钢管混凝土桁架系杆拱桥稳定性分析

金成棣葛耀君，2徐胜乙，*

（1.同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092；2.同济大学桥梁结构抗风技术交通运输行业重点实验室，上海 200092）

0 引言

钢管混凝土桁架拱肋是哑铃形钢管混凝土拱肋断面形状的一种变体。钢管间距离拉大以提高拱肋的抗弯刚度，其间不再由连续钢板联系组合，而是以钢管组成三角形桁架形式作为联接件，组成拱肋的组合截面。在此，由于三角桁架腹杆的变形，表征着钢管间的组合效果。在计算拱肋面内稳定性时，首先要确定组合效应系数，研究组合件节段长度变化，对联接件斜杆斜度的布置优化，使组合效应系数达到最佳状态，接着在此基础上按纵向挠曲变形的组合模态计算拱肋面内临界力。对于面外稳定性的计算，当采用二管组合截面的条件下，竖平面内的联接件对它不起作用，如采用四管两两组合，上、下两管平面内联接件就存在变形影响。由于两管组合的单榀拱肋抗面外失稳的能力较低，一般需设纵向联接系。因此，在此需要对纵向联接系作组合效应分析。

对于面外稳定性分析，考虑吊杆力偏移时的非保向力效应，提高拱肋的稳定性是非常重要的方面，这种基于二阶变形理论为基础的稳定性分析是裸拱系杆拱桥设计的理论基础。在此将做出验算公式推导，并以具体算例说明相关运算。

1 钢管混凝土桁架拱肋的系杆拱桥面内稳定性分析

1.1 用三角形桁架组合的双钢管混凝土拱

根据组合柱理论，拱肋的组合惯性矩Iz等于：

式中：Iaz为单根拱肋的换算惯性矩；Aa为拱肋的换算面积；h为钢管混凝土的上、下两管的中心距离。

在此：

式中：Es，Ec为钢材及混凝土弹性模量；Ac，As为混凝土及钢管面积；d，t分别为钢管外径及壁厚。

两端铰接的中心受压组合柱，用三角形桁架组合的临界压力推广应用于二铰拱［1］，即按曲杆拉直计算临界轴压力Hkp等于：

式中：Ea为拱肋计算弹性模量，根据式（2），Ea=Ec；Es，AD分别为斜杆材料弹性模量及面积；lD为斜杆的长度；a，cosφ(x)为斜杆水平投影长度及拱轴线在点x处的切角余弦；μla中μ为屈曲系数，二铰拱μ=0.54［2］，la为拱轴线长度，它近似等于：

式（4）根据斜杆变形所产生的剪切变形，它反映三角形桁架对上、下钢管的组合效果，在此把αi定义为节段i的组合效应系数，它等于：

根据式（6），在设计上采取优化布置，一般h及吊杆间距由总体布置所决定，同时从构造上考虑，吊杆锚箱设置在斜杆与钢管轴线的交点位置为宜，斜杆与钢管轴线的交角以45°为最佳。因此，简单说来，在此尺寸a接近于h是优化布置目标。

假设拱肋设计轴力为Nd，拱的水平推力Hd沿跨径不变，近似地，由拱轴力Nd对拱轴线纵向挠曲ω(x)的弯矩M(x)=Hdω(x)cosφ(x)。纵向挠曲的曲率变化与弯矩的关系用材料力学公式表示如下，在此近似取ds=dxcosφ(x)，则

