基于杂交PSO 算法的直线电机伺服参数优化

王志昊

（200093 上海市 上海理工大学 机械工程学院）

0 引言

直线电机因具有灵敏度高、快速响应等优点而广泛应用于高精度高速直线运动的工业生产场景中。但由于直线电机系统“零传动”的结构特点，外界负载扰动变化直接作用于工作台上，故其控制精度和效果对伺服参数的选定十分敏感[1]。为得到良好的伺服控制性能，需要研究高效自适应的参数整定方法。

PID 控制器因稳定性好、结构简单可靠、鲁棒性强等优点，广泛应用于以直线电机驱动的机床等工业生产设备的控制回路中。应用智能算法对电机伺服参数优化的研究中，张连强[2]等将模拟退火算法思想融合人群搜索算法应用于参数的优化整定，改善算法的局部收敛状况；刘龙飞[3]等将遗传算法应用于直线电机矢量控制优化，以提升系统动态刚度为目标优化伺服参数；苏攀[4]等提出一种随机学习因子的改进粒子群算法，改善粒子过早熟陷入局部极值的情况；Tamara[5]等采用遗传算法对PID 控制器进行改进，并应用于无光源网络的参数整定，相比于Z-N 方法具有更好的精度和鲁棒性。以上方案各有特色，但针对直线电机系统伺服参数整定问题，难免存在优化效果不佳或使用复杂等缺点。

本文借助遗传算法的思想，提出一种杂交粒子群算法（Hybrid Particle Swarm Optimization,HPSO），在标准PSO 迭代过程中引入杂交算子对粒子群进行杂交操作，增加搜索初期粒子的多样性，大大增强了算法的全局寻优能力。建立直线电机伺服系统的数学模型进行仿真试验，通过与标准PSO 算法及文献[6]提出的非线性递减惯性权重策略对比计算结果，验证了本文提出杂交PSO 算法的优点。

1 电机伺服系统的数学模型

1.1 直线电机数学模型

永磁同步直线电机由永磁同步旋转电机发展而来，其数学理论模型与旋转电机基本相同[7]。本文参考旋转电机模型以单轴永磁同步直线电机为例，为建立系统模型对直线电机驱动做出适当假设：

（1）磁路饱和可忽略，且各绕组的自感互感是线性的；

（2）绕组电阻是定值，忽略频率温度等变化的影响；

（3）涡流和磁滞损耗可忽略。

根据矢量变换控制的原理，d 轴分量id=0，建立电机的运动学和电学方程

式中：M——电机动子质量；F——电机推力；v——动子运动速度；B——粘滞阻尼系数；iq——q 轴电流；Ff——电机推力常数；Ra——电机初级绕组电阻；Lq——电机初级电感；τ——极距；Φf——磁通量。

基于上述方程，建立永磁同步直线电机的数学模型如图1 所示。

图1 直线电机数学模型框图Fig.1 Block diagram of linear motor mathematical model

1.2 PID 控制原理

PID 控制是一种线性控制器，根据系统输入值r(t)与实际输出值y(t)构成控制偏差e(t)，将其按比例、积分和微分运算并线性叠加构成控制量u(t)输出[8]。连续时间域中，PID 的控制算法表达式如式（2）：

式中：kp——比例系数；Ti——积分时间常数；Td——微分时间常数。基本PID 控制原理如图2所示。

图2 基本PID 控制原理框图Fig.2 Block diagram of basic PID control principle

由于实现难易程度和成本的限制，在不同实际场景中往往根据性能需求，分情况采取P 控制、PI 控制、PD 控制和PID 控制，但无论哪种控制方式，其参数的选定都将决定系统控制精度，影响最终的控制效果。

1.3 直线电机伺服系统数学模型

直线电机伺服控制通常采用三环控制系统，从内到外依次是位置环、速度环和电流环[9]。其中，电流环完全在伺服驱动器内部进行，通过霍尔装置检测驱动器给电机的各相的输出电流，响应速度较快。时间滞后主要由伺服控制器中滤波器及逆变器引起。故将电流环等效为惯性环节，其传递函数如下：

式中：Trg——电机推力系数；Tfil——滤波器时间常数；Ti——逆变器时间常数。

综上，将直线电机伺服系统近似为线性系统，可建立如图3 所示的数学模型。其中，r(t)为给定位置指令；Kpp为位置环比例增益；Tc为控制周期；Kvp为速度环比例增益；Kvi为速度环积分增益；M 为动子质量；B 为粘滞阻尼系数。

