比对试题悟真知 追寻结构“道”归来

510800 广州市花都区第二中学 杨伟达

511316 广州市增城区荔城中学 林树宏

在解题教学中，如何提高学生的解题效率？相关问题一直困扰着数学教育工作者.笔者举例进行探究.

一、 试题呈现

例1(2019届广州市高三调研测试理-17) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B-cos2C=sin2A+sinAsinB.

(1)求角C的大小.

图1

(1)当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB.

(2)求证：BC2-CE2=CE·DE.

(3)已知OA=4，E是半径的中点，求线段DE的长．

二、 比对求同，架接联系，构建知识网络

比对上述两道题，例1是一道高中数学试题，主要考查了有关解三角形的综合内容；例2是一道初中数学试题，主要考查了有关圆的综合知识，观察两题，笔者发现了一个关联结构，例1为□2-△2=○2+△○，例2为□2-△2=△○．观察、比对结构式，发现等式左右两边形式相似，分析思路类似，只是选取的角度不同(一道题作为已知条件，以角的形式出现；而另一道题作为证明结论，以线段的形式出现).需要对试题的这种结构进一步逐层分析，直到满足已知条件为止，这样问题即可完美解决．

三、 比对求异，拓宽视野，寻找最优解法

(一)对于例1

对于例1已知部分的□2-△2=○2-△○这一结构，即cos2B-cos2C=sin2A+sinAsinB.

分析1：移项后得□2=△2+○2-△○，比对这一结构，发现与一个公式类似，不妨先将角变为边，再用余弦定理解答即可.这也体现出命题专家考查学生的初衷.

分析2：左边是□2-△2，化简为(□+△)(□-△)，观察发现，许多学生将其变成□+△或□-△时不能再继续化简，而个别学生发现消元后化简(消去∠A)即可，但涉及积化和差、和差化积、倍角公式及三角形内角和公式等，化简运算比较繁杂，需要较高的运算技巧.

分析3：先用降幂公式，把2次式降为1次式，即为■1-▲1=●1+▲●，再用和差化积、三角形内角和公式，消元后(消去∠A)化简，对技巧要求较高，不少学生对此感到胆怯，不能再继续化简.

(二)对于例2

对于例2求证部分的□2-△2=△○这一结构，即BC2-CE2=CE·DE.

思考1直接用平方差公式化简为(□+△)·(□-△)，观察图1，发现找不到合适的线段替换□+△或□-△，所以这种情况不可能.

思考2将△○换成☆2，变成勾股定理□2-△2=☆2，在三角形中找直角，观察发现，图1中找不到直角，所以这种情况也不可能.

思考3移项后变成□2=△2+△○，最后得□2=△(△+○)．观察图1，可以找到一条线段☆替代△+○，即变为□2=△☆，变形后线段成比例，即可转化为由两个三角形相似，问题得到解决．

例2(1)(3)解答略．

四、 比对释悟，追寻“道”法

比对上述两道试题，笔者得到如下教学感悟．

(一)加强对公式结构的再认识

一直以来，数学问题公式化是数学知识的考查重点，也是命题专家希望看到的初心．它要求学生熟练掌握，灵活应用，强调数学方法和技巧，令不少学生有畏惧心理．尽管当前教学改革的方向已经发生改变，考试命题的专注点也已经改变，但可以肯定的一点是，数学始终离不开公式．因此，加强对公式结构的再认识是学生学好数学的重要法宝．一个数学问题可以从不同的角度审视，往往需要用到不同的数学公式．因此，首先要做好公式的选取；其次审视公式的结构，做好公式的正用、逆用；最后对一些公式进行变形及转化(这里需要学生有更高的解题技巧)．例如人教版高中教材必修4的三角公式，必修5的正、余弦定理等公式都是高考的命题热点，公式多而繁杂，学生要记得准、记得快、记得牢，就必须厘清公式的来龙去脉，关注公式结构，多做公式推导.当前，不少高中学生运用公式时丢三落四、虎头蛇尾，要确保原式不变、答案准确，常常需要培养“缺什么补什么”“缺什么找什么”“缺什么改什么”“涂什么改什么”“问什么设什么”“乘什么除什么”“加什么减什么”等常见的思维习惯．

(二)加强对问题审题的训练

审题是解题教学的必备环节，是提升学生数学素养、养成严谨思维的最好载体．选取一道好题，选好一个角度，做好例题的导向功能，能极大提高学生的数学兴趣．对于典型的数学例题，可以从不同的角度思考、分析，逐层推进，层层分解，最终找到解决问题的方法．这些需要教师在平时的教学中重点剖析，这样学生才能养成良好的审题习惯．诚然，不少学生能够熟练记住公式，可一到考试就无从下手，不知道选用哪一个公式，有时公式虽然写了，但常常错误百出，搭不上题，缺少目标和条件，缺少具体联系，缺少审题环节和理解题意．更有甚者，一些学生还没有看清楚已知条件和结论就匆匆下笔做题，缺少分析思路，长此以往会形成一个恶性循环．俗话说“好题读三遍”，教师一定要让学生理解题目的意思后再下笔做题．

五、 比根寻源，链接高考

比对教材，笔者发现人教版普通高中课程标准实验教科书必修5第20页的第14题有相似的关联结构；比对高考，2019年全国Ⅰ卷第17题中也可以找到类似的影子．

教材原题(人教版必修5 P20-14) 在△ABC中，求证：c(acosB-bcosA)=a2-b2.

点评：本题考查了三角形的综合问题，主要涉及正弦、余弦定理等．对于□2-△2结构，有几种思路进行发散．

高考题(2019全国Ⅰ卷理-17) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC．

点评：对于(□-△)2=○2-□△这一结构，先用完全平方公式，化简后变为□2+△2=○2+□△，再用余弦定理解决．

(1)求cosB的值；

点评：对于(□-△)2=○2-□△这种结构，比对2019年全国Ⅰ卷理科数学第17题，发现它们的结构有异曲同工之妙．