式中：ω(x)与拱肋失稳时变形模态有关，二铰拱计算长 度（屈曲）l0=μla=0.54la及Nd=Hdcosφm，

注意两点，纵向挠度曲线的零点位置在x=0.54l附近，最低临界荷载发生在处。为了运算方便，将挠度曲线设定为对称与反对称组合。

假设

式中，αs及αf分别为跨中及四分点的最大挠度系数。

近似地取x=0.54l为挠度曲线零点位置，并取

将纵向挠曲的挠度曲线表达成：

为了确定αs及αf，将式（7）分别以及求解，在此，采用差分法求解微分方程式，得到差分表达式如下：

由式（9）、式（9'）和Nd=Hdcosφ(x)的方程组得到

代入式（8'），得到表达式（10）

将式（10）系数表达成：

则得到：

根据变形相容条件，当Hd达到Hkp时，

式（12）为用三角形桁架组合的钢管混凝土拱肋面内临界水平力。

1.2 拱梁共同作用的面内稳定性分析

考虑了钢管混凝土桁架拱肋条件，由拱肋单位变形ω0=1吊杆所产生的附加分布力，用Hd表示，等于［3］：

式中：y(x)为吊杆长度，近似地等于拱轴线纵坐标；a为吊杆间距。

由式（13）及式（13'）计算跨径为l的弯矩，由沿长度直线分布，它对拱及梁引起的弯矩MFˉ，f(x)及MFˉ，s(x)是相同的。

由弯矩MFˉ，f(x)及MFˉ，s(x)引起拱的挠度由差分法计算得到：

式中：m为分段数

式（14）应 分 别 按MFˉ，f(x)及MFˉ，s(x)计 算 得到然后得到λ以及ωa，Fˉ，c，它等于

同时，弯矩MFˉ，f及MFˉ，s引起梁的挠度由差分法计算得到：

式中：m为分段数

式（16）应 分 别 按MFˉ，f(x)及MFˉ，s(x)得 到然 后 得 到λ以 及ωb，Fˉ，c，它等于

最后，得到钢管混凝土桁架拱肋考虑拱肋共同作用的临界水平力，它等于：

当梁拱刚度EbIbEaIaz≤5时，可以按简化公式考虑拱梁拱刚度叠加计算共同作用的临界水平力［4］，它等于：

1.3 钢管混凝土桁架拱面内稳定性验算

图1中表示了跨径lp=120 m的钢管混凝土桁架系杆拱虚拟的总体布置及相关各部分尺寸。矢跨比f/l=1/5，拱轴线为抛物线，相关几何参数见表1。

图1 跨径lp=120 m的钢管混凝土桁架系杆拱桥总体布置（单位：cm）Fig.1 Overall arrangement of concrete-filled steel tubular truss tied arch bridge with a span of 120 m（Unit：mm）

表1 跨径lp=120 m矢跨比=的下承式系杆拱桥相关几何参数 Table 1 Geometrical parameters of a through tied arch bridge with a span of 120 m and a span ratio of 1/5

表1 跨径lp=120 m矢跨比=的下承式系杆拱桥相关几何参数 Table 1 Geometrical parameters of a through tied arch bridge with a span of 120 m and a span ratio of 1/5

编号1 2 3 4 5 6项目sin πx l sin 2πx l cos φ(x)cos2φ(x)cos3φ(x)y/cm 1 0.05l 0.156 0.309 0.812 0.659 0.535 456 2 0.1l 0.309 0.588 0.842 0.710 0.597 864 3 0.15l 0.453 0.707 0.873 0.761 0.665 1 176 4 0.2l 0.588 0.891 0.901 0.813 0.732 1 536 5 0.25l 0.707 1.000 0.928 0.862 0.800 1 800 6 0.3l 0.809 0.891 0.952 0.907 0.869 2 012 7 0.35l 0.891 0.707 0.972 0.946 0.919 2 184 8 0.4l 0.951 0.588 0.987 0.975 0.963 2 304 9 0.45l 0.987 0.309 0.995 0.990 0.985 2 376 10 0.5l 1.000 0 1.000 1.000 1.000 2 400

钢管混凝土拱肋尺寸：

单 管：φ800×20，Es=2.1×104kN/cm2，As=490 cm2，Is=3.73×105cm4。

双管组合：

中距：h=220 cm，b×h=80 cm×300 cm，Ias=2.373×105+490×22022=1.26×107cm4。

混凝土：

换算截面：

（两管上、下组合截面）。

钢管有关尺寸见表2。

表2 钢管间联接件尺寸和节间内斜腹杆节点间距Table 2 Size of the connection between the steel pipes and spacing between nodes of diagonal web members cm

