电流舵数模转换器的静态误差分析与建模*

戴星明，刘颖异，唐旭升,

（1.东南大学微电子学院，南京 210096；2.东南大学网络空间安全学院，南京 210096）

1 引言

在电路设计中，数据转换器作为模拟信号和数字信号的接口电路得到了广泛的应用。数据转换器主要分为两大类：模数转换器（ADC） 和数模转换器（DAC）。ADC 将光照、压强、湿度等模拟信号转换成数字信号进行存储、处理或者传输，DAC 可以将这些处理过的数字信号转换成模拟信号反馈到现实世界中。随着互补金属氧化物半导体（CMOS）工艺的特征尺寸不断缩小，数字系统的处理速度越来越快，对DAC 提出了更高的性能要求。电流舵DAC 具有高速、高精度的特点，广泛应用在5G 通信和军工等领域。电流舵DAC 属于使用大量相同模块（开关电流单元）设计的电路类型，因此最重要的性能指标取决于这些模块的匹配行为[1-2]，如何快速通过某种机制来评估电流源的失配是否符合设计要求成为了问题的关键。采用相同工艺，由于电流源管的失配，不同批次制造出来的芯片积分非线性（INL，eINL）和微分非线性（DNL，eDNL）不同。为了描述特定工艺下电流源管的失配对DAC 静态指标的影响程度，业界引入了INL 良率的概念，INL良率定义为在多个相同的DAC 芯片样本中INL 小于0.5 LSB 的概率[3]。在此基础上，文献[4]推导出了一个公式，描述管子失配对电流舵DAC INL 良率的影响，通过计算可以获得管子失配与INL 良率的映射关系。试验表明这种方法要求的单位电流源管尺寸过大，导致DAC 梯度效应增强，寄生电容增大，动态性能下降，成本提高。蒙特卡罗仿真是评估失配最精确的方法，但是仿真时间与DAC 的分辨率呈指数关系，极大地影响了设计效率。

本文提出一种基于MATLAB 的验证模型，能够高效、精确地评估出电流舵DAC 各个电流源管之间的匹配特性，构建出电流舵DAC 的静态误差模型，并用数据证明了该模型的精确性和高效性。

2 电流舵DAC 静态误差分析

电流舵DAC 中需要参数一样的晶体管，由于工艺偏差，实际生产出来的晶体管工艺参数不会完全一样。晶体管的失配主要体现在尺寸、掺杂浓度、氧化层厚度等方面，这些参数会影响电流源的输出电流。电流舵DAC 由多个相同的开关电流单元组成，电流源管的失配会让开关电流单元产生的实际电流与理想值之间存在偏差，这种偏差会对电流舵DAC 的静态性能造成直接的影响，所以通常将此类误差称为静态误差。不考虑MOS 管的沟道长度调制效应和衬偏效应，工作在饱和区的电流源管所产生的电流大小为[5]：

其中参数μ0、Cox、VT与工艺有关，μ0为MOS 管的载流子迁移率，Cox为MOS 管的栅氧化层电容，VGS为MOS管栅端和源端的电压差，VT为MOS 管的阈值电压，W和L 为MOS 管的栅宽、栅长，β 为电流因子。对式（1）求微分得到电流的绝对误差为：

式（2）除以式（1）得到单位电流的相对误差为：

本文只考虑工艺参数失配引起的随机性误差，不考虑系统误差[6]，则式（3）可简化为：

电流的相对误差呈正态分布[8]，式（4）的方差表示为：

电流因子相对误差的方差和阈值电压误差的方差可以表示成：

其中Aβ和AVT是与工艺相关的比例系数，体现了特定工艺下晶体管电流因子和阈值电压的失配程度。由于σI=σ(ΔI)，单位电流相对误差的方差表示为[6]：

式（8）两边同时开方得到单位电流的相对标准差为：

式（9）表明，管子的失配与MOS 管的栅长、栅宽以及过驱动电压（VGS－VT）反相关。

电流源管的失配会影响电流舵DAC 的输出电流，通过以上分析和推导，电流源管失配可以通过单位电流的相对标准差来描述，根据PELGROM 提出的关于MOS 管的失配模型，将单位电流的相对标准差与管子的尺寸、过驱动电压联系了起来。

