阶跃激励下网架结构的动力响应扩展及其误差分析

伍晓顺，程润辉

(江西理工大学 土木与测绘工程学院(南昌)，南昌 330013)

以网架、网壳和张力结构等为代表的大跨空间结构服役数量非常庞大[1-3]。此类结构的覆盖面积一般较大，即便是局部破坏也容易造成严重后果[4]。因此，对处于服役期的大跨空间结构进行健康监测非常重要。

动力测试是结构健康监测常用的一种方法。通过采集测点位置的动力响应，动力测试为模态识别、模型修正、损伤识别等后续工作提供可用测试信息(即信噪比较大的测试信息)[5-6]。由于传感器布设成本的限制，相比动辄成百上千的结点数量，大跨空间结构动力测试所能布设的测点数量非常有限。对于规模庞大的大跨空间结构，前述监测工作往往需要远超测点数量的可用测试信息。囿于有限的测点数量，一般只能通过多次动力测试来满足可用测试信息的数量需求。为了减少动力测试次数、提高动力测试效率，有必要根据少数测点的动力响应来估计其他非测点的动力响应(即动力响应扩展)，以便增加单次动力测试的可用测试信息。动力响应扩展又被称为动力响应重构。当前研究一般采用传递函数[7-8]、经验模态分解[9]、卡尔曼滤波[10]等方法来实现动力响应的扩展。研究对象大多为规模较小的梁、板、多层框架等简单构件或结构，有关扩展误差机理的探讨也较为缺乏。

考虑到大跨空间结构规模庞大、激励困难，文献[11-12]提出采用阶跃激励(突卸重物)的方式来使大跨空间结构产生自由振动，并分别利用遗传算法[11]和最小二乘法[12]来进行阶跃激励的优化。文献[13]还结合有效独立法与矩阵摄动法的概念，从独特的理论视角对阶跃激励优化展开研究。相比环境激励[14]和锤击激励[15]，阶跃激励具有输入能量大和可被人为控制的优点，比较适合大跨空间结构的动力测试。因此，阶跃激励作用下大跨空间结构的动力响应扩展值得深入研究。

以考虑阶跃激励作用的网架结构为例，提出一种基于贡献模态的动力响应扩展方法并进行误差分析。首先，推导由阶跃激励引起的结构自由振动响应基于少数贡献模态的线性组合表达式。其次，构造一种优选测点位置的迭代策略，以无偏估计各个时刻贡献模态的线性组合系数(即广义坐标)。再次，解释动力响应扩展的误差机理，并提出一个相关系数指标来筛选高精度非测点。最后，以某560杆的网架结构为例进行数值分析，以验证本文方法的有效性。

1 结构的自由振动响应

假设某网架结构的杆件数为b，自由度数为n。该结构的无阻尼模态方程为

(1)

采用突卸重物产生阶跃激励的方式使结构产生自由振动[11]。对结构施加荷载p，待静力位移稳定后同步释放荷载，则产生的位移响应为

(2)

根据文献[16]，无论是理想结构还是实际结构(实际结构存在随机参数偏差)，在荷载p作用下，初始静力位移均可以近似表达为少数贡献模态的线性组合

(3)

式中,Ep为贡献模态集合，其选取方法详文献。值得指出的是，贡献模态来源于理想结构的模态分析，不随实际结构随机参数的变化而变化。因此，在相同荷载作用下，实际结构和理想结构之间的静力位移变化主要体现在αj(j∈Ep)的变化上。

类似地，式(2)可以近似表达为

(4)

2 动力响应的扩展

为了保证动力响应扩展的精度，需要对测点位置进行优化来实现各个时刻广义坐标的无偏估计。可以参照文献[17]提出的面向静力位移扩展的迭代策略进行测点位置优化。

以位移响应为例来优化测点位置。对于任意时刻t，式(4)均可采用矩阵和向量相乘的形式进行表达，即

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

根据上式计算所有自由度对FIM的贡献度，对它们排序后将贡献度最小的自由度删除，再重新计算所保留自由度的FIM和它们的贡献度，不断进行迭代直到仅包含预期测点数量为止。最终保留的自由度即为最优测点。根据式(9)～式(11)，测点位置的优化仅与贡献模态有关，因此各个时刻的最优测点均相同。