系梁尺寸：桥面宽30 m，梁高2 m，桥面板厚度h=25 m，系梁宽2×200 cm，中距同拱肋2 200 cm。

吊杆尺寸：As=42 cm2，Ey=2.05×104kN/cm2。

钢管间联接件：斜杆及横撑，采用φ300×12，AD=Ap=108.6 cm2，Ip=1.13×104cm4。

纵向联接系k式桁架：E=2.1×104kN/cm2；竖杆（横撑）第一档φ1 200×20，Ap1=741 cm2，Ip1=1.29×106cm4；其余各档φ800×16，Ac=394 cm2，斜杆φ600×16，Ac=294 cm2。

纵向联接系总体尺寸：h=2 200 cm，1 200 cm cosφ(x)。cosφ(x)为拱轴线在点xi的切角余弦。

设计拱水平推力Hd=2.5×104kN榀，吊杆力V=2 000 kN根，间距a=600 cm。各部分尺寸详见图1及图2。

图2 纵向联接系详图（单位：cm）Fig.2 Longitudinal connection system（Unit：mm）

钢 管φ800×20 mm充 填C50混 凝 土，两φ300×12 mm钢管按三角形组合，斜杆尺寸见表2，如图2虚线所示。钢管混凝土换算面积Aa=1.5×104cm2（双管），Iaz=1.9×108cm4（双管未乘组合效应系数）。

组合效应系数αi按下列公式计算：

二铰拱lD=0.54la，f l=1 5，la=1.1067l［2］。

见表2。代入上式得到表3的αi计算值。

表3 组合效应系数αi计算值Table 3 Calculated value of combined effect coefficient αi

组合效应系数αi=0.87，接近于等截面，近似地按等截面组合桁架拱确定面内临界水平力，它等于：

本例通过优化分析，得到αi接近于常量，但在一般情况下，αi是变量，为了说明拱肋面内稳定性计算的差分法求解，结合算例说明运算过程，算例Δx=6m，m=20，利用对称及反对称只算半跨。差分方程组代入消元的系数表示如下：

在此a10，10为消元最终点：

在此反对称以a5，5为消元最终点：

按式（9）及式（9'）计算在拱轴力作用下纵向挠曲的挠度计算。

钢管拱肋由拱轴力引起纵向挠度，有关几何尺寸数据见表1；钢管拱肋由拱轴力引起纵向挠曲挠度计算，对称见表4，反对称见表5。

表4 钢管拱肋由拱轴力引起纵向挠曲挠度计算（m=20，对称）Table 4 Deflection calculation of longitudinal deflection of steel tube arch rib caused by axial force of the arch（m=20，Symmetric）

表5 钢管拱肋由拱轴力引起纵向挠曲挠度计算（m=20，反对称）Table 5 Deflection calculation of longitudinal deflection of steel tube arch rib caused by axial force of the arch（m=20，Antisymmetric）

计算结果按公路桥规二铰拱验算临界力与差分法计算临界力两者基本吻合。考虑共同作用，用简化法计算。

考虑拱梁共同作用用差分法验证。

根据式（13）及式（13'）计算由拱肋单位位移ω0=1，使得吊杆力产生附加分布力用Hd表示，并分解成对称与反对称，见表6。由吊杆附加力及引起的弯矩MFˉ，f(x)及MFˉ，s(x)见表7及表8。由于它们沿跨径长度沿直线分布，对于拱及两的弯矩是相同的。

表6 由ω0=1引起吊杆附加力及计算Table 6 Calculation of additional forceandcaused by ω0=1

表6 由ω0=1引起吊杆附加力及计算Table 6 Calculation of additional forceandcaused by ω0=1

项目Fˉqf(x)=5.69sin 2πx l y()x ·Hd×10-5 Fˉqs(x)=5.69sin πxl y()x ·Hd×10-5 1 3.86 1.95 2 3.87 2.03 3 3.88 2.18 4 3.52 2.19 5 3.11 2.24 6 2.69 2.29 7 2.11 2.32 8 1.45 2.35 9 1.09 2.36 10 0 2.37

表7 由引起弯矩计算（反对称）MFˉ，f(x)Table 7 Calculation of bending moment（Antisymmetric）MFˉ，f(x)caused by

