挖掘错题价值 培养数学素养
——以有理数运算的复习课为例

201200 上海市五三中学 戴啸天

数学运算是数学最基本的活动之一，贯穿整个义务教育阶段，也是数学核心素养之一.《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出应注重发展学生的运算能力，主要是指“能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力”，“培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”[1].有理数运算作为初中数学学习的起始，不仅是对小学运算能力的提升和扩展，更是后续学习整式运算及方程的基石.

笔者以沪教版六年级数学教材第五章“有理数”章节为案例，遵从课标标准及素质教育要求，充分发挥学生在学习中的主体地位，为学生搭建错题展示教学情境，采取解决问题的模式激发学生主动寻找解题错因，并进行错误原因分析[2]，综合运用错题资源构建合理的教学策略，激发学生学习的主动性，培养学生有理数的运算能力、加深对数学算理的理解以及对知识的探索、研究意识，在这一过程中完成对学生数学核心素养的培养.

一、 案例背景

义务教育中的不同阶段对运算能力提出了各不相同的具体要求.小学阶段的相关学习作为有理数学习的基础和入门，初中阶段则比较完整和系统地学习有理数的运算和运算律，此部分内容奠定了初中数学学习的基调，并影响着后续内容的学习效果.(如表1所示)

表1

沪教版七年级数学教材第五章设置了“有理数”章节，与小学阶段相比，该知识点的教学过程是更加系统和螺旋式上升的.

根据多年的教学经验，笔者发现学生在学习有理数混合运算时通常会遇到以下困难.

一是符号辨别不清.中学阶段引入了负数的概念，一些学生对符号的理解不深入，运算基础薄弱，运算过程中常常会出现符号辨识不清、符号意识不强的问题.

二是对有理数运算法则、运算律的概念理解不深入、不全面.学生在运算过程中会出现概念混淆、记忆不清楚和法则错误使用等情况，导致计算结果错误.

三是基础不牢导致综合运算能力不强.在初中有理数运算中，为了锻炼学生的综合运算能力，有些题目中会综合引入多种运算，以此来检验学生对运算法则的掌握情况和概念的理解程度.运算基础薄弱、综合运算能力不强的学生会产生运算顺序混淆的现象，学生需正确理解概念和使用正确的运算法则，这样才能保证计算结果的正确性.

四是如何根据所求算式结构的特点寻求合理简洁的运算途径解决问题.

在此次错题教学中，笔者针对以上问题设计了预设实践策略.课前，学生分组绘制有理数数学小报，梳理知识结构.课上，交流反思日记，明确法则符号；自纠错误，合作归纳错因.利用学生的错题开展教学直观而有效，既调动了学生的学习主动性，让学生主动发现问题并解决问题，又加深了对问题、易错点的理解，提升了教学效果，培养了学生解决问题的能力.

二、 教学过程

第一模块：通过设计小报梳理知识结构

1．学生整理作业展示：有理数数学小报.

2．复习有理数运算的法则及运算律，师生共同完成思维导图.

第二模块：反思日记，明确法则符号

学生活动以2人小组竞赛的方式进行简单计算，强调有理数运算要关注符号.

第三模块：错题情境搭建，小组合作探讨、归纳错因

学生错误1

=-210-70-10

=-290

错因分析：学生在利用乘法分配律时，应先确定符号再运算.因此，将-210与后面三个数相乘时，可以直接确定符号.

学生错误2

分析错因：除法不具有分配律，不能按照乘法分配律的方法进行求解.

学生错误3

错因分析：学生容易忽略或不注意运算顺序.同级运算应按照从左到右的顺序依次计算.

针对练习4下列计算有没有错误？错在哪里？应如何改正？

步骤1首先让学生独立思考，用红笔找出错误之处，并提供依据改正错误，寻找发生错误的原因.

步骤2学生在小组内交流错误产生的原因，组长汇总记录，并进行组外交流.

步骤3结合针对练习1到针对练习4的解题经验，提出自己的运算建议.

错因分析：(1)混合运算按顺序进行.(2)弄清运算对象，未辨明底数；除法中应算出除数，不能用分配律.

第四模块：编题练习准确灵活计算

各小组组长抽取课前编制的题目，之后各小组进行竞赛，出题组长巡视并批改．

三、 实践反思

(一)教学结构层次分明，环环相扣

1.设计小报、思维导图完成对知识的梳理

在学生对知识的学习、理解中，需要通过不断复习、重复练习来加深理解和加强记忆，在进入错题情境之前，教师先让学生以设计小报的方式复习、梳理有理数计算规则和各种运算律，之后教师引导学生一起完成思维导图，让知识在头脑中进行系统化、结构化总结，形成知识的整体结构.(如图1所示)

图1

这是对小学数学运算的继承与发展，也是初中代数运算的铺垫与准备，更是大单元视角下打通小学、初中对数学运算的统一认识.

