混联式压气机叶片打磨装置的设计研究

董艇舰，张 吉，王亚楠，桑 超

（1.中国民航大学考管中心，天津 300300；2.中国民航大学航空工程学院，天津 300300）

1 引言

众所周知，航空发动机属于航空飞行器中重要的部件之一，其常被人称为飞机的心脏［1］。而对于航空发动机，其最重要的零件当属叶片。无论航空发动机中哪一部分的叶片存在瑕疵都直接影响到发动机的运行状态。叶片属于薄壁复杂自由曲面零件，叶身扭转且截面多变化，因此对叶片表面加工处理难度较大［2］。

目前叶片在数控铣削等自动化加工方面技术相对成熟，但在精加工阶段叶片表面的打磨抛光大多仍依靠传统人工操作［3］。对某叶片加工生产厂实地参观调研，发现工人在打磨叶片过程中工序繁琐且叶片表面质量受工人熟练度影响，不能保证型面精度符合标准，如图1所示。同时，打磨抛光叶片产生大量的粉尘和噪音同样对工人健康造成很大影响。目前，实现叶片高精度的打磨抛光在国内外都没有很好的解决方法。尽管在相对发达的西方国家，依旧没能摆脱人工手磨抛光。因此开发设计一套自动化叶片打磨抛光装置并且真正意义上代替手工打磨抛光显得尤为重要。

图1 人工打磨抛光叶片Fig.1 Manually Polished Blades

综上所述，针对航空发动机压气机叶片设计一款混联式打磨装置。工作空间作为混联打磨装置的重要指标之一，通过研究混联打磨装置中并联机构的运动学位置正反解并结合蒙特卡洛法与极限边界数值搜索法得到并联机构与混联打磨装置的工作空间，证明其满足实际打磨时所需要的空间要求。为混联打磨装置样机的搭建提供理论依据和参考。

2 混联打磨装置的设计

混联打磨装置主要由三大部分组成：砂带磨削装置、3-RPS并联机构、十字滑动丝杠。其中串联部分由十字滑动丝杠构成，其具有X和Y两个运动方向。X方向的运动实现叶片叶长方向的打磨，Y方向的运动实现叶片叶宽方向的打磨。并联部分为3-RPS并联机构，3-RPS并联机构有三个自由度，动平台通过Z轴方向的上下平移实现叶片表面深度的磨削，动平台绕X和Y轴的转动完成位姿调整实现叶片与砂带打磨头充分接触。混联打磨装置三维结构图，如图2所示。

图2 混联打磨装置三维结构图Fig.2 Three-Dimensional Structure Diagram of Hybrid Grinding Device

混联打磨装置中，3-RPS并联机构和十字滑动丝杠的设计和应用如今已相对成熟和广泛。因此，这里主要对砂带磨削装置的设计进行阐述。

砂带磨削装置的设计分为三部分：驱动传动装置，张紧装置和砂带打磨装置［4］。张紧装置位于整体钣金外壳顶部，驱动和传动装置与电机相连位于打磨装置靠近右侧钣金外壳处，打磨头位于整体打磨装置左下角，如图3所示。砂带磨削装置中最重要的部分当属砂带打磨头。打磨头主要由接触轮，六维力传感器，伺服电动缸以及伺服电机组成，如图4所示。六维力传感器安装在接触轮的主轴上，测叶片磨削力的大小，起反馈调节的作用。伺服电机驱动伺服电动缸做伸缩运动，对叶片的打磨起到浮动带补偿的作用。打磨头由四个直径大小不同的接触轮组成，根据叶片横截面曲率不同选择合适的接触轮，提高打磨效率同时避免干涉。

图3 砂带磨削装置Fig.3 Belt Grinding Device

图4 浮动带补偿砂带打磨头Fig.4 Compensation Sand Belt Grinding Head

3 并联机构位置正反解分析仿真

混联磨削装置设计完成后，利用欧拉角法和数值法分别对其并联机构进行运动学位置正反解求解，并利用ADAMS软件对并联机构进行仿真。得到的位置正反解模型以及仿真结果为求解并联机构和混联机构的工作空间提供理论基础。