表7 由引起弯矩计算（反对称）MFˉ，f(x)Table 7 Calculation of bending moment（Antisymmetric）MFˉ，f(x)caused by

编号1 2 3 4 5 6项目Fˉq，f(x)×3.6Hd(3)×μi，i+1(1)+(2)(3)÷a′i，i(6)×μi+1，i(4)+(5)1 13.9 0 13.9 6.9 40.5 47.4 2 13.9 6.9 20.8 13.9 81.0 94.9 3 14.0 13.9 27.9 20.9 100.6 121.5 4 12.7 20.9 33.6 26.9 107.1 134.0 5 11.2 42.5 53.7 134.8 0 134.8 6 9.7 9.8 19.5 15.6 107.1 122.7 7 7.6 5.4 13.0 9.8 92.1 101.9 8 5.2 2.0 7.2 4.8 68.0 72.8 9 3.9 0 3.9 2.0 36.4 38.4 10 0 0 0 0 0 0

表8 由引起弯矩计算（对称）MFˉ，s(x)Table 8 Calculation of bending moment（Symmetric）MFˉ，f(x)caused by

表8 由引起弯矩计算（对称）MFˉ，s(x)Table 8 Calculation of bending moment（Symmetric）MFˉ，f(x)caused by

编号1 2 3 4 5 6项目Fˉq，s(x)×3.6Hd(3)×μi，i+1(1)+(2)(3)÷ai，i′(6)×μi+1，i(4)+(5)1 7.02 0 7.02 3.51 72.64 76.15 2 7.31 3.51 10.82 7.21 138.06 145.28 3 7.85 7.22 15.07 11.30 195.70 207.0 4 7.88 11.30 19.18 15.98 244.95 260.93 5 8.06 15.34 23.40 20.05 286.14 306.19 6 8.24 19.50 27.74 23.77 319.61 343.38 7 8.35 23.78 32.13 28.11 344.83 372.94 8 8.46 28.11 36.57 32.51 361.58 394.09 9 8.50 32.48 40.98 36.88 370.31 407.19 10 8.53 73.76 82.29 411.45 0 411.45

由算例已知吊杆Es=2.05×104kN/cm2，As=42 cm2，Hd=2.52×104kN，a=600 cm，

将及按直线分布的附加力计算弯矩列于表7中。

分别有f及s。

分别计算拱轴单位位移时引起吊杆分布力对拱反弹的对称模态位移值和反对称模态位移值，然后确定ωa，Fˉ，c及ωb，Fˉ，c，最终确定

由表7弯矩计算拱的挠度见表9。

表9 由弯矩MFˉ，f(x)计算拱的挠度（m2=400，反对称）Table 9 Calculating the deflection of the arch )from the bending moment MFˉ，f(x)（m2=400，Antisymmetric）

表9 由弯矩MFˉ，f(x)计算拱的挠度（m2=400，反对称）Table 9 Calculating the deflection of the arch )from the bending moment MFˉ，f(x)（m2=400，Antisymmetric）

编号1 2 3项目MFˉf()x l2Hd m2EaαiIz cos2φ()x(3)×μi，i+1(1)+(3)1 0.21 0 0.21 2 0.39 0.11 0.49 3 0.48 0.33 0.81 4 0.47 0.61 1.08 5 0.45 1.47 1.92 6 0.39 0.37 0.76 7 0.31 0.18 0.49 8 0.22 0.06 0.27 9 0.11 0 0.11 10 0 0 0

由表6弯矩计算拱的挠度见表10。

表10 由弯矩MFˉ，s(x)计算拱的挠度m2=400，对称）Table 10 Calculating the deflection of the archfrom the bending moment MFˉ，s(x)（m2=400，Symmetric）

表10 由弯矩MFˉ，s(x)计算拱的挠度m2=400，对称）Table 10 Calculating the deflection of the archfrom the bending moment MFˉ，s(x)（m2=400，Symmetric）

