基于学情遵循教材，问题驱动探索未知
——以“有理数的乘方(1)”教学为例*

刘东升

(江苏省南通市教育科学研究院 226000)

学生进入初中之后的数学学习要面对的第一个难点就是数系扩充之后的有理数及其运算.而有理数运算的重点与难点就是运算规则的生成与运算律的灵活运用.那么在有理数运算的新授课时，怎样引导学生深刻理解运算规则就是非常重要的教学目标.笔者最近在一所学生基础相对薄弱的农村学校执教了一节随堂研讨课“有理数的乘方(第1课时)”，基于教材又重组教材，让新知渐次生成，取得了较好的教学效果.

1 “有理数的乘方(第1课时)”教学流程

教学环节1 创设情境，引出新知

课前交流：同学们进入初中以来，学习了哪种新的数？(生：有理数)，还学习了有理数的哪些相关概念？(生：相反数、数轴、绝对值)，在此基础上又学习了有理数的哪四种运算？(生：加、减、乘、除)，它们的结果分别叫什么？(生：和、差、积、商)

问题1计算(-1)+(-1)+(-1)+(-1).

教学组织：一个学生很快报出答案，教师跟进追问“这个算式写得太长且繁，能否改写成一个更简的算式？”学生很快想到可以写成乘法形式“(-1)×4=-4”.教师肯定并鼓励，指出把相同加数相加写成乘法的形式，符合数学“求简”的追求，并在黑板上写出“求简”两字.

预设追问：有理数乘法的运算法则是什么？

(安排学生回忆“同号得正、异号得负，并把绝对值相乘”)

问题2计算(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3).

教学组织：学生很快算出答案是-243.教师追问学生是如何算的？让学生说出确定符号的优先意识，以及多个有理数相乘，符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为奇数时，积的符号为负；当负因数的个数为偶数时，积的符号为正.当一个学生说出之后，安排另一个学生再次复述，强化上述确定符号的规律，因为与本课所学的一个新知(负数的奇次幂或偶次幂的符号规律)高度相关.

预设追问：这里5个-3连乘的算式书写起来也比较繁琐，有没有简化的方法呢？(学生由小学里已学过的平方和立方的书写方法，会想到写成(-3)5的形式)，这时安排学生上台，写到黑板上，并让该学生讲解所写算式的意义，在此基础上引出本课新知.

教师在主板区板书乘方的定义，并进一步指出底数、指数、幂的概念后，安排学生针对具体的式子复述、讲解，如(-3)5.

教学环节2 定义乘方，例题运算

问题3在乘方的定义中，我们为了表述的方便，引入了两个字母n，a，作为严谨的追求，同学们思考一下对两个字母的取值范围有没有特殊的限制呢？

教学组织：学生讨论后可能容易理解n的取值范围应该是正整数，但对于底数a的范围可能会有争论和不解.这时教师可让有疑惑的学生举例说说自己的困惑，这样可以让学生知道底数a为任意有理数时都是可以进行有理数乘方运算的.但是学生如果提到一些特殊的例子，如0n，51，就可以顺便做一些规定，比如一个数等于它本身的一次方.这样有助于学生全面、深刻地理解乘方定义.

问题4乘方是一种运算，如何进行乘方运算呢？

教学组织：学生应该想到将乘方运算展开为乘法运算就可以了，教师肯定学生的上述思考，并形成板书(乘方的“算法”，从定义出发，利用有理数的乘法进行乘方运算).然后跟进几道例题，训练学生进行乘方运算.

例题计算：

教学组织：先安排两组学生上台板演，再安排学生上台批改，如有错误进行纠错、究错.究错时注意引导学生“回到定义”去思考和理解.然后跟进一组练习，安排学生不动笔，直接看出答案后汇报并核对.

跟进练习，计算：

(1)(-1)10；(2)(-1)7；(3)83；(4)(-5)3.

教学环节3 观察算式，归纳乘方的符号规律

问题5学习有理数的运算的经验告诉我们，有理数运算的关键或难点是符号问题.从上面的例题与练习的计算后，同学们观察算式特点与幂的结果符号，有什么规律呢？

教学组织：学生先独立思考，再小组内交流，最后全班汇报展示，得到有理数乘方运算的符号规律(可以在教师的引导下，分类讨论底数为正、0、负的情况)，师生合作形成板书(正数的任何次幂都是正数；0的正整数次幂是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数).在这个归纳的过程中，学生表述的语言可能不太精准，教师不要急于给出教材上的“黑体字”，而是让学生先讨论、优化、简化，最后再让学生对照教材“黑体字”表述，在对比之后交流学习体会，感受到对数学性质的猜想归纳与概括往往是困难的，但正是因为追求“优秀的表达能传递得更远”，我们就有不断求简、求优的动力.