3 误差分析与相关系数指标

一般采用信噪比指标来衡量信号被噪声污染的程度。第i自由度(包括测点与非测点)响应的信噪比按下式计算[19]

(12)

根据式(5)，第i自由度(为非测点)在任意时刻t的扩展响应为

(13)

(14)

式中：||表示取绝对值；W为由权重系数组成的对角矩阵，W=diag([w1,w2,…,wj,…,wm])；m为贡献模态数量。wj的取值均在0～1之间；Aj较小时，wj也相应取较小的值。设置权重系数的目的是为了增加信噪比高的广义坐标实测时程在计算相关系数指标时的权重。

可以设定阈值Cu，当Ci≥Cu时，则认为第i自由度的扩展精度足够大。因此，将Ci作为筛选指标，可以筛选出扩展精度较高的非测点，以增加单次动力测试的可用测试信息。

4 网架结构算例

4.1 模型参数

以某正交正放四角锥网架为例进行数值分析，如图1所示。结构尺寸为30 m×24 m×1.5 m(长×宽×高)。结构为下弦支承，共有12个三向铰接支座。节点和构件的数量分别为158和560，且构件只承受轴向力。构件均采用Q235B钢管，弹性模量为206 GPa，泊松比为0.3，密度为7 850 kg/m3。在上弦层考虑三种标准荷载工况：(1) 0.25 kN/m2静荷载(不含自重)；(2) 0.5 kN/m2活荷载；(3) -0.5 kN/m2风荷载。按照荷载规范[20]的规定进行工况组合和结构设计。经满应力优化设计后，结构共包含5种截面规格：P48×3.5、P60×3.5、P75.5×3.75、P88.5×4.0和P114×4.0。结构最终配置96个直径100 mm和62个直径140 mm的螺栓球。

图1 网架(节点旁数字为节点编号)Fig.1 Plan view of a spatial truss (figures near the nodes are node numbers)

在组集质量矩阵时，同时考虑静荷载、结构自重和螺栓球质量的贡献。经模态分析后得到结构前30阶自振频率f，并列于表1。不难发现在低阶模态中存在较多的密集模态，如第7～9阶模态和第10～12阶模态。

表1 结构前30阶自振频率Tab.1 First 30 structural frequencies

4.2 结构激振与动力响应拾取

不妨在结点19、23、27、49、53、57、79、83、87、109、113和117同时施加10 kN的铅锤荷载，待静力位移稳定后突然将其同时释放(可采用电磁铁控制)，从而使结构发生自由振动。根据文献[16]，取阈值γu= 0.008，并考虑低通滤波的影响，得到仅含低阶模态的贡献模态集合Ep={1,2,5,8,10,15,18}。不妨取测点数量为9(大于贡献模态数量7)，根据式(9)～式(11)给出的迭代策略，得到最优测点位置为{31z,39z,69z,76z,79z,83z,98z,121z,129z}，其中iz表示i结点z向。

假设各阶模态阻尼比均为0.02，并采用Newmark-β法生成所有自由度的动力响应时程。所布置的加速度传感器采样频率为2 000 Hz，采样持续时间为1.0 s。假设测点响应仅受高斯白噪声污染，且信噪比均为10 dB。将随机生成的噪声添加至测点真实响应，得到1组含噪的测点响应样本。基于该组样本进行第4.2～4.5小节的分析。

在进行动力响应扩展之前，采用FIR滤波器对测点响应进行低通滤波，并作时延处理[21]。滤波器的阶数取60，截止频率取55 Hz(最高阶贡献模态的自振频率为52 Hz)。以测点69z为例绘制加速度响应时程a，如图2所示。

由图2可知，滤波前后的加速度时程有所区别。除了能够剔除高阶模态的影响(图2(a)较明显)，低通滤波还具有一定的降噪功能(图2(b)较明显)。实际上，经低通滤波后，9个测点的加速度响应信噪比也从10 dB提高至12.97～20.50 dB之间。值得指出的是，后文中所述实测响应(仅测点有)和真实响应(所有自由度均有)分别指经低通滤波后的含噪响应和不含噪响应。

(a) 滤波前、后(真实信号)

