基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型

赵 川，李璐瑶，杨浩雄，左敏

（北京工商大学电商与物流学院，北京 100048）

0 引言

库存系统是企业生产运营管理的重要组成部分，也是供应链管理领域研究的重要议题［1-4］。近年来自然灾害、重大公共卫生等大规模突发事件的频繁发生，使企业意识到传统的库存管理已不足以应对现代突变的市场环境给企业库存系统带来的巨大威胁。2020 年6 月，北京新发地批发市场爆发新一轮的新冠病毒聚集性疫情，由于三文鱼分割案板呈新冠阳性反应，导致市场对于三文鱼的需求锐减，数以吨计的货物成为烫手山芋；2021 年5 月，受日本福岛核污水排放入海决定的影响，韩国大批民众抢购、囤积海盐，导致海盐市场需求激增，多数企业出现库存不足的现象。在外部需求不确定的环境下，特别是在面对突发事件导致的临时性撤销订单、追加订单等情况时，如何实现对库存系统的有效控制，使其保持动态稳定，是众多企业和学者共同面临的难题。库存系统的稳定，在企业运营和供应链管理中都具有至关重要的作用。本文旨在对随机扰动下具有不确定需求的企业库存系统进行优化，指导企业合理制定订货策略，降低库存波动，弱化市场随机扰动对企业库存的影响，从动态系统的角度提高库存系统的稳定性，为企业的实际生产运营提供科学的理论借鉴和应对方法。

库存系统控制是通过将企业进销存中主要动态变量转换成控制信号、将基本微分方程转换为状态控制，合理设计自主反馈控制算法，从而使需求预测量、订货量、库存量等参数达到理想状态的库存管理方法［5-8］。现有与本文密切相关的研究主要集中于三方面，即：经典控制理论对库存的优化、现代控制理论对库存的优化和自抗扰控制（Active Disturbance Rejection Control，ADRC）算法的应用研究。

Simon［9］首次将控制系统思想应用于库存控制，将库存优化问题看作一个控制系统，并用拉普拉斯变换将微分方程转换成控制系统的传递函数。自此，很多学者尝试从不同角度，使用不同的控制方法研究库存控制问题，取得了一定成果。Towill 等［10］将生产-库存分解成3 个子系统：生产延迟时间、库存调整时间和需求调整时间。文献［10］在模型中建立了库存水平与消耗率的关系，证明了反馈控制和前馈控制在库存管理中的重要性。Jing 等［11］针对闭环供应链中的库存优化和牛鞭效应等问题，通过对单级库存系统的传递函数进行Z 变换后，利用遗传算法经过参数整定对闭环库存比例-积分-微分（Proportion-Integral-Derivative，PID）控制后发现，PID 控制器能有效降低库存和系统的牛鞭效应。此类文献是本文研究领域的奠基石，也引导了将控制理论与库存管理相结合的学科交叉；但此类文献以反馈控制为主，只考虑了系统输出对输入的影响，没有深入分析库存系统内部的状态变量。

随着控制理论的发展，出现了能够提供系统内部状态变量的现代控制方法和理论。一些学者将现代控制理论推广到库存管理领域，对库存系统整体进行动态控制。John 等［12］在现代控制理论的基础上提出了一种基于自动渠道、库存和定购的生产控制系统模型（Automatic Pipeline，Inventory and Order Based Production Control System，APIOBPCS），企业订货量可以根据需求预测量、实际库存量和理想库存量等参数来控制。Zhou 等［13］将其扩展到包含生产商、供应商和零售商的三级闭环库存控制系统，并研究了供应链系统的整体动态性、库存系统的波动性以及牛鞭效应等问题。Zaher 等［14］给出了一个针对库存问题的随机微分方程，并将其转换为最优控制问题，在对问题的描述中，将生产率作为控制变量，库存量作为状态变量，构建了库存系统的状态方程。Subramanian 等［15］运用分部 式的模型 预测控制（Model Predictive Control，MPC）研究了一个由制造商和零售商组成的二级闭环供应链库存系统。徐君群［16］则从鲁棒H∞控制角度研究了具有需求不确定性的动态闭环供应链网络的总成本问题。Zhao 等［17］通过建立库存系统的状态空间方程，利用极点配置状态反馈的方式构建了库存控制系统，并通过实证研究证明了该系统的可行性与有效性。以上文献主要从经典的输出反馈控制、PID 控制以及现代控制理论的角度，分别研究了确定型需求和随机型需求的库存系统优化问题。此类文献以现代控制理论和状态空间算法为指导，清晰地讨论了系统内部状态变量对库存的影响；但没有深入分析系统外部随机扰动对库存的影响，也没有对企业库存系统如何应对扰动的具体算法进行研究。

