双极模糊分子图的复杂度函数

兰美辉，高 炜

(1.曲靖师范学院 信息工程学院，云南 曲靖 655011；2.云南师范大学 信息学院，云南 昆明 650500)

化学图论作为数学与化学的交叉学科，由于其广泛应用而受到国内外学者的重视.化学图论的本质是通过对分子结构建模，然后通过计算特定的拓扑指数来衡量对应化合物的特性.具体地说，原子用顶点表示，原子之间的化学键用顶点之间的边表示，进而整个分子结构用图来刻画，这样的图称为分子图(molecular graph).针对某种物理、化学、生物或者材料特性，定义拓扑指数，然后通过分子图拓扑指数的计算来预测分子图对应化合物的性质[1-10].

在实际应用中，我们发现该模型存在诸多缺陷，其原因主要是分子图是一个理想化模型，所有顶点被一视同仁，没有区别不同原子之间在某个化学属性上的差异，顶点之间的边也没有反映出4种基本化学键之间的差异.此外，若分子结构中存在某种不确定性，则传统的分子图无法表述这种不确定性.由于模糊数学是刻画不确定性的良好工具，可通过定义顶点和边的隶属度函数，进而将分子图转化为模糊分子图.再将原来分子图中定义的化学拓扑指数推广到模糊图框架，进而可以通过在模糊图上计算新拓扑指数来预判带有不确定性的分子结构的特性.近年来，关于模糊图的相关研究可参考文献[11-20].

本文在双极模糊图框架下考察与连通指数相关的复杂度函数，给出其具体的定义，并从理论的角度得到相关性质，同时讨论在模糊分子图是特定结构下，复杂度函数的具体表示.剩余内容的组织结构如下：首先，介绍双极模糊图及相关的概念、符号和标记；其次，给出双极模糊图框架下复杂度函数的具体定义，并得到若干理论性质；最后，在双极模糊分子图结构是特殊形状的条件下，给出复杂度函数的刻画.

1 预备知识

其中0≤t+≤1， -1≤t-≤0，E′是G′的边集合.

双极模糊图G称为完美正正则(Perfectly positive regular)若G同时为正则正模糊图和全正则正模糊图； 称为完美负正则(Perfectly negative regular)若G同时为正则负模糊图和全正则负模糊图； 称为完美双极正则(Perfectly bipolar regular)若G同时为正则双极模糊图和全正则双极模糊图.

通过概念可知以下事实：

•G为正则正模糊图⟺d+为常数函数；

•G为正则负模糊图⟺d-为常数函数；

•G为正则双极模糊图⟺d-和d+均为常数函数；

2 复杂度函数及特征

本节给出主要概念以及理论结果.

由定义1可得到下面的性质.

定理3若一个顶点或者一条边从双极模糊图G中删除， 则它的正复杂度函数会严格减少， 负复杂度函数会严格增加.

下面的定理6说明在顶点正隶属度函数下界和负隶属度函数上界确定的情况下， 正复杂度函数的下界和负复杂度函数的上界可以被刻画.

定理7是关于双极模糊图的(t+,t-)-割双极模糊子图G(t+,t-)的复杂度函数的刻画.

下面对双极模糊分子图是特定图结构时， 复杂度函数的刻画.

3 小结

本文针对双极模糊分子图框架，定义了对应的复杂度函数概念，并给出它的基本性质，同时讨论了当图结构是一些基本图形时，复杂度函数的表现形式.而对于复杂度函数在特定的药物、材料结构中的应用，有待进一步研究.