4.3 动力响应的扩展结果

根据式(5)～式(8)，由9个测点的实测响应得到所有非测点的扩展响应。以非测点19z、97z为例绘制真实响应(不含噪)和扩展响应(含噪)，如图3所示。由图3(a)，19z处的扩展响应与真实响应偏离较大，信噪比仅为4.24，扩展精度较低；由图3(b)，97z处的扩展响应与真实响应吻合良好，信噪比高达21.21，扩展精度较高。

(a) 非测点19z(SNR=4.24)

(a) 第1个贡献模态(模态j=1,SNR=25.25)

(a) 幅值分布

(a) 非测点19z

实际上，非测点的扩展响应信噪比差别较大，介于-12.52～23.02 dB之间。表2列出了扩展响应信噪比超过一定下限时的非测点数量。不难发现，大约有29%(=127/438)的非测点扩展响应具有较高的扩展精度，其信噪比均超过测点响应信噪比的最小值。若能将这些非测点筛选出来，无疑将大大增加单次动力测试的可用测试信息。

表2 扩展响应信噪比超过一定下限时的非测点数量Tab.2 Quantity of non-tested locations whose expanded responses have a larger signal-to-noise ratio than a specified lower bound

4.4 动力响应的扩展误差

根据式(13)，任意自由度的响应也可被视作广义坐标实测时程的线性组合，组合系数为相应贡献模态的振型位移值。因此，非测点动力响应的扩展精度由广义坐标实测时程的信噪比和贡献模态在该处的振型位移分布共同决定。当信噪比大的广义坐标实测时程占优时，该自由度的扩展响应信噪比就较大，扩展精度较高；反之，当信噪比小的广义坐标实测时程占优时，该自由度的扩展响应信噪比就较小，扩展精度较低。以图3采用的非测点19z和97z为例，贡献模态在这两个自由度的振型位移分布(取绝对值)如图6所示。对于19z，第2、4、6个贡献模态(分别对应模态2、8、15)的振型位移值相对较大，由于相应的广义坐标实测时程信噪比较小，因此该处扩展响应的信噪比也较小。对于97z，第2、4、6个贡献模态的振型位移值却相对较小，因此该处扩展响应的信噪比较大。

对于每次动力测试，广义坐标实测时程的信噪比是固定的，但贡献模态在每个非测点的振型位移分布却不尽相同。这使得非测点一般具有不同的信噪比，从而表现出如表2所示差别较大的扩展精度。

4.5 高精度非测点的筛选

在现场测试中，无论是测点的实测响应还是非测点的扩展响应，信噪比均无法计算。这意味着无法直接采用信噪比指标来筛选那些扩展精度较高的非测点(简称高精度非测点)。因此，改用相关系数指标(式(14))来开展高精度非测点的筛选工作。

设定三个不同的权重矩阵：(1)W1=diag([1,1,1,1,1,1,1])；(2)W2=diag([1,0.5,1,0.5,1,0.5,1])；(3)W3=diag([1,0.1,1,0.1,1,0.1,1])。W2和W3将幅值较小的第2、4、6个贡献模态(分别为模态2、8、15)对应的权重系数设定为较小值。根据设定的权重矩阵，由式(14)分别计算每个非测点的相关系数指标Ci。

当采用不同的阈值Cu时，将筛选出不同数量的非测点，筛选结果列于表3。表中数据格式为“筛选出的非测点数量；相应扩展响应的信噪比变化范围”。对任一权重矩阵，当阈值增加时，筛选出的非测点数量将减少、信噪比下限将保持不变或提高。不妨将扩展响应信噪比高于测点响应最小信噪比的非测点定义为高精度非测点。不难发现，通过设定较高的阈值，可以筛选出较多的高精度非测点。比如，对于W1，当Cu=0.75时，可以挑选出48个高精度非测点；对于W2和W3，阈值分别取0.70和0.65时，可以分别挑选出54和58个高精度非测点。这说明较大的相关系数指标值能够可靠地指示非测点扩展响应的信噪比。尽管只能筛选出一部分高精度非测点(全部为127个)，但它们的数量远远超过测点数量(9个)。

表3 基于相关系数指标的非测点筛选结果(1组样本)Tab.3 Selection results of non-tested locations by correlation coefficient index (one set of samples)

值得指出的是，通过降低幅值较小(即信噪比较小)的那些广义坐标实测时程的权重(如选择W2和W3)，有利于筛选出更多的高精度非测点，但能筛选出高精度非测点的阈值将会减小。