自抗扰控制（ADRC）采用直接观测未知扰动、补偿随机扰动的方式来抑制其对系统产生的影响。一方面，该算法继承了经典PID 中“利用误差反馈消除误差”的优点，使控制系统不依赖于具体模型，仅仅利用误差进行反馈控制；另一方面，该算法又借助现代控制理论，通过建立扩张状态观测器（Extended State Observer，ESO）将系统外部扰动及系统内部动态不确定性合并为总扰动，在其对系统造成严重影响之前被估计出来，并通过控制规律和补偿机制将其抵消，以此弥补经典PID 的缺陷［18-19］。自抗扰控制以其较好的抗扰动性能和高精度的控制效果，在众多工程领域都有应用：Gao［20］在自抗扰控制技术推出后，对其进行线性化和参数化整定，简化了参数调节，便于分析研究，为自抗扰控制技术的工程化和实用化打下基础；Zhao 等［21］研究了加入具有时变增益的动态函数的非线性自抗扰控制系统，并验证了其收敛性；Li等［22］设计了一种卫星自抗扰控制算法，用于分析天线系统的动态稳定性，并通过仿真验证了该模型在实现高指向精度和转速等方面具有很好的效果；段慧达等［23］针对类似板球系统的一类高阶、强耦合、不确定非线性系统，提出以多个低阶自抗扰控制器级联实现控制的方法；Sira-Ramírez 等［24］则将自抗扰控制运用到永磁同步电机的控制上，介绍了一种基于扰动不确定和永久磁铁同步电动机的角速度轨迹跟踪任务的自抗扰控制方案，验证了该方案的鲁棒性和有效性。从目前研究现状来看，自抗扰控制技术非常适用于系统的抗扰研究，尤其是在无法对突发随机扰动进行数学描述的情况下，可以强有力地补偿扰动对系统造成的影响，维持系统的动态稳定；但自抗扰控制主要应用于工程控制领域，在企业库存管理及库存控制方面还未见涉及。

本文在上述研究的基础上，针对企业库存运营管理的内在逻辑和随机市场需求特点，将临时性追加和撤销订单视为随机扰动。结合自抗扰算法的控制机理和适用条件，削弱短时随机扰动对库存系统的影响，进一步对企业库存系统的控制优化问题展开研究。

本文的主要工作如下：

1）建立了库存系统的二阶状态空间模型，在随机需求基础上增加了代表临时追加和撤销订单的随机扰动。

2）设计了一种基于具有跟踪微分器安排需求信号过渡、扩张状态观测器对随机扰动扩张观测和非线性状态反馈律进行控制补偿作用的自抗扰控制随机扰动库存系统优化模型。

3）通过对基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型进行参数整定和优化，进一步提高了系统的控制效果和控制精度。