图3 直线电机伺服系统数学模型框图Fig.3 Mathematical model block diagram of LM servo system

该模型包含电机的三环控制系统、矢量变换环节和反馈元器件等，其中位置环和速度环采用P-PI 控制。P-PI 环节的比例增益即为控制系统的伺服参数，若整定得当将有效提升系统的动态特性。

2 混合杂交算子的PSO 算法

2.1 标准PSO 优化算法

粒子群算法（Particle Swarm Optimization,PSO）由Dr.Eberhart 等于1995 年提出，是一种基于群体智能的全局随机搜索算法[10]。PSO 算法首先在解空间内随机取值进行粒子位置和速度的初始化，通过向自我及向群体的学习来自我更新。经过设定的迭代次数或达到计算精度时停止搜索。粒子通过式（4）和式（5）更新自己的速度和位置

式中：r1，r2——(0,1) 范围内的随机数；c1，c2——学习因子，通常设定为c1=2，c2=2；pid——当前个体历史的最优位置；pgd——当前群体历史的最优位置。

标准PSO 算法在迭代过程中只传递最优信息，故搜索速度快，收敛迅速，但易陷入局部极值，并且搜索性能取决于其局部细化和全局探索的平衡，因而PSO 算法具有较大的改善空间。

2.2 杂交PSO 算法

为避免这种“早熟”的计算收敛并提高解的质量，本文借鉴遗传算法中的“杂交操作”思想，提出一种杂交粒子群算法（HPSO，Hybrid Particle Swarm Optimization）。在粒子迭代过程中引入一个杂交算子s，使得粒子的基因进行重组而不断产生新微粒，保持粒子群体的多样性，进而提高算法的全局搜索能力，减少陷入局部极值的可能性。

杂交PSO 算法的具体操作：

（1）在每次迭代中根据杂交概率Pc 判断，若触发则选取一定数量的粒子放入操作池内；

（2）随机选取池内粒子进行两两杂交，交叉基因而生成相同数量的子代粒子(child)；

（3）将子代粒子替换亲代粒子(parent)，保持种群数目不变。其位置xc和速度vc由式（6）和式（7）计算

式中：s ——杂交算子，0＜s＜1；xp1，xp2——亲代粒子的位置；vp1，vp2——亲代粒子的速度。

这一算子的引用使得PSO 过早成熟、易陷入局部优解的缺点得以改善。在迭代次数的后期，利用粒子群高效的聚合能力，快速确定最优解的方向，使得算法易于收敛。

此外，引入粒子飞行的惯性权重w 可进一步增强全局搜索能力，提高算法性能。故采用文献[11]提出的非线性动态递减惯性权重，如式（8）所示：

式中：wstart——初始惯性权值；wend——终止惯性权值，经过大量实验总结，wstart=0.95，wend=0.4时效果较好；t——当前进化代数；tmax——最大迭代次数。

整理式（4）—式（8），得到杂交PSO 的更新公式

当触发杂交概率Pc时，采用式（6）和式（7）生成子代粒子。

2.3 多峰函数检验HPSO 有效性

通过引入杂交算子，在目标函数为复杂高维问题时具有良好的越障搜索能力，有利于种群跳出局部最优解，在搜索初期能够较全面地搜寻。为说明改进算法的优越性，使用标准PSO、文献[6]改进PSO 以及本文方法对经典测试函数Rastrigin 多峰函数进行试验。将Rastrigin 设为适应度函数，即

式中：d——解空间的维数，i=1,2,…,d；x 取值为-5.12＜x＜5.12。当自变量均为0 时，Rastrigin函数取得最小值0。

图4 所示为二维Rastrigin 函数形貌。函数在最小值（0，0）点附近有多个相邻峰，使得函数极易在最小值附近陷入局部优解而无法跳出，可用于检验优化算法的搜索性能。当设定测试函数为8 维时，三种方法求解过程的最优适应度对比如图5 所示。由于粒子杂交操作能够增强群体多样性，杂交PSO 算法能在迭代初期进行更全面的寻优，相比于其他2 种方法在收敛速度和求解精度方面达到更好的平衡，效果更优。