3 构建电流舵DAC 静态误差模型

第2 节主要分析推导了电流源管工艺参数失配对电流造成的影响，并且介绍了电流随机失配误差分布的特点。为快速评估DAC 电流的相对标准误差是否符合设计要求，本节提出了一种静态误差模型，借助MATLAB 模拟电流源管随机失配对电流产生的影响，并生成具体的INL 结果，多次循环得出INL 良率。

3.1 电流源的随机失配误差

对于一个N 位的电流舵DAC，主要由（2N－1）个单位电流源组成，每个单位电流源的随机误差都是不相关的，随机误差一般服从均值为0、标准差为σ 的正态分布[8]，单位电流的随机误差表示成：

不同权重的电流源，其随机失配误差对应的标准差不同。假设一个采用全二进制译码方式的电流舵DAC，输入码Di直接控制一个由2i个单位电流源并联而成的电流源，输出电流的标准差为：

3.2 DAC 静态性能

电流源管的随机失配主要表现在输入码对应的输出幅值差异，幅值误差直接影响DAC 的静态参数指标DNL 和INL。差分输出有许多优势，可以抑制共模噪声、增加步长幅度、缩短输出建立时间，所以电流舵DAC 一般采用差分输出的结构。在数字码k 下，差分结构电流舵DAC 的DNL 和INL 为：

其中I（k）表示数字码k 对应的电流输出幅值，ILSB为单位电流的平均值。

3.3 MATLAB 建模

带有随机失配误差的电流源如图1 所示，1 个单位电流源输出电流I0及由2i个单位电流源并联构成的电流源输出电流Ii分别为：

图1 带有随机失配误差的电流源

其中Iref是理想单位电流值，ΔI0为1 个单位电流源输出电流的误差项，在MATLAB 中，误差项用函数normrnd(0,σ)模拟，ΔIi为电流权重为2i的误差项，利用MATLAB 中的函数normrnd(0,σi)来模拟。

在误差电流模型基础上，构造出带有随机失配误差的电流舵DAC。假设一个分辨率为N 的全二进制译码电流舵DAC，当数字码为k 时，DAC 的输出为：

其中0≤k≤2N-1，Di为十进制码转换成二进制码的第i 位表示二进制码Di的取反。

将式（16）代入式（12）（13），得到N 位全二进制译码电流舵DAC 静态性能的模型：

对于高分辨率全二进制译码电流舵DAC，假设输出摆幅确定，则ILSB为一确定的常数，ILSB近似等于Iref。因此式（17）（18）可以简化成：

从式（19）（20）可以看出，电流舵DAC 的静态性能与单位电流大小无关，只与单位电流的偏差有关：eDNL(k)由相邻2 个输入信号控制的电流误差的差值决定；而eINL(k)由当前输入信号控制的电流误差累积之和决定，容易产生较大非线性。

在前面的基础上，利用MATLAB 软件构建一个完整的电流舵DAC 静态误差模型。模型中主要设有5个变量，分别是最低位二进制译码的位数bit_LSB，次高位温度计译码的位数bit_ISB，最高位温度计译码的位数bit_MSB，σI 和Iref。DAC 会根据应用采用不同的分段结构，通常采用3 段或者2 段式。将DAC 模型的位数设置成3 个变量，若DAC 采用2 段式的架构，则将bit_ISB 设为0。根据DAC 的分段策略，利用normrnd 函数模拟如式（14）（15）那样带有失配误差的电流。输入信号为0~（2N－1）连续的整数，DAC 模型将数字码转换成带有失配误差的模拟量，利用式（19）（20）生成相应的DNL 和INL。对于每个σI，重复上述操作100 次，统计INL 小于0.5 LSB 的次数占100 的比重，由此得到单位电流相对标准差与INL 良率的关系。