1 随机扰动下库存系统状态空间建模

在一个常见的生产或分销企业中，与进销存过程密切相关的基本变量有：企业向上游发送订单的订货量、企业内部形成的库存量和企业收到下游的订单，即实际需求量。以上3 个变量相互影响，最终决定企业的库存水平和库存成本。本文采用“定至点”订货策略，具体而言，在一个订货周期内，企业首先向供应链上级供应商进行订货，到货后形成本周期库存，并根据市场需求销售货物；其次，到本周期期末，企业一方面对现有库存量即销售后的剩余库存量进行盘点，另一方面，根据本周期的实际销售情况，对下一周期市场需求进行预测；最后，企业根据本周期现有库存量与下一周期预测需求量的偏差，制定具体的订货策略。为方便本文建立企业库存系统的动态数学模型，本文参数设置如表1 所示。

表1 参数设置Tab.1 Setting of parameters

本文假设：I(t)和Df(t)为系统的状态变量；D(t)为系统的输入；O(t)为系统的输出，即：订货量通过现有库存量和预测需求量对订货量产生影响。其次假设研究期间内企业订货周期不变，配送期间不存在货损和延迟送货等情况。

根据企业库存管理基本逻辑，t+1 时的期初库存量等于t时的期初库存量加上t时段内企业向上游的订货量，减去t时段内实际需求量，即：

根据泰勒展开式，对于库存函数有：

其中：n！表示阶乘，Rn(t)表示泰勒展开式和实际值之间的余数，由此可以得到库存函数的一阶导数的近似值：

假设R1(t)足够小，求解得到t时的边际库存量为：

t时段内的订货量为t时段的需求预测量减去t时段的现有库存量：

代入式（4）得：

根据指数平滑法预测模型，得到t时期内平滑指数为α的需求预测模型：

同样由泰勒展开得到边际需求预测量：

变换式（4）得：

根据状态空间描述式：

结合企业库存系统的数学模型（6）～（9），得到无随机扰动时的企业库存系统状态空间基本描述式：

为建立含有随机扰动的库存系统状态空间，需将库存状态空间转化成复频域传递函数后再加入动态随机扰动。首先，由将企业库存系统的状态空间转换为传递函数后得：

其中：E为单位矩阵，S为复频域算子，进一步可得该状态方程的等效传递函数为：

最终得到考虑随机扰动的库存状态空间标准式：

将此标准式转化为适用于抗扰控制算法的多级串联标准型［25-26］：

为得到f1、f2及b，需令y=x1，将输出y(t)的输入输出关系转化为状态变量的控制关系。由式（17）可知=x2，得到f1=0。

对输出y(t)求导，可得：

由式（17）可知存在如下关系：

将式（21）代入式（20）可得：

综上所述，式（17）库存状态空间标准式可转化为一类标准的二阶状态空间系统：

2 基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型设计

自抗扰控制算法能对系统外部干扰起到较好的抑制和弱化作用，尤其适用于不确定性因素影响下的动态系统。本文针对企业在订单激增，临时撤单等情况下，库存系统受外部随机干扰较严重时无法快速、稳定地恢复原有状态的问题，设计了一种基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型。该基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型主要由跟踪微分器（Tracking Differentiator，TD）、扩张状态观测器和非线性状态误差反馈控制律（Nonlinear State Error Feedback Control Law，NLSEF）三部分相互作用形成［27］，其内部结构如图2 所示。

图1 企业库存系统状态空间框图Fig.1 Block diagram of enterprise inventory system

图2 基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型框图Fig.2 Block diagram of optimization model of inventory system under stochastic disturbance based on ADRC

自抗扰控制通过对企业库存系统受到的随机扰动进行估计，主动补偿扰动对库存系统的影响，从而实现随机扰动下企业库存系统的控制和优化。具体来说，跟踪微分器能够提取系统输入市场需求中的扰动信号，对信号进行跟踪和输入，进而控制随机扰动下库存系统的最大响应幅度和响应时间；扩张状态观测器通过对随机扰动信号进行状态估计，形成合理的控制信号，削弱随机扰动对库存系统的影响；非线性状态误差反馈控制律根据库存系统受到扰动时和正常情况下的库存状态差值，确定相应的控制量，配合扩张状态观测器对库存系统进行及时调整。