图4 二维Rastrigin 多峰函数Fig.4 2-dimensional Rastrigin multimodal function

图5 3 种算法在8 维Ras 函数适应度变化的对比图Fig.5 Comparison of fitness changes of three algorithms in 8-dimensional Ras function

根据表1，问题复杂度由4 维逐渐提升至50维，本文改进算法相比标准PSO 和文献[6]PSO 算法在最优值和平均值均取得较大改进，提高了陷入局部极值的能力。通过Rastrigin 函数的测试对比，验证了本文改进算法的优越性。

表1 Rastrigin 多峰函数性能对比Tab.1 Performance comparison of Rastrigin multimodal function

3 基于杂交PSO 算法的伺服参数优化

3.1 适应度函数的设定

经过上述Rastrigin 函数数值测试，验证了杂交PSO 算法具有较好的性能。故根据第1 节建立的直线电机伺服系统数学模型，采用HPSO 进行伺服参数（Kpp，Kvp，Kvi）的整定和优化。

单位阶跃响应是测试系统在单位阶跃信号的输入作用下所产生的零状态响应。因为阶跃响应对系统来说是一种较为严苛的输入，其响应输出能很大程度上反应测试系统的动态特性，故作为分析和判断伺服系统性能常用的测试类型。

选取阶跃输入的输出响应作为HPSO 的目标函数，用以评价粒子的优劣。整定直线电机伺服参数的适应度函数J 如式（11）和式（12）所示，其中ey(t)为系统输出差值，即ey(t)=y(t)-y(t-1)。

（1）当ey（t）≥0 时，

（2）当ey（t）＜0 时，为避免系统超调需要采取惩罚机制，在积分项中引入超调量项并且设定为较高的权重。

式中：e（t）——控制偏差，e（t）=r（t）-y（t）；u（t）——控制器输出；tr——阶跃响应上升时间；w1，w2，w3，w4——权 重，通 常 取w1=0.999，w2=0.001，w3=2.0，w4=100。

3.2 HPSO 算法的流程说明

（1）算法初始化，根据经验设定变量的上下限，并确定HPSO 算法的控制参数；

（2）粒子初始化，随机生成每个粒子的速度vi和位置xi；

（3）适应度评价，对每个粒子求解其适应度Ji；

（4）更新粒子，对比粒子个体与群体的历史最优值，按式（9）更新其位置和速度;

（5）杂交操作，触发杂交时按式（6）—式（7）产生杂交粒子；

（6）判断终止，若不满足则返回步骤3 重复以上操作。

4 仿真验证

根据式（11）—式（12）设定的适应度函数，对第1 节搭建的直线电机数学模型进行阶跃输入，测试3 种PSO 算法优化后的伺服参数（Kpp，Kvp，Kvi）对系统的控制效果。在t=0 时刻，对系统进行单位阶跃输入；在t=0.6 s 时刻，对其施加反向的阶跃扰动，对比结果如图6 所示。

图6 PID 阶跃响应曲线对比Fig.6 Comparison of PID step response curves

可以明显看出，通过标准PSO 算法优化出来的伺服参数对所建数学模型控制效果最差，有较大超调量且需要较长的稳定时间，并且对突变输入的响应迟缓，调整时间过长；文献[6]PSO方法虽然较标准PSO 在超调量和调整时间上有所减少，但改进效果不明显。说明两种算法在搜索迭代中均陷入了局部极值，因此对伺服参数的优化效果不佳。

相比而言，HPSO 算法优化的效果显著，明显缩短了阶跃响应的上升时间tr、峰值时间tp和调整时间ts，并且有效地抑制过冲现象的发生，应对突变输入响应迅速，具有较好的灵敏度和稳定性。如表2 数据所证明，使用杂交PSO 能有效地优化整定直线电机伺服参数，使之动态性能得到明显提升。

表2 系统对阶跃输入的响应性能对比Tab.2 Comparison of system response to step input

5 结语

本文提出一种基于杂交PSO 算法的方案解决直线电机驱动系统伺服参数的整定问题。在算法迭代过程中对比标准PSO 和文献[6]改进PSO，本方案的收敛速度和求解精度得到明显优化。仿真试验证明，本方法对伺服参数具有良好的整定效果，使用优化后的伺服参数有效增强系统的动态特性。