2.合理运用错题资源，加深学生对知识的理解

错题是非常有用的教学资源，通过对错题进行分析，学生不仅可以发现自己产生错误的原因，也能帮助教师进行及时的教学改进.教学过程中，充分有效地使用错题资源可以帮助学生更好地理解、获取知识，大幅降低解题错误的概率.(如图2所示)

图2 错题分析三部曲流程图

通过在三位学生的错题案例中改变、添加括号，使其转变为新的、难度更高的题目，学生对比每道错题改编前后的解题，自己发现解题错误原因，加深对有理数运算法则和运算律的应用实践，加深对数学算法的理解，让更多学生不再犯同样的错误.

(二)教学情境中的教师过程引导与过程评价

1.过程引导

数学错题情境教学中，学生作为学习主体，教师作为教学情境的搭建者和教学过程的引导者，要起到在把握整体教学基础上适当引导的作用[3]，如为培养学生思维的多向性和灵活性，教师在学生完成对一道题的解答后，可适当通过“同学们还有别的解法吗？”“这一步是否还有更好的解法？”“你觉得这种解法是最直接的吗？”“谁还有更简单的解题方法？”等问题来启发和引导学生，鼓励学生发表不同的见解，培养学生的发散思维.教师对学生的评价与激励、学生自我评价都基于教学标准，真正关注学生“学会了什么”.

另外，教师利用错题资源创设特定教学情境，让学生去寻找错误、认识错误并改正错误，学生作为学习的主体主动完成对知识的“知错、认错以及改错”过程，这是对知识的一种创造性学习和获取，这一过程培养了学生的科学素养，加深了学生对知识的理解和记忆.

2.过程评价

学生在教学情境中自主探索知识时，可能会感到暂时的迷茫和没有方向，教师要在过程中及时关注学生对知识的理解进展，并在学生取得阶段性小成果后及时给予正面评价.教师适时给予的恰当评价不仅是对学生已完成任务的认可，更可以增强学生的自信心，使学生信心满满地投入到下一步的知识探索进程中.

(三)反思

有理数运算的复习旨在让学生真正理解算理，这是教师需要研究的问题.学生运算中最大的障碍依旧是“符号”和“括号”的问题.这虽然是老生常谈的问题，但如何将相关错误降到最低是教师所要研究的.单纯总结学生易错的原因还远远不够，教师应提炼出更为核心的内容.即便学生顺利完成了计算题，建议教师还要追问“为什么这样算”“还可以怎么算”等，让学生真正理解算理，检查运算的正确性，

体会优算.在错题资源利用方面，学生尝试通过修改题目，将运算的错误结果改为正确的，这凸显了运算顺序及括号的重要性，促进学生对算理的进一步理解，提升学生反思的能力，解题思路也更开阔灵活，大大提升了课堂教学的趣味性.

四、 教学总结

从家庭作业的反馈结果来看，经过错题情境教学后，学生计算题的正确率大大提高了，特别是课堂上被举例的典型错题类型，基本没有再出错的情况.虽然目前仍有个别学生计算的准确率较低，但与开展本节课教学之前相比，也有了一定程度的提高.结果显示，错题情境教学课堂效果良好.

本次教学活动实现了三个价值.第一，有理数一章是初中学习的起始.有理数运算作为核心能力起到了承上启下的作用，也是重要的数学能力之一.第二，基于课程标准对于有理数运算的诊断结果缺乏理想的评价，学生给出的评价大多为“马虎了”，或是过度关注正确与否.第三，在“双减”背景下，探究学生如何通过诊断评价学会正确评价自己，树立自信心，激发内驱力.

利用错题解析帮助学生加深对知识的理解是一种逆向思维教学方式，即通过对错题的分析和探讨更好加深学生对关键知识点的理解和应用[4]，并能够大幅度降低解题的出错率.唐春雨在文献中提出了培养学生良好学习习惯的“知错、认错、改错”三步骤[5].所谓“知错”就是学生通过自查能发现错误的点在哪里；“认错”指的是分析错误产生的原因，是对概念理解不到位还是混淆概念等；“改错”是去弄清楚错误怎么改正.学生对知识的获取是一个循环往复、螺旋式上升的过程，过程中对知识的理解从肤浅到深刻，对知识的应用从机械到灵活，其中都存在出错环节，找到错误并且能改正错误就完成了对知识的获取，也就是对知识进行自我再创造的过程，是学习的必经环节.笔者以错题为案例搭建教学情境，与唐春雨提出的“知错、认错、改错”良好学习习惯不谋而合，符合学生的学习发展规律.

另外，错题情境教学或培养“知错、认错、改错”良好习惯能充分发挥学生对学习的主动性，体现学生在学习中的主体作用[6]，在获取知识的过程中培养了学生分析解决问题的能力，促进了对数学核心素养的培养.数学运算是解决数学问题的基本手段，这体现了数学运算的学科价值.通过运算促进数学思维发展，学生形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求学的科学精神，彰显了数学运算的教育价值.