编号1 2 3 4 5 6项目MFˉs()x l2Hd m2EaαiIz cos2φ()x(3)×μi，i+1(1)+(2)(3)÷ai，i′(6)×μi+1，i(4)+(5)1 0.34 0 0.34——2 0.6 0.17 0.76——3 0.79 0.51 1.3——4 0.92 0.98 1.9——5 1.02 1.52 2.54 2.01 34.78 36.79 6 1.09 2.11 3.2 2.61 39.12 41.74 7 1.13 2.74 3.88 3.23 42.42 45.65 8 1.16 3.39 4.55 3.86 44.61 48.48 9 1.18 4.05 5.23 4.49 45.70 50.19 10 1.18 9.42 10.6— —53.0

由表8弯矩计算梁的挠度见表11、表12。

表11 由表7的弯矩MFˉ，f计算梁的挠度（m=20，反对称）Table 11 Calculating the deflection of the beam from the moment MFˉ，f in 7（m=20，Antisymmetric）

表12 由表8的弯矩MFˉ，s计算梁的挠度（m=20，对称）Table 12 Calculating the deflection of the beam from the moment MFˉ，s in table 8（m=20，Symmetric）

根据式（17）计算变形系数［4］，它等于（其中αac表5后按式（10）计算）

2 钢管混凝土桁架拱肋面外稳定性分析

2.1 裸拱肋的稳定性分析

钢管混凝土桁架拱肋的面外稳定性分析，对算例上、下两管组合，只对面外内稳定性有影响，对面外没有影响。只有采用三管或四管组合时，则拱肋上下两个层面的钢管采取的组合构件处理，需要如面内稳定性考量那样，计算组合效应系数。方法可参考面内进行，但在此，横向挠曲的模态常规为半波正弦曲线。为了钢管间组合腹杆的多样化，根据大多数在钢管的上下层面采取框架式，在此忽略横撑的直接剪切影响，组合效应系数αi等于：

式中：a为横撑间距；cosφ(x)为拱轴线切角余弦；E，Ip，Ap为横撑材料的弹性模量，横撑屈曲平面内惯性矩及面积；la为拱轴线拉直长度。

一般情况，由于柱Iay较大，第一项可以忽略，则式（20）得到简化。

确定了αi值后，可按变截面拱由差分法计算横向挠曲的挠度线，它等于：

面外失稳时，变形模态一般取半波正弦曲线，因此得到：

可得到：

2.2 拱肋设置k式桁架纵向联接系的稳定性分析

双钢管混凝土桁架拱肋的面外薄弱的稳定性，需要在两榀拱肋间设置纵向联接系，经比较框架式联接系构造简单，线条简洁，一般设计人员乐于采用，但它的组合效果较差，特别在两榀拱肋间距较大的情况下，在此，建议k式桁架，它的组合效果远胜于框架式联接系，根据广义位移的推导，得到组合效应系数，表示如下：

式中：Iy为组合惯性矩，见式（1），在此h两榀拱肋中心距；Ea为钢管材料弹性模量；la为拱肋弧长，见式（3）说明；a为k式桁架沿拱跨度方向节段斜杆的投影长度；AD为斜杆面积；Ac为横撑面积；E为联接件材料弹性模量；cosφ(x)为节段对应于拱轴的切角余弦。

根据αi的变化，钢管混凝土桁架组合拱在Hd轴力作用下的纵向挠曲的曲率变化与弯矩Hd·v(x)的关系式表示如下：

式中，Hd为组合拱的设计轴力，应该是两倍的单榀拱肋的设计轴力。

2.3 双钢管混凝土拱肋面外稳定性验算

换算截面

必须设置纵向联接系，为了取得较好的组合效果，设置k式桁架。组合惯性矩等于：

根据式（25）计算k式桁架联接组合效应系数αi，将结果列于表13中。

表13 k式桁架联接系效应系数Table 13 k-type truss connection system effect coefficient

各节段效应系数相同，仅第一节段为满足建筑净空要求，它采取特殊形式，属于框架联接系，横撑加大尺寸，采取φ1 200×20 mm，Ip1=1.29×106cm4，并设隅支撑200 mm×200 cm，由于拱肋脚段采取加大尺寸的钢筋混凝土段b×h=250×310 cm，见图2，Iay=1.56×107cm4。拱肋局部弯曲的变形影响可以忽略，而横撑变形反弯点恰在斜杆支点，因此按式（16）的hi等于