教学环节4 课堂小结，完善“结构化板书”

将黑板上副板区提到的有理数的四则运算(加、减、乘、除)用“台阶”勾画出来，引导学生理解数学运算的学习特点是“一步一步向上走”，进而追问学生本课所学习的是第几种运算？(第五种)完善主板区的标题留白处，并将本课主板区用框架线补全成结构化板书，指出随着后续乘方运算的学习，同学们还可继续积累一些乘方运算的经验，到时可以进一步充实到这节课的听课笔记中.

该课最后形成的板书剪影如图1.

课堂最后，安排一组当堂反馈练习题：

1.(1)(-7)8中，底数、指数各是什么？

(2)(-10)8中-10叫做什么数？8叫做什么数？(-10)8是正数还是负数？

2.计算：

(3)(-10)4；(4)(-10)5.

2 教学立意的进一步阐释

2.1 基于学情，遵循教材，新授宜慢不急于拓展

潘龙生老师指出：“让学生看到过程是提高数学学习效能的得力措施.”[1]并引清末数学家华蘅芳的观点“力挽之习，于一切算法无不坦白示人，……不求简奥，不避粗俗，惟使人易明而已”，来批判当下概念教学中“一带而过”的教学现象.在上面的课例中，我们基于所教校情、班情和学情，决定遵循教材，在有理数乘方的第1课时教学时，没有安排大量的计算或练习，也没有针对学材进行无度的拓展与拔高，全课没有安排类似(-10)5与-105的易错辨析(事实上，在我们见到的很多公开课或学案上都有相关的辨析练习，而教材上却一例没有，这种现象是值得深思的，难道编写教材的专家不知道要安排学生辨析吗？)，所选问题情境或例题运算都源于教材或经简单改编，立意在新授课阶段让学生掌握乘方定义及算法，发现并归纳乘方运算的符号规律，“固化”学生对新知“标准形式”的理解，而不是急于安排大量“非标准形式”的习题让学生去进行辨析、纠错，避免影响一些学生的学习效果与信心.

2.2 问题驱动，探索未知，讨论完善新知识体系

这里可顺便提及所谓“‘探索世界’的范式”[2]，这是2009年汉斯·弗赖登塔尔奖获得者、法国数学教育家Yves Chevallard所倡导的数学教育取向，即变“参观纪念碑”式为“探索世界”范式，训练学生预见未来的能力，Yves Chevallard称之为“预先认知”.在上面的课例中，我们一共预设了5个问题和1组例习题驱动着全课进程，学生在这些问题的驱动下探索未知、生成新知，在独立思考、小组讨论、板演互评、大组汇报等形式下完善了有理数乘方的知识体系.事实上，当前不少学校使用的“大容量习题单式导学案”在某种意义上助推了“一个定义、三项注意、大量练习”的教学生态.从大容量习题的学案走向简约呈现、内涵丰富的问题驱动，可有效促进学生思维卷入高质量问题中，从而追求探索未知的有效教学.

2.3 留白布局，调整优化，渐次生成结构化板书

全国著名特级教师李庾南老师及其团队倡导的“自学·议论·引导”教学法，在单元教学时特别重视“结构化板书”的设计与生成研究.这种板书的特点是知识结构化，学生和教师都能一眼看清本课所学内容的联系与次序，并且知道本课新知的“源与流”[3].特别是，这种结构化板书不是从上往下、从左往右这样简单化地“一写到底”，而是结合学程推进，融入“生成性资源”留白布局，渐次呈现，直到课堂小结甚至下课之前，黑板上才能完整呈现其“全貌”.如果没有全课都参与其中、亲历生成，往往不知道是如何渐次呈现的，这也正是“结构化板书”的艺术性所在.因为艺术是没有程式化的，是动态生成的，是丰富多样的，所以经常构思、实践留白式结构化板书，在全课板书呈现生成完善之后，都会有一种“美美地教了一课”的教学体验.