更为显著。

图6 柱面P 波入射时管桩隔振频谱图Fig. 6 Spectra of pipe pile vibration isolation under cylindrical P-wave incidence

从图7 的柱面SV 波频谱结果可以看出，整体上在ηSV=1.0～2.0 的中频率下具有更明显的隔振性能，同时相对于平面波源，对于柱面SV 波源来说排桩中心和边缘处的隔振效果差别不大，频谱结果较为接近；随着振源远离排桩，管桩屏障的隔振效果有所提升，尤其是在频率为ηSV=1.0 时隔振效果有着显著的增强，同样反映了振源靠近排桩时对位移影响更大。

图7 柱面SV 波入射时管桩隔振频谱图Fig. 7 Spectra of pipe pile vibration isolation under cylindrical SV-wave incidence

综上所述，将重点分析振源坐标为y0=10 的频谱图，可以看出管桩对不同频率段的入射柱面波的隔振效果不同：对于柱面P 波，在各个频率段的隔振效果均较为明显；而对于柱面SV 波，在低频率段(ηSV=0.0～1.0)隔振效果不明显，在中频率段(ηSV=1.0～2.0)则具有显著的隔振效果的提升，而在高频率段(ηSV=2.0～3.0)同样具有显著的隔振效果，但随着频率的增加隔振效果有所降低。

因此，管桩屏障对于柱面P 波的隔振效果更为显著，对于柱面SV 波，相较低频在中高频率下的隔振效果更为显著。本文其他部分的计算将按照本节频谱分析，以ηP=ηSV=1.0 作为典型频率进行计算，分析排桩在柱面波源下的隔振规律，并统一采用排桩屏障后范围y/a=100～500 内的位移等值线图反映和观察管桩隔振效果。

3.2 波源曲率的影响

取一排N=8 的管桩作为研究对象，取典型频率ηP=ηSV=1.0，振源距离排桩中心线距离分别为y0/a=10、20、50，桩间距s/a=3，绘制在柱面P 波和SV 波入射下排桩后的位移等值线图如图8 和图9 所示。

图8 柱面P 波下不同入射波曲率的位移等值线图Fig. 8 Displacement contour map of different incident wave curvatures under cylindrical P-waves

从图8 可以看出，对于柱面P 波，在ηP=1.0时桩体后位移衰减明显，超过90%的区域能够达到50%以上的隔振效果；同时随着入射波曲率的减小(即波源与排桩距离的增加)，有效的隔振范围增大，最佳隔振区域后移。

从图9 可以看出，对于柱面SV 波，在ηSV=1.0时桩体后位移衰减规律与柱面P 波不同，先在近场处有较弱的位移衰减后，再在远场具有较强的位移衰减；同时随着入射波曲率的减小(即波源与排桩距离的增加)，有效的隔振范围增大，较弱的位移衰减区域减小，具有更加明显的隔振效果。

图9 柱面SV 波下不同入射波曲率的位移等值线图Fig. 9 Displacement contour map of different incident wave curvatures under cylindrical SV-waves

因此可以看出，入射波曲率对于排桩隔振有着明显的影响，在振源距离排桩更近时，柱面P波和柱面SV 波均对排桩后场地具有更加显著的影响，相比平面波的位移反应更大。因此，以下将重点研究入射波距离排桩更近时的管桩隔振能力，以下算例中均取y0/a=10。

3.3 桩个数的影响

分别取一排N=6 和N=10 的管桩作为研究对象，取典型频率ηP=ηSV=1.0，振源距离排桩中心线距离分别为y0/a=10，桩间距为s/a=3，绘制在柱面P 波和SV 波入射下排桩后的位移等值线图如图10 所示。

从图10 可以看出，对于柱面P 波而言，在N=6 时80%以上的区域隔振效果超过60%(即相对位移小于0.4)，而在N=10 时只有20%左右的区域隔振效果超过60%；同样的对于柱面SV 波而言，在N=6 时90%以上的区域隔振效果超过50%(即相对位移小于0.5)，而在N=10 时仅有10%左右的区域隔振效果超过50%。

图10 桩个数对排桩隔振效果影响的位移等值线图Fig. 10 Displacement contour map of influence of pile number on vibration isolation effect of row piles

对于柱面P 波和SV 波振源入射，保持间距不变的情况下增加桩体个数反而隔振效果变弱，这是由于柱面波源不同于平面波源，波阵面由平面变为一点发散的柱面，此时排桩不同位置处的入射波曲率不同，增加两侧的桩体个数反而使入射波的散射作用增强，更加不利于排桩隔振。因此，在进行考虑入射波曲率影响的近场隔振时，建议针对振源位置合理设计桩体排布，以单排管桩为例，针对柱面P 波和SV 波取排桩个数为6 和桩间距为3a时即可达到80%以上的区域超过50%的隔振效果，此外值得说明的是，在实际工程中随桩体类型和振源位置变化也应对桩体排布做出调整，可依照本算例进行计算。

3.4 桩排数的影响

取两排(N1=8 和N2=9)和三排(N1=8、N2=9 和N3=8)分布的管桩屏障作为研究对象，桩体的排布形式采用梅花形分布，即图1 模型图所示的管桩分布形式，取典型频率ηP=ηSV=1.0，振源距离排桩中心线距离为y0/a=10，桩间距为s/a=3，绘制在柱面P 和SV 波入射下多排梅花排布桩体后的位移等值线图如图11 所示。

从图11 可以看出，对于柱面P 波而言，在两排管桩时仅有20%左右的区域隔振效果超过40%(即相对位移小于0.6)，而在三排管桩时观测范围内90%以上区域的隔振效果超过了50%；同样的对于柱面SV 波而言，在两排管桩时有50%左右的区域隔振效果超过50%(即相对位移小于0.5)，而在三排管桩时观测范围内所有区域的隔振效果均超过了70%。

图11 桩排数对排桩隔振效果影响的位移等值线图Fig. 11 Displacement contour map of influence of pile row number on vibration isolation effect of pile row

因此，对于柱面波源而言，无论是P 波还是SV 波，随管桩排数的增多，有效隔振区域的范围更大，同时整体上排桩屏障后的位移反应更小，管桩屏障对于柱面波的隔振效果显著提高。

4 结论

本文采用波函数展开法，通过将柱面波自由场通过0 阶Hankel 展开表示，并结合任意坐标系间变换的Graf 加法公式，给出了管桩屏障在柱面P 波和SV 波入射下的解析解，讨论了柱面波源下管桩屏障的频谱特性，并分析了入射波曲率、桩体个数和桩排数的变化对隔振效果的影响，获得结论如下：

(1)整体上相比柱面SV 波，管桩屏障对柱面P 波的隔振效果更为显著，而对柱面SV 波在ηSV大于1.0 的中高频率下的隔振效果较为显著。

(2)入射波曲率对于排桩隔振效果有着明显的影响，在振源距离排桩更近时，柱面P 波和柱面SV 波均对排桩后场地具有更加显著的影响，相比平面波的位移反应更大。

(3)相比平面波，在柱面波源作用下排桩个数的增加不能有效提升隔振效果，针对振源位置合理设置间距和排桩分布可取得更好的隔振效果。

(4)管桩排数的增加能够有效提升对柱面波的隔振效果，从两排桩到三排桩可较大地提升隔振能力，因此，在阻隔柱面波时更应合理缩减排桩个数同时增加桩排数。