4.6 随机噪声对非测点筛选的影响

采用蒙特卡洛法来考察随机噪声对基于相关系数指标的非测点筛选方法的影响。假设实测响应的污染程度均为10 dB，并生成5 000组实测响应样本。参照第4.2～4.5小节的流程，对每组样本：先进行动力响应扩展；再计算相关系数指标，并设定不同阈值来筛选非测点；最后得到筛选出的非测点数量s、相应扩展响应的最小信噪比SNRmin和最大信噪比SNRmax，并比较SNRmin与实测响应最小信噪比的大小。基于所有样本，统计s、SNRmin和SNRmax的变化范围，并计算SNRmin超过实测响应最小信噪比的概率Ps。统计结果列于表4。

表4 基于相关系数指标的非测点筛选统计结果(5 000组样本)Tab.4 Statistical selection results of non-tested locations by correlation coefficient index (5 000 sets of samples)

由表4可知，对于某一权重矩阵和特定阈值，s、SNRmin和SNRmax均有一定的变化范围，这说明随机噪声对扩展响应的信噪比和非测点的筛选结果有较大影响。通过设定较高的阈值(比如对W1、W2和W3分别取0.80、0.75和0.70)，可以使SNRmin具有较大的下限，且100%超过实测响应的最小信噪比，从而使筛选出的扩展响应成为高精度可用测试信息。此时，筛选出的高精度非测点数量约为测点数量(9个)的3.5倍～5倍，这将大大增加单次动力测试的可用测试信息，使结构动力测试的效率得到大幅提升。从统计意义上分析，降低幅值较小(即信噪比较小)的那些广义坐标实测时程的权重(如W2和W3)，有利于筛选出更多的高精度非测点。

上述蒙特卡洛分析表明，合理设定权重矩阵和指标阈值(本算例建议分别取W3与0.70)，可以可靠地筛选出较多数量的高精度非测点，从而大幅增加单次动力测试的可用测试信息。对于传统方法，单次动力测试只能利用少数测点提供的实测响应，但本文方法还可以额外利用较多非测点提供的扩展响应。在可用测试信息需求量(=单次动力测试得到的可用测试信息数量×动力测试次数)很大时，本文方法所需要的动力测试次数远小于传统方法。可见，本文方法对于提高较大规模网架结构的动力测试效率具有一定的指导意义。

5 结 论

为了增加单次动力测试的可用测试信息，提出一种考虑阶跃激励作用的网架结构动力响应扩展方法。主要结论如下：

(1) 在阶跃激励作用下，结构的自由振动响应在任意时刻均可近似表达为少数贡献模态的线性组合。动力响应的扩展问题也就转化为各个时刻贡献模态组合系数(即广义坐标)的测量问题。由于贡献模态一般较少，因此仅需少量测点便可实现全自由度的动力响应扩展。但是，非测点动力响应的扩展精度差别较大，需要经过筛选才能用于模态识别、模型修正和损伤识别等监测工作。

(2) 任意自由度在任意时刻的动力响应也可被视作广义坐标的线性组合，组合系数为相应贡献模态的振型位移值。非测点动力响应的扩展精度也就由广义坐标实测时程的信噪比和贡献模态在非测点的振型位移分布共同决定。在某次动力测试中，广义坐标实测时程的信噪比是固定的，但贡献模态在各个非测点的振型位移分布却不尽相同，这使得非测点动力响应的扩展精度具有较大差别。

(3) 分析表明，广义坐标实测时程的信噪比往往随幅值增大而增大。当广义坐标实测时程的幅值分布与贡献模态的振型位移分布较为一致时，将得到扩展精度较高的非测点扩展响应。因此，提出一种带权重的相关系数指标来衡量这种一致性，并代替信噪比指标来筛选高精度非测点。算例表明，通过降低较小幅值广义坐标实测时程的权重并设定较大的阈值，可以筛选出较多数量的高精度非测点。

应当指出，贡献模态权重矩阵和相关系数指标阈值的合理设置是本文方法在实际工程应用中的瓶颈。尽管如此，本文方法为高效满足网架结构(以及其他类型空间结构)对可用测试信息的庞大需求提供了一种新的解决思路，也为后续研究提供有益参考。