首先设计跟踪微分器。为使库存系统的外部市场需求信号更易跟踪，降低外部随机扰动的干扰，弱化反馈误差，本文对目标需求信号，即实际市场需求，采用一种过渡过程进行处理。定义如下跟踪微分方程组，其二阶形式为：

其中控制量u采用如下形式：

采用v(k)为输入的目标需求信号，v1(k)为目标需求信号v(k)的跟踪信号，v2(k)为v1(k)的微分信号，r为速度因子，h为非线性函数fhan(·)的采样时间，其跟踪微分表达式参照文献［27］设计为组合式（28）的形式：

通过跟踪微分算法可将较为柔和的跟踪信号v1(k)代替被扰动的目标需求信号v(k)，并得到较为光滑的微分信号v2(k)，进而更好地实现后面的控制优化模型。

其次，设计扩张状态观测器。对于库存系统外部的市场随机扰动，本文通过构造扩张状态观测方程组对其进行观测，并进行补偿。在式（24）中，将系统内部扰动和外部扰动纳入f(x1，x2，t)中，对于式（25）所示的二阶系统，本文定义如下形式的扩张状态观测方程组：

其中：y(t)为系统输出，zi(t)(i=1，2，3)为观测值，e(t)为ESO观测误差，β0i为观测器增益系数，fal(e，λ，δ)为非线性函数，其算法［27］为：

其中，δ是为了防止误差接近于零时增益过大而产生库存系统较大波动而设置的线性区间长度，区间为(-δ，δ)。

最后，设计非线性状态误差反馈控制律。在线性反馈下，系统的稳态误差与反馈增益成反比，而在非线性反馈下系统的稳态误差与使用的非线性函数有关，故自抗扰控制通过选用适合的非线性函数来生成控制量。本文中采用如下形式的非线性反馈函数：

其中：z3为扩张状态观测器中针对扰动部分被扩张出来的观测状态，b为补偿因子，u为补偿库存系统和扰动作用的分量。非线性反馈控制律可以使库存系统通过补偿随机扰动从而生成预测需求量来指导企业库存系统进行合理订货（即系统输出）。

至此，基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型已设计完毕，其Simulink 框图如图3 所示。

图3 基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型仿真框图Fig.3 Simulation block diagram of optimization model of inventory system under stochastic disturbance based on ADRC

3 仿真与对比研究

为验证基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型的有效性，本文应用Matlab/Simulink 平台对自抗扰控制器进行设计，并对企业随机扰动库存系统进行仿真优化研究。具体实验步骤为：首先，搭建基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型，包括跟踪微分器、扩张状态观测器、非线性状态误差反馈控制律和企业动态库存系统；其次，对基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型进行参数整定与优化，选取与动态库存系统相匹配的参数组合，以提高系统的控制效果和控制精度；最后，以库存系统的缺货次数、剩余库存均值、剩余库存标准差、进货量均值和进货量标准差为控制指标，对仿真结果进行综合分析，验证基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型的优化效果。

3.1 参数整定与优化

本文在Simulink 平台中对优化模型进行仿真，采用阶跃信号和波动相对平稳的正弦信号进行参数整定测试，由于平滑指数取值取决于数据源的波动程度，即波动较大时，α相对较大，波动平稳时，α取值较小，0 ＜α＜1［28］。针对采用阶跃信号的参数实验阶段，取平滑指数α=0.8。

对于基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型而言，参数整定是首要问题。在本文设计的基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型中，跟踪微分环节的参数r、h的调整能够有效解决系统超调问题，即当市场需求受扰动干扰发生巨大变化时，期望库存的超调量不会过大。扩张状态观测环节中，参数β01、β02及β03的具体选择由系统的采样步长决定，它们主要解决系统滞后性和振荡问题，在具体的调节过程中可先调节β03观测效果，直到系统跟踪效果较好时，再对β01、β02进行调节以提升控制系统性能，使需求预测能快速低滞后、稳定无振荡地跟随市场实际需求的变化而变化。非线性反馈控制律中，k1、k2为非线性函数fal(·)前的系数，b为补偿因子，主要用于补偿外部扰动，以使期望库存的设定能在抗干扰环境下跟随市场需求波动［29-30］。