3.1 求解3-RPS并联机构的位置反解

依据动平台的工作位置与位姿求驱动支杆的杆长是求解并联机构位置反解的关键。首先建立3-RPS并联机构坐标系，如图5所示。假设动平台坐标系到定平台坐标系的位姿矩阵为，旋转矩阵为。动平台中心点O1在定平台直角坐标系中的坐标为（Xa，Ya，Za）。通过欧拉角Z-Y-X（α-β-γ）详细描述机构动平台位姿的变换。

图5 3-RPS并联机构结构简图Fig.5 Structure of 3-RPS Parallel Mechanism

动平台上的三个球铰接点A1，A2，A3通过位姿变换转为固定坐标系下坐标：

3-RPS并联机构在运动过程中动平台沿特定轨迹翻转或平移受独立运动变量的控制和影响。3-RPS并联机构有六个位姿参数。受并联机构转动副空间限制，动平台各铰点运动也受到相应约束，动平台铰点A1，A2，A3具体的运动范围：

利用独立变量z，γ，β表示非独立变量x，y，α为：

通过位姿变换矩阵动平台上各球铰点坐标转化到固定坐标系下，驱动杆杆长等于动平台球铰中心和定平台转动副轴套中心点间的距离，其公式为：

3.2 3-RPS并联机构位置正解求解

采用数值算法中的牛顿迭代法对并联机构进行运动学位置正解求解［5］。依据位置反解求得的反解模型对公式两侧对时间求导得：

上式可以简记为：{L'}=[J]·{Ak}，式中[J]—机构的雅可比矩阵；{Ak}=(z'，γ'，β')T—动平台位姿独立变量一阶导数。

对等式两边同时乘dt得：

通过详细的流程图对牛顿迭代法求解过程进行阐述：

3.3 3-RPS并联机构运动学位置正反解仿真

由图5结构简图可知，并联机构由动、定平台，3个球铰链，3根驱动支杆和3组轴、轴套、孔组成的转动铰链构成。并联机构有3个自由度，能实现Z轴方向的移动和绕X，Y轴的转动。利用ADAMS软件对所搭建虚拟样机进行运动学位置正反解仿真。

应用ADAMS进行运动学分析的具体步骤如下［6］：

（1）首先通过SolidWorks软件完成机构各零部件的装配，将三维模型保存成ADAMS兼容的“.x_t”格式；

（2）对导入ADAMS并联机构的各零部件施加材料属性，通过布尔操作简化模型结构，添加合适的约束（包括运动副）和驱动后完成虚拟样机搭建。

（3）在驱动中设置合适的激励函数，完成虚拟样机的运动学位置逆向仿真，求得反解。

（4）利用上述反解得的仿真数据应用到求解运动学位置正解中，得正解。搭建得到的虚拟样机，如图6所示。

图6 3-RPS并联机构虚拟样机搭建Fig.6 Virtual Prototype of 3-RPS Parallel Mechanism

定平台与大地固连，选择动平台中心点O作为被驱动点，添加成为一般点驱动。在Motion模块中分别对并联平台中三个自由度方向添加时间位移函数，函数作为机构的约束控制各运动副的工作状况，进而控制动平台的运动规律。动平台中心点O在X，Y，Z方向所定义的运行时间函数分别为：

Z向平移：disp（time）=2*time

绕X轴旋转：disp（time）=pi/24*cos（time）

绕Y轴旋转：disp（time）=pi/24*cos（time）

设置终止时间为4.8s，步长为0.01。观察3-RPS平台各个驱动杆的长度随时间的变化规律，如图7所示。

图7 驱动杆x-t变化曲线Fig.7 x-t Curve of Driving Rod

根据驱动杆x-t变化曲线，将三条连续的曲线离散成若干点，导出数据点保存为.txt 文件格式，共481 个数据点。按照仿真时间为4.8s，时间间隔为0.01s 计算。并联机构运动学正解得到的三条样条曲线作为驱动函数导入ADAMS 中。三条样条曲线命名为spline1，spline2，spline3。分别为三个驱动杆添加不同的驱动。

驱动函数分别为：

图8 动平台质心O沿Z轴x-t曲线Fig.8 Moving Platform Centroid O along the Z-axis x-t Curve

通过ADAMS 软件将复杂的并联机构运动学位置正逆求解利用仿真直观且快速求。简化了并联机构运动学位置正解计算的同时也验证了位置正反解公式正确性。3-RPS并联机构位置正反解的分析与仿真验证为后续并联机构以及混联打磨装置的工作空间计算提供了理论依据。