整个静态误差模型首先根据电流舵DAC 的分段结构确定每位数字码控制的电流权重，根据电流权重及σI，利用MATLAB 函数生成电流的误差项，然后通过式（20）得到不同数字码对应的INL 结果，循环100次，评估出单位电流相对标准差对INL 良率的影响。

4 静态误差模型辅助设计

本 节 基 于 TSMC 0.18 μm MIXD SIGNAL SALICIDE 1.8 V/5 V AL_FSG 1P6M 工艺，借助第3 节构建的静态误差模型，辅助完成电流舵DAC 电流源管的设计。要求电流舵DAC 的分辨率为14 bit，采样频率为100 MHz，静态性能DNL 和INL 均小于0.5 LSB，差分输出范围为－1~1 V[9]。

4.1 确定单位电流的相对标准差

对一个DAC 而言，想要保证其单调性，INL 必须小于0.5 LSB。考虑到DAC 的系统误差、有限输出阻抗、开关失配等其他非理想因素[10]，静态误差模型运行出来的INL 良率至少达到99%，为设计留有余量。

综合考虑面积、开关数量、性能等方面，14 位电流舵DAC 采用6+4+4 的分段结构，高6 位和中间4 位均采用温度计译码结构，低4 位采用二进制译码结构，即bit_LSB 为4，bit_ISB 为4，bit_MSB 为6。通过迭代σI，当σI/I=0.2%时，INL 小于0.5 LSB 的概率（INL 良率）达到99%，静态性能如图2 所示，图中将静态误差模型运行100 次的DNL 和INL 结果叠加在一起，每次循环，电流的随机误差不同且满足高斯分布，模拟了不同批次芯片的工艺偏差。

图2 分段比为6+4+4 的电流舵DAC 静态性能

4.2 确定单位电流源管的尺寸

不考虑系统误差，根据式（9）可以得到单位电流源管W 和L 的乘积为：

根据静态误差模型确定了σI/I=0.2%，在TSMC 0.18 μm 工艺中，5 V 的P 型MOS 管的Aβ和AVT分别为0.7101%μm 和8.0972 mV·μm。过驱动电压根据实际电流源电路能够达到的值来设定。这里假设过驱动为0.52 mV，根据式（21）求得电流源管的栅极面积，最后通过式（1）确定电流源管的宽长比，至此完成了14位电流舵DAC 电流源管的设计。

4.3 3 种方案的对比

使用静态误差模型、公式计算、蒙特卡罗方法，分别评估14 位电流舵DAC 电流源失配对INL 良率的影响，结果如图3 所示。从图中可以直观看出，INL 良率在85%~100%区间内，本文提出的静态误差模型与蒙特卡罗仿真结果比较吻合，而公式计算则相差较大。

图3 3 种方案仿真得到的14 位DAC 的INL 良率

使用3 种方案仿真出INL 良率所需要的时间如表1 所示。使用公式计算只需要几秒钟，但是精确度不高；蒙特卡罗仿真精度是最贴近工艺的，但是随着DAC 分辨率的提高，仿真时间成倍增加；本文提出的静态误差模型结果精度较高、仿真时间适中，可大大提高设计效率。

表1 3 种方案仿真出INL 良率所消耗的时间

5 结论

由于高分辨率电流舵DAC 强烈依赖于电流源管的匹配特性，评估出电流源管的失配程度对设计非常重要。本文提出了一种基于MATLAB 设计的电流舵DAC 静态误差模型，该模型精度高，可以更快获取INI良率结果，确定单位电流的相对标准差，从而确定电流源管尺寸。本文提出的静态误差模型只在TSMC 0.18 μm 工艺中进行了验证，应用到其他工艺可能存在一定的偏差。