根据拱肋面外失稳的变形模态，临界轴力发生在跨中，第一节段刚度虽有所削弱，但对总体稳定性影响不大，近似地取：

计算

四钢管桁架拱肋的面外稳定性

横断面布置如图3所示，钢管上下层的平面采用框 架 式，联 接 件φ300×12，Ac=108.6 cm2，Ip=1.13×104cm4，a=400 cm（在三角形斜杆焦点位置，上、下钢管错位），h=1 600 cm，Ac=4 536.0 cm，As=

（两根钢管组合）

拱脚段截面见图3，Iy=4.04×108cm4。

图3 拱脚段截面（单位：cm）Fig.3 Cross section of the arch springing（Unit：cm）

根据式（21）计算组合效应系数：框架式略去第一项影响

框架式联接组合效应系数

计算点1的α1值：

经计算拱肋局部弯曲的变形很小，近似地取α1=α2。

根据式（22）计算四钢管混凝土组合拱肋的面外临界变形，见表14。

表14 四根钢管桁架拱肋挠度计算（m2=400）Table 14 Calculation of deflection of four steel pipe truss arch ribs（m2=400）

3 考虑吊杆力偏移对拱肋面外失稳时扶正力影响

系杆拱侧向稳定性分析，吊杆力偏移时水平分力为拱肋失稳时扶正力［4］，它等于：

对于跨中：

式中，a为吊杆间距。

根据计算统计，由扶正力引起弯矩近似地等于

由扶正力引起弯矩Mt(x)与挠度曲线曲率变化的关系式：

将式（25）用差分公式表示如下：

其中Ea=3.45×103kN/cm2，Iy=2.08×108cm4。

αi见式（20），计算结果等于0.641～0.688，sin及cos2φ(x)见表1，吊杆附加力引起挠度，计算见表15。

表15 吊杆附加力的扶正作用，拱的挠度计算Table 15 Arch deflection calculation considering the uprighting effect of the additional force of the suspender

根据表14的计算结果：

考虑吊杆扶正力后：

其中，Hkp(1)为未考虑吊杆力偏移扶正力影响的临界轴压力；Hkp(2)为考虑吊杆扶正力后的结果，其比值为7，说明了考虑吊杆扶正力后能够大幅度提高计算得到的拱肋临界轴压力。

4 结语

本文利用连续在上海公路杂志上所发表的关于系杆拱桥稳定性的文章相关内容，系统地研究了钢管混凝土桁架系杆拱桥的稳定性，就面内稳定性而言，当两钢管间设置三角形桁架联接件，并对斜杆的角度控制在30°～60°，接近45°时，可以取得很好的组合效应，α沿跨径基本上接近常数，等于0.87，考虑拱梁共同作用，临界荷载系数达到18.3，按《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥梁设计规范》（JTG D62—2004）相关规定，均能得到满意的结果，对面外稳定性，像哑铃形钢管拱肋一样，必须设置纵向联接系以保证面外稳定性，当纵向联接系采取k式桁架式，并对斜杆布置的倾斜度优化，可以得到最佳效果。

论文研究了四钢管组合桁架拱肋的独榀拱肋布置。在此，面内稳定性就像常规系杆拱一样，稳定性条件特别好，对于面外稳定性，钢管桁架拱比哑铃形稍差些，通过计算，必须考虑吊杆力偏移时扶正力的影响。抗压承载力从理论上符合设计要求，但在实践上最好通过实验手段取得确证。对于中小跨径，实验证明，这样横断面布置，只要认真对待，详细复核计算，完全是可靠的。裸拱系杆拱桥由于施工及制造上的不正确，初始变形条件下，对稳定性影响很大，而大跨径系杆拱桥的施工难度比中小跨径困难得多。

在论文中，为了结合公路桥规钢筋混凝土正截面抗压承载力验算及钢结构容许应力法验算，都需要确定l0/r，从而得到φ值。对不同的计算模型，采取了两种模式：对于设置纵向联接系的条件，l0=la，而对于非保向力影响，μ=