首先对基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型进行参数整定，自抗扰控制各环节初始状态下各参数为：

跟踪微分环节r=120，h=0.8。

状态观测环节β01=80，β02=55，β03=70。

非线性反馈率k1=25，k2=30。

初始状态下，优化模型跟踪曲线如图4 所示，由图4 可见，系统响应振荡较多、幅度较大且响应速度较慢。

图4 基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型初始状态下跟踪曲线Fig.4 Tracking curve of optimization model of inventory system under stochastic disturbance based on ADRC in initial state

初始状态下，基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型的阶跃响应如图5 所示。

图5 基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型初始状态下阶跃响应Fig.5 Step response of optimization model of inventory system under stochastic disturbance based on ADRC in initial state

通过实验可以看出，在阶跃响应中，初始状态的基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型的超调量达到60%，调节时间为70 s。

为使库存系统对随机扰动下需求的响应达到准确、快速、稳定、超调小的目的，对系统各环节不同参数进行整定，经过大量实验后最后确定最优参数组合，结果如下：

跟踪微分环节r=150，h=1。

状态观测环节β01=10，β02=100，β03=10。

非线性反馈率k1=95，k2=20。

参数整定后，对应的跟踪曲线如图6 所示。与图4 相比，在系统的上升与下降沿部分，响应速度均有相对提高，响应振荡幅度明显减小，自抗扰控制器跟踪精度有较大的提高。

图6 基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型参数整定后跟踪曲线Fig.6 Tracking curve of optimization model of inventory system under stochastic disturbance based on ADRC after parameter tuning

参数整定后，基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型的阶跃响应结果如图7 所示。

图7 基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型参数整定后阶跃响应Fig.7 Step response of optimization model of inventory system under stochastic disturbance based on ADRC after parameter tuning

通过实验结果可以看出，参数整定后的阶跃实验中，优化模型的超调量由60%下降到50%，达到稳定状态的调节时间也下降为40 s，系统的控制效果较好。因此，通过对优化模型的跟踪精度、超调量和调节时间进行观测，可知该组参数组合适用于本文所提出的基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型。

3.2 仿真对比

在基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型中，企业每一周期对需求的预测要根据历史实际需求信息制定，而实际需求除正常波动外还会受诸多不确定扰动影响，如临时加单、撤单，这增强了其不确定性，加大了库存系统的控制难度。当需求波动伴随随机扰动信号输入基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型时，自抗扰控制器会对其进行观测并模拟，通过状态反馈控制输出，指导企业订货决策，保证库存系统在随机扰动下仍能稳定运行，降低库存成本。本文收集了某大型批发市场自2018 年1 月至2019 年12 月中50个周期米醋的实际销售量进行实证研究，如表2 所示，其平均值为347，标准差为202；除此之外，在第15、30、35 周期增加持续时间为1 s 的3 个振幅分别为500、500 和-400 的不定时正负脉冲信号作为随机扰动量，即在实际市场需求的基础上增加瞬时扰动，采用上述参数整定优化后的基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型进行仿真对比。

表2 某批发市场米醋实际销售量数据Tab.2 Actual sales volume data of rice vinegar in wholesale market

为验证基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型的有效性，本文对库存系统进行三个仿真实验，分别为：无随机扰动库存系统仿真、随机扰动库存系统仿真和基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型仿真。

三种库存系统的订货量仿真结果如表3 所示。

表3 库存系统订货量仿真结果Tab.3 Simulation results of order quantity in inventory system

三种库存系统的订货量仿真对比如图8 所示。结果表明，在随机扰动的影响下，企业订货量波动明显增大；而基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型能够弱化随机扰动对企业库存系统的影响，保证其稳定运行，指导企业进行合理订货。