4 并联和混联机构的工作空间求解

求取并联机构和混联打磨装置的工作空间是测验装置是否满足叶片打磨空间需求以及评价其工作性能的重要指标之一。并联机构工作空间受运动关节影响，由机构中各运动副相互配合后运动副自身所能达到的最大工作范围相互制约形成。这里利用数值法中的蒙特卡洛法和极限边界搜索法相结合共同求解并联机构的工作空间。

蒙特卡洛法是利用数学中概率的思想以概率统计为理论指导的方法，通过随机采样（或通过模拟随机变量）解决数学问题的数值方法［7］。但利用随机采样不能完全符合该并联机构的工作空间求解模型，因此在随机采样基础上稍做改变构造随机概率模型以适应该算法。

并联机构动平台质心在坐标系中的坐标可表示为c=c（d）。式中c=（cx，cy，cz），代表惯性坐标系中的位置向量；d=（d1，d2，…，dn）代表并联机构中各运动副的关节点向量。各个运动副都有其运动范围限制，即：dimin≤di≤dimax，（i=1，2，…，n）。原理可表示为：W=

3-RPS并联机构工作空间算法为：

（1）分析并联平台中每个运动副的运动范围并在该范围内得到N个由运动副组成的关节空间向量。

（2）通过并联机构运动学位置正解方程求得N个由运动副组成的关节空间向量对应的N个空间随机分布点集合。

（3）在MATLAB 中通过编程语言实现动平台工作时所能到达最大位置的数据点分散图像。

（4）搜索空间中符合条件的边界点构成完整的点云图。

打磨抛光压气机叶片过程中，并联机构通过调节动平台的位姿使砂轮与叶片包络曲面相互接触。此时，球面副与转动副的转角范围受叶片截面曲线弯曲程度影响，运动范围受到限制。叶片磨削深度的变化是通过改变驱动支杆杆长完成，因此杆长的变化直接影响到机构纵向工作空间大小。

转动副转角θi的约束条件为：θmin≤θi≤θmax；

球面副转角Ψi的约束条件为：ψmin≤ψi≤ψmax；

杆长约束条件为：lmin≤li≤lmax

这里研究的混联打磨装置，上平台球铰接的分布呈120°，各驱动杆之间由于自身结构特点不发生干涉。球铰接到动平台的距离为50mm，转动副到定平台的距离为75mm，驱动支杆原长为202mm，伸缩范围（±40）mm，球铰接摆角范围是60°，转动副摆角范围是（5～65）°。设置2000 个原始随机点，在MATLAB 中得到动平台质心点的分布情况，如图9 所示。为更直观的观察点云分布，对随机点所构成的工作空间图像分层分割并将每层能到达最大位置的点相连成包络线。包络线的形成以运动学位置反解为基础，利用极限边界数值搜索法判断每个随机点所对应的驱动杆杆长和转动副转角是否满足其限制条件［8］。Z轴方向包络线间隔2mm，如图10所示。

图9 3-RPS并联平台空间点云图Fig.9 Point Cloud Diagram of 3-RPS Parallel Platform Space

图10 3-RPS并联平台工作空间Fig.10 3-RPS Parallel Platform Workspace

得到并联机构的工作空间后，研究混联打磨装置的工作空间。混联装置的工作空间为并联与串联机构分别在有限的运动范围内相互叠加形成，其叠加属于三维空间求和运算。已知十字滑动丝杠在X、Y方向的运动范围是（-150mm，150mm），因此混联打磨装置在二维平面内的工作空间范围确定。垂直方向的工作空间由并联机构确定。工作空间，如图11所示。

图11 混联打磨装置工作空间Fig.11 Working Space of Hybrid Grinding Device

5 结论

（1）以运动学位置正反解为基础，将蒙特卡洛法和极限边界搜索法相结合对混联打磨装置的工作空间求解。结果表明混联打磨装置的设计满足叶片在磨削过程的打磨空间要求。

（2）蒙特卡洛法与极限边界搜索法相结合的方法大大提高了求解并联机构工作空间的准确性和直观性。