图8 库存系统订货量对比Fig.8 Comparison of order quantity in inventory system

图9 为库存系统订货量移动标准差对比情况。基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型订货量移动标准差略小于无随机扰动库存系统，明显小于随机扰动库存系统。结果表明，自抗扰控制系统不仅能够削弱随机扰动对企业订货决策的影响，还能够进一步修正市场实际需求，使库存系统对需求响应能够达到抗扰、准确、快速、稳定的效果，降低企业订货波动。

图9 库存系统订货量移动标准差对比Fig.9 Comparison of order quantity moving standard deviation in inventory system

图10 为库存系统订货量移动均值对比情况，无随机扰动企业订货量均值为349；随机扰动企业订货量均值为364；而基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型的企业订货量均值为358。实验结果证明，基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型能够有效减小企业订货量，合理利用资源，降低库存成本。

图10 库存系统订货量移动均值对比Fig.10 Comparison of order quantity moving mean in inventory system

三种库存系统的剩余库存量仿真结果如表4 所示。

表4 库存系统剩余库存量仿真结果Tab.4 Simulation results of residual inventory in inventory system

三种库存系统的剩余库存量仿真对比如图11 所示，随机扰动扰乱企业库存系统，分别在第16 和第32 周期出现2次缺货现象；而自抗扰控制能够优化库存系统，稳定企业库存，完全改善缺货现象。

图11 库存系统剩余库存量对比Fig.11 Comparison of residual inventory in inventory system

图12 为库存系统剩余库存量移动标准差的对比情况。由图可知，自抗扰控制能够弱化随机扰动对企业库存系统的影响，减小库存波动，使其处于相对稳定运行的状态。

图12 库存系统剩余库存量移动标准差对比Fig.12 Comparison of residual inventory moving standard deviation in inventory system

图13 为库存系统剩余库存量移动均值的对比情况，无随机扰动企业平均剩余库存量为145，随机扰动企业平均剩余库存量为320，而基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型的企业平均剩余库存为237。结果表明，基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型能够有效改善由外部随机扰动引起的库存大量积压现象，减少资源浪费。

图13 库存系统剩余库存量移动均值对比Fig.13 Comparison of residual inventory moving mean in inventory system

为了更加直观地体现基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型的优化效果，现将无随机扰动、随机扰动和基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型仿真结果量化形成对比表，如表5 所示。

表5 三种模型仿真结果对比Tab.5 Comparison of simulation results of three models

4 结语

本文针对随机扰动企业库存控制问题进行深入研究，从工程控制的角度，建立了基于动态微分方程的库存系统状态空间模型，并通过拉普拉斯变换对库存系统的传递函数进行推导，进而得到自抗扰控制受控对象的标准形式，建立基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型。为提高基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型的精准程度并验证其控制效果，本文通过大量实验对基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型进行复杂参数整定与优化，确定一组最优控制参数组合；收集某大型批发市场实际销售量数据作为系统输入，并使用Simulink 软件对系统进行仿真实验。仿真实验表明，随机扰动使企业无法快速、准确地识别真实市场需求并及时调整订货策略，进而导致缺货、库存积压和库存成本过高的现象。基于自抗扰控制的随机扰动库存系统优化模型能够修正库存系统输入，指导企业科学、合理地制定订货策略，进而保证库存系统稳定运行。在消除缺货现象的基础上，降低库存持有量，减小库存积压，有效弱化市场随机扰动对企业库存系统的影响。

本文应用自抗扰控制实现随机扰动下的库存系统动态优化，从而为企业库存系统抗扰和稳定运营提供优化策略，降低不稳定性输入导致的运营成本，为企业的实际生产运营提供理论借鉴和应对方法。依托本文随机扰动下库存自抗扰优化模型，可以进一步进行相关拓展研究。本文为方便计算，使用指数平滑预测法进行需求预测，未来可采用神经网络等算法进行更精准的需求预测；除此之外，本文只考虑了单级库存系统，未来可针对供应链多级库存系统进行研究。